《数学趣题讲解》PPT课件.ppt

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1、第五章第五章 数学趣题数学趣题在在现实的生活中有的生活中有许许多多有趣的数学多多有趣的数学问题。经常有常有意意识地地寻找并解决找并解决这些些问题可以增可以增强我我们的的逻辑思思维能力，能力，进而开而开发我我们的大的大脑，提高我，提高我们的智力水平，同的智力水平，同时使生活使生活变得丰富多彩。得丰富多彩。计算机就是帮助我算机就是帮助我们解决解决这些些问题的的强有有力的工具。力的工具。经常常练习通通过编写程序解决数学写程序解决数学难题，可以减，可以减少我少我们在解在解题时遇到的繁遇到的繁琐而复而复杂的的计算，把精力集中在算，把精力集中在解决具体解决具体问题的方法上，从而的方法上，从而锻炼我我们的思

2、考能力，的思考能力，逻辑思思维水平，同水平，同时提高自身的提高自身的编程水平和程水平和应用用计算机解决算机解决实际问题的能力。的能力。本章将本章将讲解如何通解如何通过程序程序设计来解决一些有趣的数学来解决一些有趣的数学问题。通。通过本章的学本章的学习，读者不但可以了解一些有趣的数者不但可以了解一些有趣的数学学问题的求解方法，而且可以通的求解方法，而且可以通过举一反三一反三扩大知大知识面，面，提高提高应用用计算机算机编程解决程解决实际问题的能力。的能力。5.1舍罕王的失算舍罕王的失算题目要求：目要求：舍罕是古印度的国王，据舍罕是古印度的国王，据说他十分好玩，宰相达依他十分好玩，宰相达依尔为讨好国

3、王，好国王，发明了明了现今的国今的国际象棋献象棋献给国王。舍罕非常国王。舍罕非常喜喜欢这项游游戏，于是决定嘉，于是决定嘉奖达依达依尔，许诺可以可以满足达依足达依尔提出的任何要求。达依提出的任何要求。达依尔指着舍罕王前面的棋指着舍罕王前面的棋盘提出了提出了要求：要求：“陛下，陛下，请您按棋您按棋盘的格子的格子赏赐我一点麦子吧，第我一点麦子吧，第1个小格个小格赏我一粒麦子，第我一粒麦子，第2个小格个小格赏我两粒，第我两粒，第3个小格个小格赏四粒，以后每一小格都比前一个小格四粒，以后每一小格都比前一个小格赏的麦粒数增加一倍，的麦粒数增加一倍，只要把棋只要把棋盘上全部上全部64个小格按个小格按这样的方

4、法得到的麦粒都的方法得到的麦粒都赏赐给我，我就心我，我就心满意足了。意足了。”舍罕王听了达依舍罕王听了达依尔这个个“小小小小”的要求，想都没想就的要求，想都没想就满口答口答应下来。下来。结果在果在给达依达依尔麦子麦子时舍罕惊奇地舍罕惊奇地发现它要它要给达依达依尔的麦子比自己想象的要多得多，于是他的麦子比自己想象的要多得多，于是他进行了行了计算，算，结果果令他大惊失色。令他大惊失色。问题是：舍罕王的是：舍罕王的计算算结果是多少粒麦子果是多少粒麦子？5.2 求两个数的最大公约数和最小公倍数求两个数的最大公约数和最小公倍数题目要求：目要求：编写一个程序写一个程序计算两个正整数的最大公算两个正整数的最

5、大公约数和最小公倍数。数和最小公倍数。题目分析：目分析：所所谓两个数最大公两个数最大公约数就是指两个数数就是指两个数a,b的公共因数中最大的公共因数中最大的那一个。例如：的那一个。例如：4和和8，两个数的公共因数分，两个数的公共因数分别为1、2、4，其，其中中4为4和和8的最大公的最大公约数。数。因此要因此要计算出两个数的最大公算出两个数的最大公约数，最数，最简单的方法就是从的方法就是从两个数中两个数中较小的那个开始依次小的那个开始依次递减，得到的第一个减，得到的第一个这两个数的两个数的公因子数即公因子数即为这两个数的最大公两个数的最大公约数。数。5.3歌德巴赫猜想的近似证明歌德巴赫猜想的近似

6、证明题目要求：目要求：所所谓歌德巴赫猜想是歌德巴赫猜想是说任何一个大于任何一个大于2的偶数都能表的偶数都能表示成示成为两个素数之和。两个素数之和。应用用计算机工具可以很快地在一定算机工具可以很快地在一定范范围内内验证歌德巴赫猜想的正确性。歌德巴赫猜想的正确性。请编写一个写一个C程序，程序，验证指定范指定范围内歌德巴赫猜想的正确性，也就是近似内歌德巴赫猜想的正确性，也就是近似证明明歌德巴赫猜想（因歌德巴赫猜想（因为不可能用不可能用计算机算机穷举出所有正偶数）。出所有正偶数）。题目分析：目分析：可以把可以把问题归结为在指定范在指定范围内（例如：内（例如：12000内）内）验证其中每一个偶数是否其中

7、每一个偶数是否满足歌德巴赫猜想的足歌德巴赫猜想的论断，即是断，即是否能表示否能表示为两个素数之和。如果两个素数之和。如果发现一个偶数不能表示一个偶数不能表示为两个素数之和，即不两个素数之和，即不满足歌德巴赫猜想的足歌德巴赫猜想的论断，断，则意味着意味着举出了反例，从而可以否定歌德巴赫猜想。出了反例，从而可以否定歌德巴赫猜想。5.4 三色球问题三色球问题题目要求：目要求：由由红、黄、黄、绿三种三种颜色的球，其中色的球，其中红球球3个，黄球个，黄球3个，个，绿球球6个。个。现将将这12个球混放在一个盒子中，从中任意摸出个球混放在一个盒子中，从中任意摸出8个球，个球，编程程计算摸出球的各种算摸出球的

8、各种颜色搭配。色搭配。题目分析：目分析：这是一道排列是一道排列组合的合的问题。从。从12个球中任意摸出个球中任意摸出8个球，个球，求求颜色搭配的种色搭配的种类。解决。解决这类问题的一种比的一种比较简单直直观的方的方法是法是应用用穷举法，在可能的解空法，在可能的解空间中找出所有的搭配，然后中找出所有的搭配，然后再根据再根据约束条件加以排除，最束条件加以排除，最终筛选出正确的答案。出正确的答案。5.5 百钱买百鸡问题百钱买百鸡问题题目要求：目要求：我国古代数学家我国古代数学家张丘建在算丘建在算经一一书中曾提出中曾提出过著名的著名的“百百钱买百百鸡”问题。该问题叙述如下：叙述如下：鸡翁一，翁一，值钱

9、五；五；鸡母一，母一，值钱三；三；鸡雏三，三，值钱一；百一；百钱买百百鸡，则翁、母、翁、母、雏各几何？各几何？请编写写C程序，解决程序，解决“百百钱买百百鸡”问题。5.6 判断回文数字判断回文数字题目要求：目要求：有有这样一一类数字，它数字，它们顺着看和倒着看是相同的数，着看和倒着看是相同的数，例如例如121，656，2332等，等，这样的数字叫做回文数字。的数字叫做回文数字。编写写一个程序，判断从一个程序，判断从键盘接收的数字是否接收的数字是否为回文数字。回文数字。题目分析：目分析：要想判断一个数是否是回文数字，必要想判断一个数是否是回文数字，必须从回文数字的从回文数字的特点入手。因特点入手

10、。因为回文数字回文数字顺着看和倒着看是相同的数，所着看和倒着看是相同的数，所以可以通以可以通过这个特点来判断一个数字是否是回文数字。个特点来判断一个数字是否是回文数字。显然可以通然可以通过将一个十将一个十进制数制数“倒置倒置”的的办法来判断它法来判断它是否是回文数字。所是否是回文数字。所谓倒置就是倒置就是计算算该十十进制数倒制数倒过来后来后的的结果。例如一个数是果。例如一个数是123，它的倒置，它的倒置结果果为321，因，因为123不等于不等于321，所以，所以123不是回文数字。同理，一个数是不是回文数字。同理，一个数是121，它的倒置，它的倒置结果也果也为121，所以，所以121是回文数字

11、。是回文数字。5.7 填数字游戏求解填数字游戏求解题目要求：目要求：有有这样一个算式：一个算式：其中其中ABCDE代表的数字各不相同。代表的数字各不相同。编写一个程序，写一个程序，计算出算出ABCDE各代表什么数字。各代表什么数字。题目分析：目分析：这道道题的的实质就是求就是求这样一个一个4位数位数ABCD和和1位数位数E，要求它，要求它们的乘的乘积等于等于DCBA。同。同时A、B、C、D、E互不互不相等。也就是在相等。也就是在4位的整数集合位的整数集合1000，9999和和1位的整数位的整数集合集合1，9中找到符合上述算式条件的中找到符合上述算式条件的4位数位数ABCD和和1位位数数E。因此

12、不。因此不难想到想到应用用穷举法可以方便地找到答案。法可以方便地找到答案。5.8 新郎和新娘新郎和新娘题目要求：目要求：三三对新婚夫新婚夫妇参加婚礼，三个新郞参加婚礼，三个新郞为A、B、C，三个新，三个新娘娘为X、Y、Z。有人不知道。有人不知道谁和和谁结婚，于是婚，于是询问了六位新了六位新人中的三位，但听到的回答是人中的三位，但听到的回答是这样的：的：A说他将和他将和X结婚；婚；X说她的未婚夫是她的未婚夫是C；C说他将和他将和Z结婚。婚。这人听后知道他人听后知道他们在在开玩笑，全是假开玩笑，全是假话。请编程找出程找出谁将和将和谁结婚。婚。题目分析：目分析：如果如果“乱点乱点鸳鸯谱”的的话，三个

13、新郎，三个新郎A、B、C和三个新娘和三个新娘X、Y、Z共有共有6种配种配对组合方式。合方式。这是因是因为不能出不能出现两个新两个新郎（新娘）和一个新娘（新郎）郎（新娘）和一个新娘（新郎）结婚的状况，所以只可能有婚的状况，所以只可能有3*2*1=6种配种配对方案。因此只要方案。因此只要穷举出出这6种配种配对方案，再方案，再应用用问题中中给出的出的约束条件就可以束条件就可以筛选出正确的答案来。出正确的答案来。5.9 爱因斯坦的阶梯问题爱因斯坦的阶梯问题题目要求：目要求：爱因斯坦曾出因斯坦曾出过这样一道有趣的数学一道有趣的数学题：有一个：有一个长阶梯，梯，若每步上若每步上2阶，最后剩，最后剩1阶；若

14、每步上；若每步上3阶，最后剩，最后剩2阶；若每；若每步上步上5阶，最后剩，最后剩4阶；若每步上；若每步上6阶，最后剩，最后剩5阶；只有每步；只有每步上上7阶，最后，最后刚好一好一阶也不剩。也不剩。请问该阶梯至少有多少梯至少有多少阶。编写一个写一个C程序解决程序解决该问题。5.10 寻找水仙花数寻找水仙花数题目要求：目要求：如果一个如果一个3位数等于其各位数字的立方和，位数等于其各位数字的立方和，则称称这个个数数为水仙花数。水仙花数。例如：例如：407=43+03+73，因此，因此407就是一个就是一个水仙花数。水仙花数。编写一个程序，找出全部的水仙花数。写一个程序，找出全部的水仙花数。题目分析

15、：目分析：水仙花数是三位数，只要水仙花数是三位数，只要应用用穷举法法穷举出出100999闭区区间中的每一个数字（正整数），然后中的每一个数字（正整数），然后对每一个正整数每一个正整数进行判断，看它是不是行判断，看它是不是水仙花数水仙花数，如果是水仙花，如果是水仙花数数，则将将该数数输出，如果不是水仙花出，如果不是水仙花数数，则不不输出出该数。数。5.11 猴子吃桃问题猴子吃桃问题题目要求：目要求：有一只猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃掉了一半，有一只猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃掉了一半，又多吃了一个；第二天又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃又多吃了一个；第二天又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃一个

16、；按照一个；按照这样的吃法每天都吃前一天剩下的桃子的一半的吃法每天都吃前一天剩下的桃子的一半又一个。到了第十天，就只剩下一个桃子。又一个。到了第十天，就只剩下一个桃子。问题：这只猴只猴子第一天摘了多少个桃子。子第一天摘了多少个桃子。5.12 兔子产仔问题兔子产仔问题题目要求：目要求：13世世纪意大利数学家斐波那契他的算意大利数学家斐波那契他的算盘书中提出中提出这样一个一个问题：有人想知道一年内一：有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少兔子可繁殖成多少对，便筑了一道便筑了一道围墙把一把一对新生的兔子关在里面。已知一新生的兔子关在里面。已知一对两个两个月大的兔子以后每一个月都可以生一月大的兔子以后每

17、一个月都可以生一对小兔子，而一小兔子，而一对新生新生的兔子出生两个月后才可以生小兔子（例如：的兔子出生两个月后才可以生小兔子（例如：1月份出生，月份出生，3月份才可月份才可产仔）。假如一年内没有仔）。假如一年内没有发生死亡，生死亡，则一年内共能一年内共能繁殖成多少繁殖成多少对？5.13 分解质因数分解质因数题目要求：目要求：根据数根据数论的知的知识可知任何一个合数都可以写成几个可知任何一个合数都可以写成几个质数数相乘的形式，相乘的形式，这几个几个质数都叫做数都叫做这个合数的个合数的质因数。例如因数。例如24=2*2*2*3。把一个合数写成几个。把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，叫数相乘的形

18、式表示，叫做分解做分解质因数。因数。对于一个于一个质数，它的数，它的质因数可定因数可定义为它本身。它本身。编写一个程序写一个程序实现分解分解质因数。因数。5.14 常胜将军常胜将军题目要求：目要求：现有有21根火柴，两人根火柴，两人轮流取，每人每次可以取走流取，每人每次可以取走1至至4根，不可多取，也不能不取，根，不可多取，也不能不取，谁取最后一楰火柴取最后一楰火柴谁输。请编写一个程序写一个程序进行人机行人机对弈，要求人先取，弈，要求人先取，计算机后取；算机后取；计算机一方算机一方为“常常胜将将军”。5.15 求求的近似值的近似值题目要求：目要求：编写一个写一个C程序，用来求出程序，用来求出的

19、近似的近似值。题目分析：目分析：求求的方法很多，的方法很多，这里两种最里两种最为常用的求常用的求的方法。的方法。方法方法1：利用：利用“正多正多边形逼近形逼近”法求法求。“正多正多边形逼近形逼近”法求法求的核心思想是极限的思想。假的核心思想是极限的思想。假设一个直径一个直径d为1的的圆，只要求出，只要求出该圆的周的周长C，就可以通，就可以通过=C/d的方法求出的方法求出的的值。所以关。所以关键是求出是求出该圆的周的周长C。这里用里用“正多正多边形逼近形逼近”的方法求的方法求圆的周的周长。5.16 魔幻方阵魔幻方阵题目要求：目要求：有一种方有一种方阵被称被称为“魔幻方魔幻方阵”。所。所谓魔幻方魔

20、幻方阵是指在是指在n*n的矩的矩阵中填写中填写1n2这n2个数字，使得它的每一行、每个数字，使得它的每一行、每一列以及两个一列以及两个对角角线之和均相等。例如三之和均相等。例如三阶魔幻方魔幻方阵如下：如下：它的每一行、每一列以及两个它的每一行、每一列以及两个对角角线之和均之和均为15。编写一个程序，打印出一种三写一个程序，打印出一种三阶的魔幻方的魔幻方阵。5.17 移数字游戏移数字游戏题目要求：目要求：有有这样一个包含一个包含9个个圆圈的数圈的数阵，如，如图5-22所示：所示：图5-22 包含9个圆圈的数阵23768451图5-23 数阵的最终状态5.18 数字的全排列数字的全排列题目要求：目

21、要求：输入一个数字序列入一个数字序列a1,a2,an，将，将该序列序列进行排列，行排列，并并输出每一种排列方式。出每一种排列方式。5.19 完全数完全数题目要求：目要求：如果一个数恰好等于它的因子之和，那么如果一个数恰好等于它的因子之和，那么这个数就被个数就被称称为完全数。例如完全数。例如6的因子的因子为1，2，3，而，而6=1+2+3，因此，因此6是一个完全数。求出是一个完全数。求出1000以内的完全数。以内的完全数。题目分析：目分析：本本题最最为直接的解法就是利用直接的解法就是利用穷举法在法在11000以内判以内判断每个数是否是完全数，如果是完全数就断每个数是否是完全数，如果是完全数就输出

22、之。出之。问题的的关关键就是如何判断一个数就是如何判断一个数a是否是完全数。它要分是否是完全数。它要分为两个步两个步骤完成：完成：（1）求出）求出a的所有因子的所有因子a1,a2an的和的和sum；（2）判断）判断a1+a2+an的和的和sum是否等于是否等于a，如果，如果sum等于等于a则a是完全数，否是完全数，否则a不是完全数。不是完全数。5.20 亲密数亲密数题目要求：目要求：如果整数如果整数A的全部因子（包括的全部因子（包括1，不包括，不包括A本身）之和本身）之和等于等于B，并且整数，并且整数B的全部因子（包括的全部因子（包括1，不包括，不包括B本身）本身）之和等于之和等于A，则称整数

23、称整数A和和B为亲密数。求解密数。求解3000以内的全以内的全部部亲密数。密数。x1xix2,x3,xi-1,xi+1,xnAB找到xi为x1的亲密数，将xi送入A中，并在B中删除之。5.21 数字翻译器数字翻译器题目要求：目要求：输入一个正整数入一个正整数N，输出它的英文表达。例如：出它的英文表达。例如：输入入1，输出出one；输入入12，输出出twelve；输入入135，输出出one hundred thirty five。编写程序写程序实现之。之。题目分析：目分析：解决解决这道道题的关的关键是弄清阿拉伯数字与英文表达的是弄清阿拉伯数字与英文表达的对应关系。关系。首先数字首先数字119中每

24、个数都中每个数都对应一个英文的一个英文的单词；5.22 递归实现数制转换递归实现数制转换题目要求：目要求：应用用递归的方法的方法实现一个数制一个数制转换器，它可以将器，它可以将输入的二入的二进制数制数转换为十十进制表达。制表达。5.23 谁在说谎谁在说谎题目要求：目要求：三个嫌疑犯在法官面前各三个嫌疑犯在法官面前各执一一词，甲，甲说：乙在：乙在说谎；乙乙说：丙在：丙在说谎；丙；丙说：甲乙两人都在：甲乙两人都在说谎。法官。法官为了了难，甲乙丙三人到底甲乙丙三人到底谁在在说谎，谁说的是真的是真话？题目分析：目分析：这是一道十分有趣的是一道十分有趣的逻辑推理推理问题。解决。解决这类逻辑推推理理问题最最简单直直观的方法是使用的方法是使用穷举法。甲乙丙三人中任法。甲乙丙三人中任何人所何人所说的的话无外乎有两种可能，即真和假。如果用无外乎有两种可能，即真和假。如果用1表示表示真，用真，用0表示假，甲乙丙三人所表示假，甲乙丙三人所说的的话的真假情况限定在以的真假情况限定在以下范下范围内。内。