《数学发展概述》PPT课件.ppt

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1、数学发展概述数学发展概述数学发展概述数学发展概述最喜欢的最喜欢的最喜欢的最喜欢的外语外语外语外语20%20%、数学、数学、数学、数学17%17%、体育、信息技、体育、信息技、体育、信息技、体育、信息技术术术术最不喜欢的最不喜欢的最不喜欢的最不喜欢的政治、物理、数学、外语政治、物理、数学、外语政治、物理、数学、外语政治、物理、数学、外语压力很大的压力很大的压力很大的压力很大的数学、物理、外语、化学数学、物理、外语、化学数学、物理、外语、化学数学、物理、外语、化学实用性最差的实用性最差的实用性最差的实用性最差的政治、历史、美术、数学政治、历史、美术、数学政治、历史、美术、数学政治、历史、美术、数学

2、内容偏多的内容偏多的内容偏多的内容偏多的数学、物理、政治、历史数学、物理、政治、历史数学、物理、政治、历史数学、物理、政治、历史内容太难的内容太难的内容太难的内容太难的物理、数学、化学、外语物理、数学、化学、外语物理、数学、化学、外语物理、数学、化学、外语数学的公众形象是怎样的？数学数学-是一些居心叵测的成年人为青年人挖的陷井？是一些居心叵测的成年人为青年人挖的陷井？数学问题数学问题-是那些频频出现在试卷或书本上，让某些老师是那些频频出现在试卷或书本上，让某些老师看着学生崴脚而感到窃喜的东西？看着学生崴脚而感到窃喜的东西？中学生对数学课的态度中学生对数学课的态度:“又爱又恨又爱又恨”-又喜欢又

3、讨厌又喜欢又讨厌,或或者是有的喜欢者是有的喜欢,有的讨厌有的讨厌.数学在大多数公众的心目中是一堆数字和公式，抽象、深数学在大多数公众的心目中是一堆数字和公式，抽象、深奥甚至神秘，对数学的应用价值也不甚了解。奥甚至神秘，对数学的应用价值也不甚了解。学习数学二个原则：实用与用与审美美。数学美：数学美：简单、对称、完称、完备、统一、和一、和谐与奇异。与奇异。数学的特点：抽象性、精确性、数学的特点：抽象性、精确性、应用广泛性。用广泛性。数学思数学思维方式：抽象化、符号化、公理化、最方式：抽象化、符号化、公理化、最优化化和数学模型。和数学模型。数学教育中的弊病：讲演演绎不不讲发现；讲结果不果不讲探索；探

4、索；讲细节不不讲思想。思想。数学对象的产生与演化活动活动 观念观念 数学概念数学概念收集收集 集体集体 集合集合数数数数 下一个下一个 后继、次序、序数后继、次序、序数比较比较 计数计数 一一对应、基数一一对应、基数计算计算 数的结合数的结合 加数、乘法规则加数、乘法规则计时计时 先后先后 线性顺序线性顺序观察观察 对称对称 变换群变换群测量测量 距离、广度距离、广度 度量空间度量空间移动移动 变化变化 变化率变化率估计估计 逼近、附近逼近、附近 连续性、极限连续性、极限挑选挑选 部分部分 子集子集论证论证 证明证明 逻辑连词逻辑连词选择选择 机会机会 概率概率数学教学的主要任务：1 1）发展

5、符号意展符号意识；2 2）实现从直从直观描述到描述到严格格证明的明的转变，培养，培养逻辑思思维能力；能力；4 4）实现从常量数学到从常量数学到变量数学的量数学的转变。学好数学的五个怎样：怎怎样（发现、证明、明、理解、理解、应用、推广）定理。用、推广）定理。礼堂排椅电影院椅 枖痋爿数学与人文科学1、宗教：、宗教：三种信仰的基石：绝对真理、永恒的东西、超感官世界。2、政治：、政治：意识起源于物质，物质世界有自然规律，则人类社会也有自然规律，可用数学刻画，几何原本（算术数学：科学体系、公理方法、演绎推理、严密科学）是政治学研究范式。如边沁道德与立法原理引论的如下五条公理创建伦理学理论：（1）人生而平

6、等；（2）知识和信仰来自感觉经验；（3）人人都趋利避害；（4）人人都根据个人利益行动；（5）最大多数人的最大利益是衡量是非的标准。他得出政治学基本公理“政府应当绝大多数人的最大幸福”及洛克的“天赋人权”公理。“三角形的任意两边之和大于第三边”三权分立中权利分配原则。美国独立宣言借助了欧氏几何的模型，如“所有的直角都相等所有的人生来都平等”。（边沁的情书）3、数学与人口论：、数学与人口论：马尔萨斯人口论两个公理：马尔萨斯人口论两个公理：“食物是人类生存所必须的食物是人类生存所必须的”，“性爱也是人类生存所必须的类性爱也是人类生存所必须的类”引出了达尔文的公理引出了达尔文的公理“物竞天择，适者生物

7、竞天择，适者生存存”4、统计与社会学：、统计与社会学：统计学诞生（英国格兰特统计学诞生（英国格兰特1662关于死亡公报的自然和政关于死亡公报的自然和政治观察治观察）：死亡率是常数、性别比是）：死亡率是常数、性别比是1所以一夫一妻制合理。正态曲线证明所以一夫一妻制合理。正态曲线证明“天才稀少，美人难得天才稀少，美人难得”。回归效应证明了。回归效应证明了“父智儿庸，父庸儿智父智儿庸，父庸儿智”。5、数学与经济学：、数学与经济学：现代经济学以数学为基础：提高推理的可靠性、抵制先入现代经济学以数学为基础：提高推理的可靠性、抵制先入为主、定量分析和决策（博弈论）。获得经济学诺贝尔奖的一半是数学家，如为主

8、、定量分析和决策（博弈论）。获得经济学诺贝尔奖的一半是数学家，如纳什的博弈论（纳什的博弈论（1994）囚徒困境（纳什均衡）囚徒困境（纳什均衡”首先对亚当首先对亚当斯密的斯密的“看不见的手看不见的手”的原理提出挑战：按照斯密的理论，在市场经济中，每一个人都从利己的目的原理提出挑战：按照斯密的理论，在市场经济中，每一个人都从利己的目的出发，而最终全社会达到利他的效果。但是我们可以从的出发，而最终全社会达到利他的效果。但是我们可以从“纳什均衡纳什均衡”中引出中引出“看不见的手看不见的手”原理的一个悖论：从利己目的出发，结果损人不利己，既不利原理的一个悖论：从利己目的出发，结果损人不利己，既不利己也不

9、利他。）。己也不利他。）。数学发展史分为四个阶段：数学发展史分为四个阶段：第一个时期：数学形成时期，这是人类建立最基本的数学概念的时期人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最简单的几何形式，算术与几何还没有分开第二个时期称为初等数学，即常量数学时期，这个时期的基本的、最简单的成果构成现在中学数学的主要内容这个时期从公元前5世纪开始直到17世纪这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角第三个时期是变量数学时期第四个时期是现代数学一、一、数学文明的发祥数学文明的发祥埃及埃及几何的故乡几何的故乡已掌握了加、减、乘、除四种运算会算一些平面图形的面积及一些立体的体

10、积巴比伦巴比伦代数的源头代数的源头会开平方、开立方，并有平方、平方根、立方和立方根表知道二次方程的求根公式印度印度阿拉伯数字的诞生地阿拉伯数字的诞生地阿拉伯数字是印度人的发现，他们大约在公元前4世纪就开始使用这种数字，直到公元8世纪才传入阿拉伯国家，后经阿拉伯人传入欧洲用符号“0”表示零是印度人的一大发明二、二、现代文明的发祥地现代文明的发祥地希腊希腊 世界上曾经存在21种文明，但只有希腊文化转变成了今天的工业文明，究其原因，乃是数学在希腊文明中提供了工业文明的要素 欧几里得（Euclid,约公元前300年）是古代最杰出的数学家之一，欧几里得的几何原本的出现是数学史上的一个伟大的里程碑 算术数

11、学原型（欧几里得几何原本：科学体系、公理方法、演绎推理、严密科学）变量数学产生于变量数学产生于1717世纪，大体上经历了两个决定性的重大步骤：第一世纪，大体上经历了两个决定性的重大步骤：第一步是解析几何的产生；第二步是微积分的创立。步是解析几何的产生；第二步是微积分的创立。对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究，在数学中对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究，在数学中产生了变量和函数的概念，数学对象的这种根本扩展决定了数学向新的阶产生了变量和函数的概念，数学对象的这种根本扩展决定了数学向新的阶段，即向变量数学时期的过渡段，即向变量数学时期的过渡 16371637年笛卡儿

12、的著作年笛卡儿的著作几何学几何学，这本书奠定了解析几何的基础，从，这本书奠定了解析几何的基础，从而变量进入了，运动进入了数学而变量进入了，运动进入了数学 牛顿和莱布尼茨在牛顿和莱布尼茨在1717世纪后半叶建立了微积分微积分的诞生具有划世纪后半叶建立了微积分微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点。时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点。近代数学与古代数学区别：近代数学与古代数学区别：（1 1）符号化（）符号化（15911591年韦达年韦达解析法入门解析法入门）（2 2）解析几何（笛卡尔）解析几何（笛卡尔）（3 3）有穷数学到无穷数学（牛顿、莱布尼茨的微积分）有穷数学到无穷数学（

13、牛顿、莱布尼茨的微积分）三、三、变量数学时期变量数学时期 数学发展第一时期与第二时期的主要成果，即初等数学中的主要内容已经成为中小学教育的内容第三个时期的基本结果，如解析几何（部分已放入中学）、微积分（部分已放入中学）、微分方程、高等代数、概率论（部分已放入中学）等已成为高等学校理工科教育的主要内容 现代数学时期，大致从19世纪上半叶开始数学发展的现代阶段的开端，以其所有的基础代数、几何、分析中的深刻变化为特征四、四、现代数学现代数学1、几何学的质变欧氏几何到非欧几何，现实空间到抽象空间欧氏几何的第五公设第五公设为：过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行过直线外一点，有且仅有一条直线与已

14、知直线平行否定它，得到新的公设：过过直线外一点，至少可以作两条直线和已知直线平行。直线外一点，至少可以作两条直线和已知直线平行。（罗氏几何）过直线外一点，不能作直线和已知直线平行过直线外一点，不能作直线和已知直线平行.（黎曼几何）2、代数的质变：、代数的质变：法国数学家伽罗华公元（法国数学家伽罗华公元（1811-1832）的建立群论抽象代数。的建立群论抽象代数。3、分析的质变：、分析的质变：首先，它的基础得到了精确化，并产生首先，它的基础得到了精确化，并产生了一系列新的分支，如实变函数、复变了一系列新的分支，如实变函数、复变函数论、泛函分析等函数论、泛函分析等进入进入20世纪以来，数学的研究对

15、象，数学的应世纪以来，数学的研究对象，数学的应用范围大大扩展，用范围大大扩展，特别是计算机的出现特别是计算机的出现产生产生了众多新而又新的数学分支了众多新而又新的数学分支19世纪数学三大成就：非欧几何的建立、群论的产生与数学分析的世纪数学三大成就：非欧几何的建立、群论的产生与数学分析的严格化。严格化。数的扩张是贯穿数学历史中一条明显的红线。数的扩张是贯穿数学历史中一条明显的红线。数学结构：对于集合数学结构：对于集合S，又赋予结构，又赋予结构S。即（。即（M,S）。三大结构：序）。三大结构：序结构（大小）、代数结构（运算）、拓扑结构（亲疏远近）结构（大小）、代数结构（运算）、拓扑结构（亲疏远近）

16、20世纪四大抽象学科：实变函数、泛函分析、抽象代数和拓扑学。世纪四大抽象学科：实变函数、泛函分析、抽象代数和拓扑学。抽象引起分析、代数和几何概念上的变革：抽象引起分析、代数和几何概念上的变革：长度概念测试长度概念测试实变函数论，泛函分析实变函数论，泛函分析数概念代数结构数概念代数结构抽象代数抽象代数空间概念弯曲性空间概念弯曲性非欧几何非欧几何 连续性（拓扑学）连续性（拓扑学）函数概念对应与映射函数概念对应与映射无穷与数学危机无穷与数学危机 数学史上有过三次数学危机，它们都与无穷有关。数学史上有过三次数学危机，它们都与无穷有关。第一次数学危机第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循

17、环小数的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数 第二次数学危机第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无穷有穷过渡到无穷”的重要手段。例如他指责牛顿，为计算比如说的重要手段。例如他指责牛顿，为计算比如说 x2 的导的导数，先将数，先将 x 取一个不为取一个不为0的增量的增量 x，由，由(x+x)2-x2，得到，得到 2xx+(x2)，后再被，后再被 x 除，得到除，得到 2x+x，最后突然令，最后突然令 x=0，求得导数为，求得导数为 2x。这是。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果依靠双重错误得到了不科

18、学却正确的结果”。因为无穷小量在。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。即牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。即“贝克莱悖论贝克莱悖论”。第三次数学危机：第三次数学危机：罗素悖论是：罗素悖论是：以以 表示表示“是其本身成员的是其本身成员的所有集合的集合所有集合的集合”（所有异常集合的集合），（所有异常集合的集合），而以而以 表示表示“不是它本身成员的所有集合的集不是它本身成员的所有集合的集合合”（所有正常集合的集合），于是任一集合（所有正常集合的集合），于是任一集合或者属于或者属于 ，或者属于，或者属于 ，两者必居其一，且，两者必居其一，且只居其一。然后问：集合只居

19、其一。然后问：集合 是否是它本身的成是否是它本身的成员？（集合员？（集合 是否是异常集合？）是否是异常集合？）二、无限与有限的区别和联系二、无限与有限的区别和联系 1.1.区别区别 1 1）在无限集中，在无限集中，“部分可以等于全体部分可以等于全体”（这是无限的本质），而（这是无限的本质），而在有限的情况下，在有限的情况下，部分总是小于全体。部分总是小于全体。2.2.）“有限有限”时成立的许多命题，时成立的许多命题，对对“无限无限”不再成立不再成立 （1 1）实数加法的结合律）实数加法的结合律 在在“有限有限”的情况下，加法结合律成立。在的情况下，加法结合律成立。在“无限无限”的情况下，加的情况下，加法结合律不再成立。如法结合律不再成立。如（2）有限级数一定有）有限级数一定有“和和”。是个确定的数是个确定的数 无穷级数一定有无穷级数一定有“和和”。则不是个确定的数。称为该级数则不是个确定的数。称为该级数“发发散散”。反之称为。反之称为“收敛收敛”。2.联系联系在在“有限有限”与与“无限无限”间建立联系的手段，间建立联系的手段，往往很重要。往往很重要。1）数学归纳法）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。命题对无限个自然数均成立。2）极限）极限 通过有限的方法，描写无限的过通过有限的方法，描写无限的过程。程。