材料力学能量法课件.ppt

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1、第十三章第十三章 能量法能量法第第 13 13 章章 能量法能量法 13-1 13-1 外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式13-2 13-2 互等定理互等定理互等定理互等定理13-3 13-3 卡氏定理卡氏定理卡氏定理卡氏定理13-4 13-4 变形体虚功原理变形体虚功原理变形体虚功原理变形体虚功原理13-5 13-5 单位载荷法单位载荷法单位载荷法单位载荷法13-6 13-6 梁的横向剪切变形效应梁的横向剪切变形效应梁的横向剪切变形效应梁的横向剪切变形效应1Page第十三章第十三章 能量法能量法 引引言言言言求节点求节点A

2、的铅垂位移的铅垂位移 的两条研究途径的两条研究途径方法一方法一方法二方法二压压2Page第十三章第十三章 能量法能量法问题问题：求节点求节点A的垂直位移，哪种方法优越？的垂直位移，哪种方法优越？3Page第十三章第十三章 能量法能量法 几个概念几个概念相应位移：相应位移：载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。外力功：外力功：载荷在其相应位移载荷在其相应位移上所作之功。上所作之功。广义力：广义力：力，力偶，一对大小力，力偶，一对大小相等、方向相反的力相等、方向相反的力或转向相反的力偶等。或转向相反的力偶等。广义位移广义位移：线位移，角位移，相对线位移，相对角位移

3、等。线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。13-13-13-13-1 1 1 1 外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式4Page第十三章第十三章 能量法能量法例：例：试确定图试确定图a均布载荷均布载荷q 对应的广义位移对应的广义位移.(a)AB相应广义位移：面积相应广义位移：面积5Page第十三章第十三章 能量法能量法一、计算外力功的基本公式一、计算外力功的基本公式 线弹性体：线弹性体：载荷载荷位移曲线所包围的面积位移曲线所包围的面积 ffdf d F 6Page第十三章第十三章 能量法能量法二、二、克拉比隆定理克拉比隆定

4、理克拉比隆定理克拉比隆定理：已知线弹性体上同时作用有多个广义力已知线弹性体上同时作用有多个广义力已知线弹性体上同时作用有多个广义力已知线弹性体上同时作用有多个广义力F F1 1,F,F2 2,.,.及其相应及其相应及其相应及其相应广义位移广义位移广义位移广义位移,求外力功求外力功求外力功求外力功F1F2F1F2(1)(2)F F1 1与与F F2 2对弹簧做的总功与他们的加载顺序与方式有关吗？对弹簧做的总功与他们的加载顺序与方式有关吗？7Page第十三章第十三章 能量法能量法A AD DF F1 1B B 1F F2 2C C 2A AD DF F1 1B B 11A AD DF F2 2C

5、C 22 1=11,2=22 8Page第十三章第十三章 能量法能量法A AD Df1 1B B 1f2 2C C 2 加载过程中各载荷保持比例关系：加载过程中各载荷保持比例关系：A AD DF1 1B B 1F2 2C C 2第一个载荷所做之功：第一个载荷所做之功：第二个载荷所做之功：第二个载荷所做之功：同理：同理：9Page第十三章第十三章 能量法能量法 加载过程中各载荷不保持比例关系：加载过程中各载荷不保持比例关系：A AD DF F1 1B B 1F F2 2C C 2A AD Df1 1B B 1f2 2C C 2 最终状态相同最终状态相同 考虑比例卸载过程考虑比例卸载过程同理：同理

6、：对线弹性体对线弹性体,不论按何种方式加载不论按何种方式加载,广义力广义力F1,F2,.Fn在其相应在其相应位移位移 1,2,.n上的总功恒为上的总功恒为10Page第十三章第十三章 能量法能量法 注意注意注意注意：线弹性体上作用有多个广义力时：线弹性体上作用有多个广义力时：线弹性体上作用有多个广义力时：线弹性体上作用有多个广义力时：广义位移可以用叠加法求解广义位移可以用叠加法求解 外力功一般不可以用叠加法求解外力功一般不可以用叠加法求解 特殊情况：特殊情况：FFTT 一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功 一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移一种载荷

7、不在另一种载荷方向上引起相应位移11Page第十三章第十三章 能量法能量法三、三、应变能的一般表达式应变能的一般表达式应变能的一般表达式应变能的一般表达式 拉压杆与桁架拉压杆与桁架:轴轴:处于平面弯曲的梁与刚架（忽略剪力影响）处于平面弯曲的梁与刚架（忽略剪力影响）:基本变形情况基本变形情况T(x)dxd M(x)dxd FN(x)dx12Page第十三章第十三章 能量法能量法 组合变形情况组合变形情况FN(x)M(x)Fs(x)T(x)dx组合变形杆件的总能量是否可由组合变形杆件的总能量是否可由叠加法计算？为什么？叠加法计算？为什么？T(x)dxd M(x)dxd FN(x)dx13Page第

8、十三章第十三章 能量法能量法 非圆截面杆或杆系非圆截面杆或杆系 圆截面杆或杆系圆截面杆或杆系y,z轴主形心轴轴主形心轴14Page第十三章第十三章 能量法能量法解解:（1）计算梁的应变能计算梁的应变能(x轴从轴从A向左向左)相应位移互耦的多个外力引起的应变能不能叠加计算！相应位移互耦的多个外力引起的应变能不能叠加计算！例：例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算外力所做悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算外力所做之总功。弯曲刚度为之总功。弯曲刚度为EI。FMA15Page第十三章第十三章 能量法能量法解解:(2):(2)计算外力所作之总功计算外力所作之总功梁的应变能等于外力所做总功梁的应变能等

9、于外力所做总功FMA16Page第十三章第十三章 能量法能量法BlCx2x1M0FAl例例:试试计算图示水平面内直角刚架的应变能。刚架截计算图示水平面内直角刚架的应变能。刚架截面为圆形，直径为面为圆形，直径为 d，材料弹性模量和剪切模量分别材料弹性模量和剪切模量分别为为E和和G。解法一：解法一：对于图示刚架，弯矩和对于图示刚架，弯矩和扭矩方程分别为：扭矩方程分别为：AB段：段：BC段：段：17Page第十三章第十三章 能量法能量法318Page第十三章第十三章 能量法能量法BlCx2x1M0FAl解法二解法二：A截面的挠度和转角分别为：截面的挠度和转角分别为：319Page第十三章第十三章 能

10、量法能量法作业作业13131 113133 320Page第十三章第十三章 能量法能量法13-13-13-13-2 2 2 2 互等定理互等定理互等定理互等定理A AD DF F1 12 2 11 211 1A AD DF F2 22 2 12 221 1 i 代表位置，代表位置，j 代表载荷代表载荷 同一弹性体的两种受力状态同一弹性体的两种受力状态21Page第十三章第十三章 能量法能量法功的互等定理功的互等定理若若F1=F2位移互等定理位移互等定理先加先加 F1，后加后加 F2：A AD DF F2 22 2 22 11F1 1 121 1先加先加 F2，后加后加 F1：A AD DF2

11、22 2 22 21F1 1 111 1考察考察F1,F2 对弹性体的做功对弹性体的做功22Page第十三章第十三章 能量法能量法 关于功的互等定理的说明：关于功的互等定理的说明：成立的成立的前提是对于前提是对于线弹性体线弹性体；两组外力两组外力之间，功的互等定理也成立；之间，功的互等定理也成立；A AD DFMA AD DFA AD DFFM 关键在于搞清楚两个（组）广义外力在对方作用点处引起的关键在于搞清楚两个（组）广义外力在对方作用点处引起的广义位移广义位移；23Page第十三章第十三章 能量法能量法例：例：测量变截面线弹性梁（图测量变截面线弹性梁（图a,截面沿宽度变化）截面沿宽度变化）

12、A、B点挠度，点挠度，但仅端点但仅端点C适合装千分表。适合装千分表。解：解：设图设图a在在A点的挠度为点的挠度为如图如图b加载和装千分表，加载和装千分表，测得测得C点的挠度为点的挠度为则则24Page第十三章第十三章 能量法能量法A点受点受F*作用时作用时A、B点上升点上升 和和 例：例：两个相联的水平梁，两个相联的水平梁，解解 结构受力状态如图结构受力状态如图现在水平位置将现在水平位置将A固支，在固支，在B作用作用F，求支座求支座A的约束反力。的约束反力。CDCD25Page第十三章第十三章 能量法能量法由功的互等定理由功的互等定理CDCDCDCDCD26Page第十三章第十三章 能量法能量

13、法例：例：等直杆宽等直杆宽b，拉压刚度拉压刚度EA，泊松比泊松比 求求解解 设第二种受力状态为轴向拉力设第二种受力状态为轴向拉力对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立?27Page第十三章第十三章 能量法能量法解：解：考虑薄板受均布载荷考虑薄板受均布载荷q 例：例：已知已知E，h，求均质薄板面积改变量求均质薄板面积改变量由功的互等定理由功的互等定理28Page第十三章第十三章 能量法能量法思考题思考题1 板内开任意一孔，板内开任意一孔，是否变化？是否变化？思考题思考题2 内孔受一对图示方向的力，内孔受一对图示方向的力，是正还是负？是正还是负？29Page第

14、十三章第十三章 能量法能量法线弹性梁线弹性梁受多个广义力受多个广义力Fk的作用，的作用，求各广义力的求各广义力的相应位移相应位移 k。方法一：方法一：叠加法叠加法方法二：方法二：能量法能量法A AB B 1Fn 2F1 1F2 2Fk k n13-13-13-13-3 3 3 3 卡氏定理卡氏定理卡氏定理卡氏定理30Page第十三章第十三章 能量法能量法 卡氏定理的证明：卡氏定理的证明：多个多个Fi的作用下：的作用下：先加上先加上 Fk，再加上再加上Fi若给若给Fk一个增量一个增量 Fk（略去高阶小量）略去高阶小量）FkA AB B 1Fn 2F1 1F2 2Fk k n31Page第十三章第

15、十三章 能量法能量法解：解：例例1：用卡氏定理求用卡氏定理求A点挠度点挠度32Page第十三章第十三章 能量法能量法FlA A例例2 2：求求A A端的转角端的转角Fx xM M附加力法：附加力法：先假设一附加力，对被积函数求导后，令附加力等于零先假设一附加力，对被积函数求导后，令附加力等于零思考：如何求直梁在思考：如何求直梁在F F作用下扫过的面积？作用下扫过的面积？33Page第十三章第十三章 能量法能量法例例3：EI为常数，求为常数，求wA，AAB BC CFaF解：为避免混淆，设解：为避免混淆，设Fa=MFBFCx2x1aa34Page第十三章第十三章 能量法能量法AB段：段：BC段：

16、段：得得：例例4：用用卡卡氏氏定定理理求求A点点挠挠度度，为弯曲刚度为弯曲刚度。ABC(a)设设解：解：(b)35Page第十三章第十三章 能量法能量法等于等于A点挠度的两倍与点挠度的两倍与B点挠度之和。点挠度之和。讨论：讨论：的几何意义的几何意义?ABC(a)(b)36Page第十三章第十三章 能量法能量法 讨论讨论的意义的意义FFAB代表代表ABAB两点的相对位移两点的相对位移若若两个两个F共线共线反向，反向，为两载荷对应的相对线位移为两载荷对应的相对线位移的意义的意义A AB BMM若若两个两个M反向，反向，为两载荷对应的相对角位移为两载荷对应的相对角位移37Page第十三章第十三章 能

17、量法能量法由由A、B 两节点平衡两节点平衡例：例：各杆各杆EA，求求A点水平位移及点水平位移及AB转角转角解：解：（1）计算）计算A点水平位移点水平位移 由整体平衡由整体平衡38Page第十三章第十三章 能量法能量法问题问题 若由卡氏定理计算若由卡氏定理计算 ，附加载荷怎么办？，附加载荷怎么办？在在A、B 两点加附加力两点加附加力39Page第十三章第十三章 能量法能量法作业作业13138 813139 913-13-111113-13-121240Page第十三章第十三章 能量法能量法13-13-13-13-4 4 4 4 变形体虚功原理变形体虚功原理变形体虚功原理变形体虚功原理回顾刚体虚功

18、原理回顾刚体虚功原理处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。虚位移：虚位移：满足约束条件的微小位移满足约束条件的微小位移 虚位移是虚构的，与刚体上的作用力无关虚位移是虚构的，与刚体上的作用力无关 虚功原理同样适用于变形体虚功原理同样适用于变形体41Page第十三章第十三章 能量法能量法关于变形体的虚功原理关于变形体的虚功原理q(x)A A变形体的虚位移或变形体的虚位移或可能位移：可能位移：满足位移边界条件满足位移边界条件及及变形连续条变形连续条件件的任意的任意微小微小

19、位移位移梁微段梁微段刚体虚位移刚体虚位移虚虚变形变形不同于刚体不同于刚体dx d*dxd*dxd*dxd*A AA AA AA A以上哪个是可能位移？以上哪个是可能位移？42Page第十三章第十三章 能量法能量法可能内力：可能内力：满足平衡方程与静力边界条件的内力满足平衡方程与静力边界条件的内力 对于静定系统，可能内力即为真实内力对于静定系统，可能内力即为真实内力 静不定系统的可能内力不唯一静不定系统的可能内力不唯一，只有满足位移只有满足位移边界及连续条件的可能内力才是真实内力边界及连续条件的可能内力才是真实内力变形体的可能内力变形体的可能内力：q(x)A A43Page第十三章第十三章 能量

20、法能量法变形体的外力虚功与内力虚功变形体的外力虚功与内力虚功：q(x)lA Axdx外力虚功：外力虚功：内力虚功：内力虚功：外力在虚位移上所作的功外力在虚位移上所作的功可能内力在微段虚变形上所作的功之和可能内力在微段虚变形上所作的功之和dxd*dxd*dxd*dxd*注意：注意：1、外力在虚变形、外力在虚变形上不做功上不做功2、内力和外力虚功都没、内力和外力虚功都没有系数有系数1/2虚虚位移位移44Page第十三章第十三章 能量法能量法变形体的外力虚功与内力虚功之间有何关系？变形体的外力虚功与内力虚功之间有何关系？方法：方法：分别从分别从两个角度两个角度分析微段上力系的总虚功，然后分析微段上力

21、系的总虚功，然后各自积分，最后比较各自积分，最后比较 从微段的受力角度：从微段的受力角度：微段上作用有外力和内力微段上作用有外力和内力 从微段的变形角度：从微段的变形角度：微段上有刚体虚位移和虚变形微段上有刚体虚位移和虚变形45Page第十三章第十三章 能量法能量法力系在刚体虚位力系在刚体虚位移上所作虚功移上所作虚功力系在虚变形上力系在虚变形上所作虚功所作虚功刚体虚功原理刚体虚功原理外力在虚变形上不作功外力在虚变形上不作功内力在虚变形内力在虚变形上所作虚功上所作虚功从微段的从微段的变形角度变形角度研究研究微段上力系在虚位移上所作总虚功微段上力系在虚位移上所作总虚功：q(x)FSFNMT微段上的

22、力系微段上的力系46Page第十三章第十三章 能量法能量法外力在虚位移上所作虚功外力在虚位移上所作虚功内力在虚位移内力在虚位移上所作虚功上所作虚功1 1、内力均作用于切开面上内力均作用于切开面上2 2、切开处的两面上，内力大小相等、方向相切开处的两面上，内力大小相等、方向相 反，虚位移相同反，虚位移相同q(x)FSFNMT从微段的从微段的受力角度受力角度研究研究微段上力系在虚位移上所作总虚功微段上力系在虚位移上所作总虚功：微段上的力系微段上的力系47Page第十三章第十三章 能量法能量法 处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所作处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所作 虚功，恒等于可能内力在虚

23、变形上所作虚功。虚功，恒等于可能内力在虚变形上所作虚功。变形体虚功原理变形体虚功原理48Page第十三章第十三章 能量法能量法例：例：验证虚功原理验证虚功原理q(x)lA Axdx虚虚位移位移位移边界条件与变形连续条件位移边界条件与变形连续条件49Page第十三章第十三章 能量法能量法位移边界条件位移边界条件静力边界条件静力边界条件50Page第十三章第十三章 能量法能量法 关于虚功原理：关于虚功原理：内力与外力平衡内力与外力平衡外力在虚位移作功外力在虚位移作功=内力在虚变形作功内力在虚变形作功 虚位移是任一满足位移边界与变形连续条件的微小位移，虚位移是任一满足位移边界与变形连续条件的微小位移

24、，与外力可以彼此独立与外力可以彼此独立 虚变形是与虚位移相对应的变形虚变形是与虚位移相对应的变形 适用于线弹与非弹性材料，各向同性与各向异性材料适用于线弹与非弹性材料，各向同性与各向异性材料51Page第十三章第十三章 能量法能量法13-13-5 5 单位载荷法单位载荷法 回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法 直接计算法直接计算法 (画变形图、积分法等画变形图、积分法等)利用功能原理利用功能原理 利用卡氏定理利用卡氏定理不适宜解决复杂问题不适宜解决复杂问题只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移只适用于

25、线弹性体只适用于线弹性体单位载荷法单位载荷法：更一般的方法，应用更广泛，更方便。：更一般的方法，应用更广泛，更方便。52Page第十三章第十三章 能量法能量法 单位载荷法单位载荷法 理论基础：理论基础：变形体虚功原理变形体虚功原理 目标：目标：变形体在已知载荷作用下，求任意一点沿变形体在已知载荷作用下，求任意一点沿 任一方向的位移任一方向的位移q(x)FAnn例：求任一例：求任一A截面沿任一方向截面沿任一方向n-n方向的位移方向的位移 A截面上没有作用广义力截面上没有作用广义力 杆系结构上作用有多个广义力杆系结构上作用有多个广义力 所求位移不为某一广义力的相应位移所求位移不为某一广义力的相应位

26、移53Page第十三章第十三章 能量法能量法Ann1方法一：卡氏定理方法一：卡氏定理方法二：虚功原理方法二：虚功原理 处于平衡状态的变形体，处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所做功等于内力在虚外力在虚位移上所做功等于内力在虚变形上所做功。变形上所做功。选择单位载荷状态选择单位载荷状态 选择虚位移选择虚位移将将真实载荷状态下的位移作为虚位移真实载荷状态下的位移作为虚位移q(x)FAnn54Page第十三章第十三章 能量法能量法Ann1研究单位载荷状态，并取真实载荷引研究单位载荷状态，并取真实载荷引起的位移作为虚位移。起的位移作为虚位移。虚功原理的表达式：虚功原理的表达式：真实载荷在微段引起的虚

27、变形：真实载荷在微段引起的虚变形：单位载荷在微段引起的内力：单位载荷在微段引起的内力：忽略剪力的影响忽略剪力的影响q(x)FAnn55Page第十三章第十三章 能量法能量法对于线弹性体：对于线弹性体：(a)(b)56Page第十三章第十三章 能量法能量法 关于单位载荷法的说明关于单位载荷法的说明：应用应用(a)a)式，不受材料性质的限制式，不受材料性质的限制(但须满足小变形条件但须满足小变形条件)应用应用(b)b)式，只能是线弹性体式，只能是线弹性体 式中的式中的 A,A,n n也可以是转角也可以是转角(此时单位载荷状态加的此时单位载荷状态加的 是单位力偶是单位力偶)q(x)FAxzA157P

28、age第十三章第十三章 能量法能量法 式中的式中的 A,n还可以是两截面的相对位移或相对转角还可以是两截面的相对位移或相对转角(此此 时单位载荷状态加的是一对反向的单位力或单位力偶时单位载荷状态加的是一对反向的单位力或单位力偶)FFAB原始受力状态原始受力状态11AB单位载荷状态单位载荷状态11AB单位载荷状态单位载荷状态 按以上公式求出的按以上公式求出的位移为正，则说明所求位移方向与位移为正，则说明所求位移方向与 所加单位载荷同向，为负，则说明两者反向。所加单位载荷同向，为负，则说明两者反向。58Page第十三章第十三章 能量法能量法2.2.分段建立弯矩方程分段建立弯矩方程实际载荷状态与单位

29、载荷状实际载荷状态与单位载荷状态分段与坐标应相同态分段与坐标应相同圆弧段用极坐标方便圆弧段用极坐标方便例例:弯曲刚度弯曲刚度EI，求求A点铅垂位移点铅垂位移分析步骤：分析步骤：1.1.配置单位载荷状态配置单位载荷状态59Page第十三章第十三章 能量法能量法解：解：AB段：段：BC段：段：60Page第十三章第十三章 能量法能量法例：杆例：杆1 1，物理非线性，物理非线性 ，杆，杆2 2，物理线性，物理线性，已知杆横截面积均为，已知杆横截面积均为A A，求求 B BF12l45o1解：解：原载荷状态下原载荷状态下的内力方程的内力方程配置单位载荷状态配置单位载荷状态 B61Page第十三章第十三

30、章 能量法能量法作业作业131315151313161613-13-17(17(b)b)13-13-18(a)18(a)62Page第十三章第十三章 能量法能量法上一讲回顾上一讲回顾虚位移与虚功原理虚位移与虚功原理F1F2虚位移虚位移3虚位移虚位移2虚位移虚位移1F2在虚位移在虚位移3上的相应位移上的相应位移 2F1在虚位移在虚位移3上的相应位移上的相应位移 1外力在虚位移外力在虚位移3上做的总功上做的总功可能内力在虚变形可能内力在虚变形3上做的总功上做的总功单位载荷法单位载荷法A问题：求解问题：求解A点沿点沿45角方向的位移角方向的位移 451.1.配置适当的单位载荷状态配置适当的单位载荷状

31、态12.将梁在将梁在F1，F2作用下的实际变形作用下的实际变形 作为单位载荷下变形体的虚位移作为单位载荷下变形体的虚位移同理同理那么，该单位载荷在虚位移上的相应那么，该单位载荷在虚位移上的相应位移就是所求的位移就是所求的 45，外虚功为外虚功为1 45微段的虚变形（在微段的虚变形（在F1、F2作用下的实作用下的实际变形，假设变形体弹性）为际变形，假设变形体弹性）为（与单位外载荷相对应的）可能内力在与单位外载荷相对应的）可能内力在虚变形上做的总功（内虚功）为虚变形上做的总功（内虚功）为由虚功原理可得：由虚功原理可得：63Page第十三章第十三章 能量法能量法根据对称性根据对称性例例:弯曲刚度弯曲

32、刚度EI，求求C点挠度点挠度 和和A点转角点转角解：解：（1）求）求 ，配置单位载荷状态，配置单位载荷状态真实载荷与单位载荷下竖直杆的弯真实载荷与单位载荷下竖直杆的弯距正负，要按同一标准判断！距正负，要按同一标准判断！64Page第十三章第十三章 能量法能量法根据对称性根据对称性负值说明实际转动方向与施加的单位载荷方向相反 ()解：解：（2）求）求 ，配置单位载荷状态，配置单位载荷状态65Page第十三章第十三章 能量法能量法解：解：（1 1）求）求 例例:各杆各杆EA，求求AB杆转角杆转角 ，A、D点相对位移点相对位移配置单位载荷系统配置单位载荷系统l66Page第十三章第十三章 能量法能量

33、法（2 2）求）求解：解：配置单位载荷系统配置单位载荷系统l67Page第十三章第十三章 能量法能量法分析步骤：弯扭组合分析步骤：弯扭组合（1 1）建立建立F作用下的作用下的弯矩、扭矩方程弯矩、扭矩方程（2 2）配置单位载荷并建立单位载荷状配置单位载荷并建立单位载荷状态的弯距、扭矩方程态的弯距、扭矩方程（3 3）求相对位移求相对位移例例:图中图中 F=80N,=240MPa,E=200GPa,G=80GPa R=35mm,d=7mm,忽略开口宽度忽略开口宽度 求开口沿求开口沿F 方向相对位移方向相对位移68Page第十三章第十三章 能量法能量法（1 1）求沿求沿F 载荷作用下的内力方程载荷作用

34、下的内力方程沿沿F 方向加一对单位力方向加一对单位力M69Page第十三章第十三章 能量法能量法思考：如果开口端面上作用一对扭力偶，该开口小曲率环思考：如果开口端面上作用一对扭力偶，该开口小曲率环形杆是一种什么样的变形状态？形杆是一种什么样的变形状态？70Page第十三章第十三章 能量法能量法求解思路讨论：求解思路讨论：A 点在与点在与F 垂直方向位移垂直方向位移例例:A点位移与点位移与F 方向相同，求角方向相同，求角配置单位载荷系统配置单位载荷系统71Page第十三章第十三章 能量法能量法72Page第十三章第十三章 能量法能量法aaaAqBC例：已知例：已知EI，求求 A左左、A右右x2x

35、1qRARBRAx3ABC1解：解：(1)求求 A左，左，配置单位载荷配置单位载荷73Page第十三章第十三章 能量法能量法(2)求求 A右右ABC11ABC1x2x1x374Page第十三章第十三章 能量法能量法作业作业131328281313303075Page第十三章第十三章 能量法能量法76Page第十三章第十三章 能量法能量法经典梁理论中，忽略了剪切对梁变形的影响；经典梁理论中，忽略了剪切对梁变形的影响；前一章在计前一章在计算梁的应变能时，同样忽略了弯曲剪切变形的影响算梁的应变能时，同样忽略了弯曲剪切变形的影响1 1 1 13 3 3 3-6-6-6-6 梁的横向剪切变形效应梁的横向

36、剪切变形效应梁的横向剪切变形效应梁的横向剪切变形效应剪切对梁的变形究竟有多大的影响？剪切对梁的变形究竟有多大的影响？如何用能量法简捷并定量地加以评价？如何用能量法简捷并定量地加以评价？77Page第十三章第十三章 能量法能量法 梁的梁的应变能密度表达式：应变能密度表达式：?78Page第十三章第十三章 能量法能量法一、考虑剪切效应时一、考虑剪切效应时梁的应变能梁的应变能y ydydxbdy zyh/2h/2bxdx 矩形截面梁矩形截面梁479Page第十三章第十三章 能量法能量法 矩形截面梁应变能矩形截面梁应变能一般截面梁应变能公式（对称弯曲）一般截面梁应变能公式（对称弯曲）kS剪切形状系数，

37、与截面形状有关，截面形状影响剪切形状系数，与截面形状有关，截面形状影响截面切应力分布。截面切应力分布。各种截面各种截面kS之值如下：之值如下：80Page第十三章第十三章 能量法能量法二、计及剪切变形效应的梁二、计及剪切变形效应的梁位移公式位移公式由卡氏定理由卡氏定理梁应变能梁应变能81Page第十三章第十三章 能量法能量法由单位载荷法由单位载荷法微段应变能微段应变能微段相对转角和剪切变形微段相对转角和剪切变形梁应变能梁应变能82Page第十三章第十三章 能量法能量法例：例：（1 1）求图示悬臂梁自由端）求图示悬臂梁自由端挠度，（挠度，（2 2）研究剪力的影响。）研究剪力的影响。qlA解：解：

38、采用卡氏定理采用卡氏定理 （1 1）在）在A A点施加附加载荷点施加附加载荷F Fa a，Fa83Page第十三章第十三章 能量法能量法式中第二项代表剪力的影响。式中第二项代表剪力的影响。（2 2）研究剪力的影响。研究剪力的影响。对矩形截面对矩形截面：I/A=h2/12，并设并设：m=1/3,m=1/3,则则 E/G=8/3=8/3，不计剪切变形不计剪切变形l/h=3,e=10.4%l/h=5,e=4.27%l/h=10,e=1.07%,相对误差相对误差结论：对一般实心截面梁，结论：对一般实心截面梁，当当l/h5时，可不计剪力的时，可不计剪力的影响。影响。84Page第十三章第十三章 能量法能量法作业作业13-4285Page