(完整word)《量子力学教程》周世勋_课后答案.pdf

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1、量子力学课后习题详解第一章量子理论基础11 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m与温度 T 成反比，即m T=b（常量）；并近似计算 b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式8hv3vdv3c1ehvkTdv，（1）1以及v c，（2）vdv vd，（3）有dvd c d v()dv()c 8hc51ehckT,1这里的的物理意义是黑体内波长介于与+d之间的辐射能量密度。本题关注的是取何值时，取得极大值，因此，就得要求对的一阶导数为零，由此可求得相应的的值，记作m。但要注意的是，还需要验证对的二阶导数在m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m

2、就是要求的，具体如下：8hc6e1hckThc15hckT11ekT 015hckT11ehchckT 05(1e如果令 x=kT)hckThc，则上述方程为kT5(1 ex)x这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有mT 把 x 以及三个物理常量代入到上式便知hcxkmT 2.9103m K这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。12 在 0K 附近

3、，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，P h2如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动ec），那么p2E 2e如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.5110 eV，因此利用非相对论性的电子的能量动量关系式，这样，便有6hp2h2eEhc2ec2E1.24106620.5110 3 0.71109m 0.71nm在这里，利用了mhc 1.24106eV m以及ec2 0.51106eV最后，对hc2ec E2作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大

4、时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。13 氦原子的动能是E 长。解根据3，求 T=1K 时，氦原子的德布罗意波kT（k 为玻耳兹曼常数）21k K 103eV，知本题的氦原子的动能为E 显然远远小于核c这样，便有233kT k K 1.5103eV,22hc2核c E231.241069323.710 1.510 0.37109m 0.37nm这里，

5、利用了m核c2 4931106eV 3.7109eV最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为 T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为hc2c E2hc2kc T2据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。14 利用玻尔索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知

6、外磁场 H=10T，玻尔磁子MB 910并与 T=4K 及 T=100K 的热运动能量相比较。解玻尔索末菲的量子化条件为24J T1，试计算运能的量子化间隔E，pdq nh其中 q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n 是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为，于是有p212E kx22这样，便有p 2(E 12kx)2这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据E 可解出x 12kx22Ek4这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔索末菲的量子化条件，有x2(

7、E 12kx2)dx x1xx()2(E 2kx2)dx nhxx2(E 12kx2)dxxx2(E 12kx2)dx nhx2(E 1nx2kx2)dx 2h为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；x 2Eksin这样，便有22Ecos2d2Esinnh2k2E cos2Ekcosdn2222h2cos2dn2E2k2h这时，令上式左边的积分为A，此外再构造一个积分B 22E sin2d2k这样，便有A B 22EE2kd 2k,（1）AB 22Ecos2d2k2Ecos2d(2)2k2Ed,2kcos这里=2，这样，就有A B Ekd sin 0根据式（1）和（2），便有（2）5A E这样

8、，便有kEknh2E nh2k nh其中h k,h2最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有2R qBp qBR这时，玻尔索末菲的量子化条件就为20qBRd(R)nhqBR22 nhqBR2 nhp2又因为动能耐E，所以，有2(qBR)2q2B2R2E 22qBnq nB22 nBNB,其中，MBq是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且2E BMB6具体到本题，有E 1091024J 91023J根据动能与温度的关系式E 以及3kT21k K 103eV 1.61022J可知，当温度

9、T=4K 时，E 1.541.61022J 9.61022J当温度 T=100K 时，E 1.51001.61022J 2.41020J显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。15 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？解关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风

10、电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有E hv ec2此外，还有E pc 于是，有hchcec2hcec21.24106m0.51106 2.41012m 2.4103nm尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，7这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，

11、新物理。第二章波 函数和薛定谔方程2.1 证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令(r，t)(r)f(t)i(r)eEtJ i(*2m)i2m(r)ei（(r)eiEtEt）*(r)eiEt（(r)eiEt）i2m(r)*(r)*(r)(r)可见J与t无关。2.2由下列定态波函数计算几率流密度：(1)11eikr(2)1 ikrr2re从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点)传播的球面波。解：J1和J2只有r分量在球坐标中 r 1 10r er ersin(1)Ji*12m(1111)i2m1ikr1ikr1ikr1ikrrer(re)rer(re)r0i 12m

12、r(11111 r2ikr)r(r2ikr)r0k kmr2r0mr3r8J1与r同向。表示向外传播的球面波。(2)Ji*22m(222)i 1ik2mrerr(1reikr)1reikrr(1reikr)r0i2m1r(11111 r2ikr)r(r2ikr)r0 k k mr2r0 mr3r可见，J2与r反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。补充：设(x)eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？*dx dx 波函数不能按(x)2dx 1方式归一化。其相对位置几率分布函数为21表示粒子在空间各处出现的几率相同。2.3一粒子在一维势场U(x)，x 00，0 x a，x a中运

13、动，求粒子的能级和对应的波函数。解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S方程2d22m dx2(x)U(x)(x)E(x)在各区域的具体形式为：x 02d22m dx21(x)U(x)1(x)E1(x)：0 x a2d22m dx22(x)E2(x)92d23(x)U(x)3(x)E3(x)：x a2m dx2由于(1)、(3)方程中，由于U(x)，要等式成立，必须1(x)02(x)0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为d22(x)dx22mE22(x)0令k22mE2，得d22(x)dx2 k22(x)0其解为2(x)Asinkx Bcoskx根据波函数的标准条件确定系数A，

14、B，由连续性条件，得2(0)1(0)2(a)3(a)B 0 A 0sinka 0 ka n(n 1,2,3,)n2(x)Asinax由归一化条件(x)2dx 1a得A2sin2n0axdx 1a由bsinmaxsinnaxdx a2mn Asinka 010 A 2a2n2(x)asinax k22mE222 En2ma2n2(n 1,2,3,)可见 E 是量子化的。对应于En的归一化的定态波函数为2niEntsinxe,0 x an(x,t)aa0,x a,x a#2.4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是A 1an证：Asin(x ana),0,（2.6-14）由归一化，得12annd

15、x aA2sin2a(x a)dx A2a1na21cosa(x a)dxA2aA22xa2anacosa(x a)dxa A2a A22ansinna(x a)a A2a归一化常数A 1a#2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。x ax a11解：(x)2xe222122x1(x)1(x)42 x2e222x23 x2e22x22d1(x)232x 22x3exdx令d1(x)0，得dxx 0 x 1x 由1(x)的表达式可知，x 0，x 时，1(x)0。显然不是最大几率的位置。d21(x)23222232x2而(26x)2x(2x 2x)edx23224(152x2 24x4)ex

16、d21(x)431 2 0edx21x2可见x 1 是所求几率最大的位置。#2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(x)U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为2d2(x)U(x)(x)E(x)22dx将式中的x以(x)代换，得2d2(x)U(x)(x)E(x)2dx2利用U(x)U(x)，得122d2(x)U(x)(x)E(x)2dx2比较、式可知，(x)和(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此(x)和(x)之间只能相差一个常数c。方程、可相互进行空间反演(x x)而得其对方，由经x x反演

17、，可得，(x)c(x)由再经 x x反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。(x)c(x)乘，得(x)(x)c2(x)(x)可见，c c2 2 1 1c 1当c 1时，(x)(x)，(x)具有偶宇称，当c 1时，(x)(x)，(x)具有奇宇称，当势场满足U(x)U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#2.7一粒子在一维势阱中U(x)U0 0,x a0,x a运动，求束缚态(0 E U0)的能级所满足的方程。解法一：粒子所满足的S-方程为2d22dx2(x)U(x)(x)E(x)按势能U(x)的形式分区域的具体形式为：2d22dx21(x)U01(x)E1(x)x a132d22

18、(x)E2(x)a x a：2dx22d23(x)U03(x)E3(x)a x ：22dx整理后，得：2(U0 E)121 0：.2E222 0：2(U0 E)323 0令k22(U0 E)12k22E22则：21 k11 0：.22 k22 0：3 k211 0各方程的解为1x1 Aek Bek1x2 Csink2x Dcosk2xk3 Ee1x Fek1x由波函数的有限性，有1()有限 A 0()有限 E 03因此1 Bek1x3 Fek1x由波函数的连续性，有141(a)2(a),Bek aC sink2aD cosk2a(10)1(a),k1Bek ak2C cosk2ak2D sin

19、k2a1(a)2(11)12(a)3(a),C sink2aD cosk2aFek1a(12)1(a)3(a),k2C cosk2ak2D sink2ak1Fek a2(13)整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得ek1aBsink2aCcosk2aD00k1ek1aBk2cosk2aCk2sink2aD000sink2aCcosk2aDek1aF00k2cosk2aCk2sink2aDk1ek1aF0解此方程即可得出 B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须ek1ak1ek1a00sink2acosk2ak2cosk2ak2sink2asin

20、k2ak2cosk2a00k1acosk2aek2sink2ak1Bek1a0ek1a00ek1ak2cosk2ak2sink2asink2acosk2ak2cosk2ak2sink2ak1ek1ak1ek1asink2acosk2a0sink2acosk2aek1ak2cosk2ak2sink2ak1ek1ak1aek1a k1k2ek1acos2k2ak2sink2acosk2a2ek1ak1k2ek1asin2k2ak2sink2acosk2a2ek1ek1ak1ek1asink2acosk2ak2ek1acos2k2ak1ek1asink2acosk2ak2ek1asin2k2ae2k

21、1a 2k1k2cos2k2ak22sin2k2ak1sin2k2a2e2k1a(k22k1)sin2k2a2k1k2cos2k2a2e22k1a0(k2k1)sin2k2a2k1k2cos2k2a0即(k2k1)tg2k2a2k1k20为所求束缚态能级所满足的方程。#解法二：接（13）式222C sink2aD cosk2ak2kC cosk2a2D sink2ak1k115kkCsink2a Dcosk2a 2kCcosk22a kDsink2a11k k2 2k kk kcoscosk k a a sinsink k a a2 22 22 2sinsink k2 2a a coscosk

22、 k2 2a ak k1 1k k1 1 0 02 2k kcoscosk kk k2 22 2a a sinsink k2 2a a(sinsink k2 2a a coscosk k2 2a a)1 1k k1 1 (k k2 2coscosk kk k2 2k k2 2a a sinsink k2 2a a)()(k ksinsink k2 2a a coscosk k2 2a a)1 11 1 (k k2 2k kcoscosk kk k2 2a a sinsink k2 2a a)()(2 2sinsink k2 2a a coscosk k2 2a a)0 01 1k k1 1(k

23、 k2 2k kcoscosk ksinsink kk k2 2a a 2 2a a)()(2 2sinsink k2 2a a coscosk k2 2a a)0 01 1k k1 1k k2 22 2k kcoscosk kk kk k2 2sinsink k2 2a a2 2a a 2 2sinsin2 2k k2 2a a 2 2coscos2 2k k2 2a a sinsink k2 2a acoscosk k2 21 1k ka a 0 01 1k k1 1(1 1 k k2 22 22 2k kk k2 2)sinsin2 2k k2 2a a 2 2coscos2 2k k2

24、 2a a 1 1k k0 01 1(k k2 22 22 2 k k1 1)sinsin2 2k k2 2a a 2 2k k1 1k k2 2coscos2 2k k2 2a a 0 0#解法三：(11)-(13)2 2k k k k1 1a a2 2D Dsinsink k2 2a a k k1 1e e(B B F F)(10)+(12)2Dcoskk1a2a e(B F)(11)(13)(10)(12)k2tgk2a k1(a)(11)+(13)2 2k k ik ik1 1a a2 2C C coscosk k2 2a a k k1 1(F F B B)e e(12)-(10)2C

25、sin k2a (F B)eik1a(1111)(1313)(1212)(1010)k k2 2ctgkctgk2 2a a k k1 1令 k k2 2a a，k k2 2a a，则tg(c)或ctg(d)22(k2 k2)2U20a122(f)16合并(a)、(b)：tg tg2 2k k2 2k k1 1k k2 222 2a a k k2 2利用tg2ktgk2a2a 2 2 k k2 21 11 tg2k2a#解法四：（最简方法-平移坐标轴法）：2 22 2 1 1 U U0 0 1 1 E E 1 1（0）：2 22 2 2 2 E E 2 2（02a a）：2 22 2 3 3

26、U U0 0 3 3 E E 3 3（2a a）2 2(U U0 01 1 E E)1 1 0 0 2 2 2 2 2 2 E E2 2 2 2 0 0 3 3 2 2(U U0 0 E E)2 2 3 3 0 01 k2k211 0(1)1 2(U0E)22 k222 0(2)k222 2E 束缚态0 0E EU U0 03 k213 0(3)1 1k k1 1x x1 1 AeAe k k x x BeBe 2 2 C C sinsink k2 2x x D Dcoscosk k2 2x x 1 1x x3 3 EeEe k k FeFe k k1 1x x 1 1()有限有限 B B 0

27、 0)有限有限 E E 0 03 3(因此 x x1 1 AeAek k1 1 k k3 3 FeFe 1 1x x由波函数的连续性，有171(0)2(0),A D(4)1(0)2(0),k1A k2C(5)(2a)3(2a),ka22Ccos2k2a k2Dsin2k2a k2k1Fe1(6)2(2a)3(2a),Csin2k2a Dcos2k2a Fe2k1a(7)(7)代入(6)C C sinsin2 2k k2 2a a D Dcoscos2 2k k2 2a a k k2 2k kC C coscos2 2k kk k2 2a a 2 2D Dsinsin2 2k k2 2a a1

28、1k k1 1利用(4)、(5)，得k1Asin2k Acos2kAcos2kk2k2a2a 2a Dsin2k2a2k1A(k1kk2k)sin2k2a 2cos2k2a 021 A 0(k1kk2)sin2k2a 2cos2k2a 02k1两边乘上(k1k2)即得(k222 k1)sin2k2a 2k1k2cos2k2a 0#2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为,x 0，U(x)U0,0 x a，U1,a x b，0,b x，求束缚态的能级所满足的方程。解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。定态 S-方程为2d22dx2(x)U(x)(x)E(x)对各区域的具体形式为：2

29、21U(x)1 E1(x 0)：222 U02 E2(0 x a)18：223 U13 E3(a x b)2：24 0 E4(b x)对于区域，U(x)，粒子不可能到达此区域，故1(x)0而.2(U0 E)222 02(U1 E)3 23 02E4 24 0对于束缚态来说，有U E 0 k212 0k22(U0 E)212 k22(U1 E)333 0k2324 k2 0k22444 2E/各方程的解分别为2 Aek1x Bek1x3 Csink2x Dcosk2xk3xk4 Ee Fe3x由波函数的有限性，得4()有限，E 04 Fek3x由波函数及其一阶导数的连续，得1(0)2(0)B A

30、2 A(ek3xek3x)k3xk3x2(a)3(a)A(e e)Csin k2a Dcosk2a19(a)3(a)Ak1(e3k3a ek3a)Ck2cosk2a Dk2sin k2ak3b3(b)4(b)Csin k2b Dcosk2b Fe(b)b4(b)Ck2sin k2b Dkk332cosk2b Fk3e由、，得k kk k k k1 1e e1 1a a e e1 1a aC Ccoscosk k2 2a a D Dcoscosk k2 2a ak kk k1 1a a k k sinsink k (11)2 2e e e e1 1a aC C2 2a a D Dcoscosk

31、k2 2a a由、得(k k2 2coscosk k2 2b b)C C (k k2 2sinsink k2 2b b)D D (k k3 3sinsink k2 2b b)C C (k k3 3coscosk k2 2b b)D D(k k2 2k kcoscosk kC C (k k2 22 2b b sinsink k2 2b b)coscosk k2 2b b sinsink k2 2b b)D D 0 0 (12)3 3k k3 3e ek k1 1a a e e k k1 1a a令 k k1 1e ek k1 1a a e e k k1 1a a k k，则式变为2 2(sins

32、ink k2 2a a coscosk k2 2a a)C C (coscosk k2 2a a sinsink k2 2a a)D D 0 0联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须(k k2 2k kcoscosk k b b sinsink kk k2 22 2b b)(2 2sinsink k2 2b b coscosk k2 2b b)3 3k k 0 0(sinsink k3 32 2a a coscosk k2 2a a)(coscosk k2 2a a sinsink k2 2a a)即即(coscosk kk k2 22 2a a sinsink k2 2a a)(

33、)(k kcoscosk k2 2b b sinsink k2 2b b)(sinsink k2 2a a coscosk k2 2a a)3 3(k k2 2k ksinsink k2 2b b coscosk k2 2b b)0 03 3 k k2 2k kcoscosk k b bcoscosk k k k2 22 22 2a asinsink k2 2b bsinsink k2 2a a sinsink k2 2b bcoscosk k2 2a a 3 3k k3 3 sinsink kk k2 22 2b bsinsink k2 2a a k ksinsink k b bsinsin

34、k kk k2 22 2a a 2 2sinsink k2 2b bcoscosk k2 2a a)3 3k k3 3 coscosk k2 2b bsinsink k2 2a a coscosk k2 2b bcoscosk k2 2a a 0 0sinsink kk k2 22 2(b b a a)()(k k)coscosk kb b a a)()(k k2 22 2(1 1)0 03 3k k3 3tgktgkk k2 2k k2 22 2(b b a a)(1 1 k k)()3 3k k3 3把 代入即得(b b a a)(1 1 k ka ak ka atgktgk2 2e ek

35、 k1 1 e e k k1 1a ak k2 2k k1 1e e1 1a a e e k k1 12 2k ke ek k1 1a a e e k k1 1a a)(k k k k)3 3k k2 2e e1 1a a e e k k1 1a a3 320此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。#附：从方程之后也可以直接用行列式求解。见附页。(e ek k1 1a a e e k k1 1a a)sinsink k2 2a a coscosk k2 2a a0 0(e ek k1 1a a e e k k1 1a a)k k2 2 k k2 2coscosk k2 2a ak k2 2sin

36、sink k2 2a a0 00 0sinsink k2 2b bcoscosk k2 2b b e e k k3 3a a 0 00 0k k2 2coscosk k2 2b b k k2 2sinsink k2 2b bk k3 3e e k k3 3a a k k2 2coscosk k2 2a ak k2 2sinsink k2 2a a0 00 0 (e ek k1 1a a e e k k1 1a a)sinsink k2 2b bcoscosk k2 2b b e e k k3 3a a k k2 2coscosk k2 2b b k k k k2 2sinsink k2 2b

37、bk k3 3e e3 3a a sinsink k2 2a a coscosk k2 2a a0 0 k kk k1 1(e e1 1a a e e k k1 1a a)sinsink k2 2b bcoscosk k2 2b b e e k k3 3a ak k2 2coscosk k2 2b b k k2 2sinsink k2 2b bk k k k a a3 3e e3 3 (e ek k1 1a a e e k k1 1a a（)k k k k3 3a acoscosk k2 2 k k2 2k k3 3e e2 2a acoscosk k2 2b b k k2 2e e3 3a

38、asinsink k2 2a acoscosk ka a2 2 k k2 2b b k k2 2k k3 3e e k k3 3sinsink k2 2a asinsink k2 2b b k k2 2e e3 3a acoscosk k2 2a asinsink k2 2b b）k kk k1 1(e e1 1b b e e k k1 1b b（)k k k k2 2k k3 3e e3 3b bsinsink k2 2a acoscosk k2 2b b k k k k2 2e e3 3b bcoscosk k2 2a acoscosk k2 2b b k k3 3e e k k3 3b

39、bcoscosk k2 2a asinsink k2 2b b k k2 2e e k k3 3b bsinsink k2 2a asinsink k2 2b b）(e ek k1 1a a e e k k1 1a a)k k2 22 2k k3 3coscosk k2 2(b b a a)k k2 2sinsink k2 2(b b a a)e e k k3 3b b (e ek k1 1a a e e k k1 1a a)k kb b1 1k k3 3sinsink k2 2(b b a a)k k1 1k k2 2coscosk k2 2(b b a a)e e k k3 3 e ek

40、k1 1a a (k k a a)(k k2 21 1 k k3 3)k k2 2coscosk k2 2(b b2 2 k k1 1k k3 3)sinsink k2 2(b b a a)e e k k3 3b be e k k1 1a a(k k(k k2 21 1 k k3 3)k k2 2coscosk k2 2(b b a a)2 2 k k1 1k k3 3)sinsink k2 2(b b a a)e e k k3 3b b 0 0 (k k2 21 1 k k3 3)k k2 2 (k k2 2 k k1 1k k3 3)tgktgk2 2(b b a a)e e k k3 3

41、b b(k k2 21 1 k k3 3)k k2 2 (k k2 2 k k1 1k k3 3)tgktgk2 2(b b a a)e e k k3 3b b 0 0(k k2 2 k k2 2k k2 22 21 1k k3 3)e e1 1a a (k k k k1 1k k3 3)tgktgk2 2(b b a a)(k k1 1 k k3 3)k k2 2k k2 22 2e e1 1a a (k k1 1 k k3 3)k k2 2 0 0此即为所求方程。#补充练习题一1、设(x)1 Ae2x22(为常数)，求 A=？解：由归一化条件，有1 A22x2ed(x)A212x2ed(x

42、)21 A21ey2dy A21利用ey2dy A#2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。12设基态的经典界限的位置为a，则有1122E0a 22解：基态能量为E0a 在界限外发现振子的几率为1 a0axedx exdx(0a022220ex)2222a0e22xdx(偶函数性质)2a0e(x)d(x)eydy2222112122eydy eydy221122et2/2dt（令y 12t)式中2et2/2dt为正态分布函数(x)2xet2/2dt当x 2时的值(2)。查表得(2)0.92 0.92 2(10.92)0.16在经典极限外发现振子的几率为0.16。#23、试证明(x)e

43、3122x(23x33x)是线性谐振子的波函数，并求此波函数对22应的能量。证：线性谐振子的 S-方程为2d22dx(x)122x2(x)E(x)把(x)代入上式，有d1dx(x)d22x2dx3e(23x33x)122x(23x33x)(63x23)e2x2312x23e2(25x493x23)d2(x)d1222xdx2dxe(25x493x23)31xe22x23(2x493x23)e122x225(85x3183x)12(4x272)2x23e(23x33x)(4x272)(x)把d2dx2(x)代入式左边，得左边 2d2(x)2dx21222x(x)7222(x)224x2(x)12

44、2x2(x)722(x)22（）4x2(x)122x2(x)7(x)12x2122(x)22x2(x)72(x)右边 E(x)当E 72时，左边=右边。n=323d2(x)e122x其对应的能量(23x33x)，是线性谐振子的波函数，3dx为72。第三章 量子力学中的力学量2x2i3.1一维谐振子处在基态(x)e22t，求：(1)势能的平均值U U 1 12 22 2x x2 2；(2)动能的平均值T T p p2 22 2；(3)动量的几率分布函数。解：(1)U U 1 12 22 21 12 2x x 2 2 2 2 x x2 2e e 2 2x x2 2dxdx1122211122222

45、2224 1 14 4 ax235(2n 1)0 x2nedx 12n1ana(2)T p2212*(x)p2(x)dx12112x222ed2dx2)e22x2(dx222(12x2)e2x2dx22e2x2dx 2x2e2x22dx2422222322222224414或T E U 111244(3)c(p)*p(x)(x)dx2 2 1 1 1 12 2 x x2 2 i i2 2 e ee ePxPxdxdx12122x2iPxeedx2 2 1 1 1 12 2 2 2(x x ip ipp p2 2 2 2)2 2 2 22 22 2 e edxdx 1 1 p p2 22 22

46、22 2 e e 2 2 1 1 2 2(x x ip ip2 22 2 2 2)e edxdx1 1p p2 22 2 2 2 22 22 2p2222 2 e e 1e动量几率分布函数为(p)c(p)21p222e#3.2.氢原子处在基态(r,)1r/a0a3e，求：0(1)r 的平均值；(2)势能e2r的平均值；(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。25解：(1)r r(r,)2d122r/a0a3r2sindrdd0000re4a3a2r/a0dr00r3nax0 x edx n!an143!3a3a002 42a0(2)U (e221r)e2a30 re2r

47、/a0000r2sindrdde2 a3rsindrdd022r/a0000e4e2 e2r/a0r dra300 4e21e2a32 02 a0a0(3)电子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为(r)dr 200(r,)2r2sindrdd4a3e2r/a0r2dr0(r)42r/a3ea0r20d(r)42a3(2r)re2r/a0dr0a0令d(r)dr 0，r1 0,r2,r3 a0当r1 0,r2 时，(r)0为几率最小位置d2(r)48422r/a0dr2a3(2r r0a2)e0a0d2(r)8dr2 ra0a3e2 0026r a0是最可几半径。(4)T21 1p 2 22r2

48、r(r2r)1sin(sin)1 sin2222T 2212000a3er/a02(er/a0)r2sindrdd0 2212000a3er/a01 d2r2d(er/a020rdrdr)r sindrdd 421(2r r2r/a02a3(0a00a)edr042a220a022a4(2)0442a20(5)c(p)*p(r)(r,)dc(p)11r/a02ipr cos2(2)3/20a3er dr0esind0d02er/a0dripr cos(2)3/2a30r20ed(cos)02r/ai0prcos(2)3/2a30r2edr0ipre0ii2r/a0pr(2)3/2a30ip0r

49、e(epre)drnn!0 x eaxdx an12(2)3/a31210ip(1ip)2(1ip)2a0a014ip2a3320 ipa(1ap)202024a4402a33a222200(a0p )27(2a0)3/2(a0p )2222动量几率分布函数358a 2(p)c(p)02(a2240p )#3.3证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是Jer Je 0Jemersin2nm证：电子的电流密度为Jie eJ e2(*nmnmnmnm)在球极坐标中为 e 1 rrre1 ersin式中e e、e er r、e e 为单位矢量J eJ ei 1 1*enm(ere e

50、)2rrrsinnm*1 1nm(errreersin)nm ie*1*2e(r*rnmnmnmrnm)e(nmr nm*1 1*1*nmr nm)e(rsinnmnmrsinnmnm)n nm m中的r r和 部分是实数。Je ie2rsin(im22em2nmimnm)e rsinnme可见，Jer Je 0Je em2rsinnm28#3.4由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。(1)求一圆周电流的磁矩。(2)证明氢原子磁矩为me(SI)2M Mzme(CGS)2c原子磁矩与角动量之比为e(SI)Mz2eLz(CGS)2c这个比值称为回转磁比率。解：(1)一圆周电流的