2020学年上海市延安中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、上海市延安中学高二上学期期末数学试题一、单选题1已知复数z，“z z 0”是“z为纯虚数”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：当z 0时，满足z z0，此时z为实数；而当z为纯虚数时，z z 0，所以“z z 0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件，故选B1、复数的概念；2、充分条件与必要条件2方程x 4 y20对x 4 y2y 4 x20化简为x2+y2=4,x 0,y 0，即可选出答案。222xy 4 x20 x=4 yx2+y2=4,22x+y=4,x 0,y故表示的为曲线为x2+y2=4在第一象限的部分。x故选D【点睛】本题考查函

2、数的的图像，正确化简等式是解本题的关键，属于基础题。3已知椭圆C的中心为原点O，F（25,0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|且PF 4，则椭圆22C的方程为（）222222xyxy1xyxyA25 5B136 16C130 10D145 25【答案】B【解析】由题意可得c=2 5，设右焦点为F，由|OP|=|OF|=|OF|知，PFF=FPO，OFP=OPF，所以PFF+OFP=FPO+OPF，由PFF+OFP+FPO+OPF=180知，FPO+OPF=90，即PFPF在RtPFF中，由勾股定理，得PF24 52428，由椭圆定义，得|=2a=4+8=12，从而于是22222|

3、PF|=FF2|PF|+|PF2a=6，得a=36，b=ac=36=16，所以椭圆的方程为x y 136 16故选：B点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在4在平面直角坐标系1，M、N为圆C1:x y 12上的动点，22xOy中，已知点A坐标为3，14上的动点，则四边形Q为圆AMQN能C2:x y22构成矩形的个数是（）个A.0个B.2个C.4个D.无数个【答案】D【解析】过A作两条相互垂直的直线，交圆C1于M,N两点，求得MN中点B的坐标，求得矩形

4、AMQN.证明A关于B的对称点Q点的坐标，构造Q点在圆C2上，由此证得四边形矩形的个数是无数个.【详解】过A作两条相互垂直的直线，交圆点，设Mx1,y1,N x2,y2，2222AMQN能构成C1于M,N两uuur uuurAN，所以AM AN则x1 y1 12，x2 y2 12.由于AMx13,y11x23,y21x1x23x1x2y1y2y1y210 0.y1y2则A 3,1关于B x12x2,y12y2M,N中点B的坐标为Bx12x2Q x1x23,y1y21.根据对称性可知BA BMBQ BN，故四边形AMQN是矩形.由于22x1x23222y1y212x1y1x2y22 x1x23

5、x1 x2y1y2y1y21010，将22代入得Q在圆C2上.由于AM,AN是任意x1x232 y1y212 14，故的两条相互垂直的直线，所以四边形AMQN能构成矩形的个数是无数个.故选：D.【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，考查两条直线垂直的向量表示，考查数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题52的平方根是.【答案】2【解析】根据正实数的平方根的知识，求得【详解】正实数a的平方根为故填：2.【点睛】a，所以2的平方根.2的平方根是2.本小题主要考查正实数的平方根的知识，属于基础题.6若复数位，则zzz 1 3i，其中i是虚数单.【答案】10【解析】先求得.【

6、详解】依题意z 1 3i，所以z z 1 3i 1 3i 1 3 10.2z的共轭复数z，进而求得z z的值故填：10.【点睛】本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数乘法运算，属于基础题.7已知直线ky kx 2与圆.x2 y2 1相切，则实数【答案】3【解析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得k的值.【详解】直线y kx 2化为一般式得的圆心为0,0，半kx y 2 0，圆x y 122径为1，由于直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径，所以2 1，21 k2解得k 3.故填：3.【点睛】本小题主要考查根据直线和圆相切求直线的斜率，考查点到直线距离公式，考查圆的几何性质，属于基础

7、题.8方程表示一个圆，则x2y2xym0m的取值范围是_【答案】m0，即x22yE21m0，得（1）21241有相同焦点，且长轴长为4 5的椭圆方程是9 与椭圆yx29152【答案】x20先求得椭圆x422y 1的半焦距，长求得再根据所求椭圆的长轴a,b，进而求得所求椭圆的方程.【详解】椭圆 1的半焦距为9 4x5，且焦点在轴ix x y225，故所求椭圆c94上，由于所求椭圆长轴长为2所以b 20 5 15.所以所求椭圆方程为 1.x y2a 4 5，a 2 5，2220 15故填：1.20 15【点睛】本小题主要考查椭圆焦距、长轴等概念，考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的几何性质，属于基础

8、题.x y2210已知点A 3，0和B 3，0，动点P满足PB PA 4，则P的轨迹方程是本小题主要考查双曲线的定义，考查动点的轨迹方程的求法，属于基础题11已知双曲线上的一点，则的渐近线方程为y 3x，且P 6,3是双曲线 的标准方程为 _.2239【解析】将双曲线的焦点分为在x轴和y轴上两种情况，根据双y22 1x 0.45x y1x045根据双曲线的定义，迹为双曲线的一支，点的轨迹方程.判断出P点的轨由此求得PA,B为定点，且PA 4 AB，所以P点的轨迹为双曲线的右支PB.由2a 4,c 3得b c a 9 4 5，所以P点的轨迹方程为222曲线的渐近线方程，设出双曲线的方程，将P点坐

9、标代入方程，由此求得双曲线的标准方程.当双曲线焦点在b可知 3，b 3a，22x轴上时，由渐近线方程y 3xa设双曲线方程为9iii iv v vi vii viii ix x21，解得a 3a2222 1，代入P 6,3得22a 3,b 9，a 3ay62故双曲线方程为x y 1.39【答案】y2 8x【解析】根据抛物线方程求得准线方程，结合题目所给准线与x1的距离列方程，解方程求得m的值，进而求得抛物线方程.【详解】m由于m 0，所以抛物线的准线方程为x，依题意准线xm与直线44mx 1的距离为8，所以抛物线方程为43，即m 1 3,m2y 8x.故填：y 8x.2【点睛】本小题主要考查抛

10、物线的准线方程，属于基础题.13 在复平面上，若正方形O表示原点）OABC（按顺时针方向，中的顶点A对应复数为【答案】2 i1 2i，则顶点 _C对应的复数为.【解析】根据正方形的几何性质，i，得到A对应的复数乘以C对应的复数.当双曲线焦点在a3x可知 3，a=3b，设22y轴上时，由渐近线方程yb双曲线方程为y x 1，代入P 6,3得291，无解.223b b623b b2222故填：x y 139本小题主要考查已知双曲线渐近线方程和双曲线上一点的坐标求双曲线标准方程，属于基础题.12 设抛物线y2=mx m 0的准线与直线x 1的距离为3，则该抛物线方程为【详解】由于顶点A对应复数为1

11、2i，OA顺时针旋转90o得到OC，故C对应的复数为1 2i i 2 i.本小题x 2t14 直2线2（t为参数）被双曲线x2y2 1截得的弦长为2 10将直线的参数方程代入双曲线方程，利用根与系数关系，结合弦公式，求得弦长.将直线23t代入x2y2 1得212t32t121t22t 3 0，t2 4t6 0，所以t1t24,t1 t26，所以弦长为22t1t216 24 2 10.故填：2 10.本小题主要考查利用直线参数方程中参数的几何意义求弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于基础题.15已知抛物线型拱桥的顶点距水面得水面宽为8米，当水面下2米时，量降1米后，水面的宽为 _米.【答案】4

12、 6【解析】根据实际问题建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程并通过条件求解出方程，再利用所求的方程计算水面下降水面的宽度.【详解】据题意，建立平面直角坐标如下，设抛物线标准方程为：x22pyp 0，1米后则如图所示：11 12根为p 4 p2i，故故填：3.【点睛】4 p2i4 p2 1，p2 3，所以p 3.根据条件可知：2代入x所以抛物线方程为：x =-8y，2C 0,2，B 4,2，将B2py p 0，解得：p 4，又因为E 0，3，所以2 6，所以yDyE3，所以xD 24，所以xD2DE 2 6，则此时水面宽为：2 2 6 4 6米.故答案为：4 6.【点睛】本题考查抛物线方程的实

13、际应用，难度一般.处理抛物线方程有关的实际问题，关键是能通过题意正确将坐标系建立起来并设出抛物线方程的正确形16已知虚数中p R），若12，则_.p、满足 p 1 0、p 1 0（其22【答案】3【解析】0，利用求根公式求得两根，结合【详解】根据题意得到虚数、满足方程x2 px 1p1列方程，解方程求得 的值.本小题主要考查一元二次方程的虚数根，属于基础题.17 已知曲线离乘积为常数C到两定点16的动点M2，0、N 2，0距P的轨迹，以下结论正确的是 _.（1）曲线C一定经过原点；（2）曲线C与x轴有且只有两个交点；（3）曲线轴对称；（4）MPN的面积不大于8.【答案】（2）【解析】设出两点距

14、离乘积为P点坐标，16列方程，C关于x轴对称，但不关于y根据P到M,N化简后求得曲线C的轨迹方程，由此对四个结论进行分析，从而得出正确结论的序号.【详解】设P x,y，由于16，所以P到M,N两点距离乘积为故填：(2)本小查题曲主线4要的18已知复数z2ai考对1 2i3，且z 1，则实数a查称3 4i动性点，化简z1列方程，由此求得a轨属的表达式，根据z的值.迹于方中依程档题的题4意求z 3 4iai43 4i33 4i 34aiai，法i42533 4i4i，考25a i 3 4i3a 44a 32513 4i 3 4i25，查4即化253a 4 4a 3 i1归25，与4即4转4a 33

15、a 4 4a 3 i3a 4 4a 3 i 134i化251，即3a 425的22252525数3a 44a 31，25a2 25 125，a2 4，解得a学故填：25思本小题主要考查复数的除法、乘法和乘方2.运算，考查复数模的运算，考查运255想算求解能力，属于中档题方.法19，已知z是纯虚数，并使得z 2R考，求z1i【答案】-2i【解析】设z bi(b R)，代入z 2进行化简，根据z 2为实数，列方程，1i1i2解方程求得【详解】b的值，也即求得z.2 bi 2 bi 1z22b i设z bi(b R)，代入1 i得1i 1 i1b 2 0，解得b 2.所以z 2i.z 22bb 2i

16、R【点睛】，所以本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题.20 已知曲线C上每一点到点距离大1，求曲线C的F 1，0的距离比它到y轴方程.【答案】y 4x2【解析】根据抛物线的定义求得曲线C的方程.【详解】由于曲线距离大1，即曲线一点到点的距离，故曲线C上每一点到点F 1,0的距离比它到y轴C上每F 1,0的距离等于它到直线x 1C上的点满足抛y2物线的定义，设曲线C的方程为2px，则p 1,p 2，所以曲线C的方程为y 4x.2【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，线的标准方程的求法，属于基础题考查抛物.21已知z1、z2是实系数一元二次方程的两个虚根，它们满

17、足方程2z11 i z29 5i，求z1 z2.22【答案】-190【解析】根据系数一元二次方程的两个虚根，可知轭复数，由此设出z29 5i，由此求得z1、z2是实z1,z2互为共z1,z2的表达式，代入z1,z2，进2z11 i而求得【详解】z1 z2的值.22由于二次方程的两个虚根，所以数，设z1a bi,z2a bi,(a,b R)，代入z1、z2是实系数一元z1,z2互为共轭复2z11 i z29 5i得2 a bi 1 i a bi 9 5i3a b 9，解得a 7,b 12144ba5，化简得3a b b a i 9 5i，所以.所以z12 z22 2 a2 b22190.49本小

18、题主要考查实系数一元二次方程虚根成对，考查复数相等的复数乘方运算，考查方程的思想，属于基础题2x2，且与双曲线 y 1只有一个公22若直线l经过点共点，求直线l01332或y1 143x 2【解析】求得双曲线渐近线的斜率，求得符合题意的两条直线l的方程.设出线l直线l的斜截式方程，联立直线方程和双曲线方程，利用判的3*双曲线的渐近线为yl与渐近线平行时，与双曲x，斜率为线只有一个公共点，此时直线x 2.yl的方程为3232221 3kx2 12kx 15 0，解得k，此时直线l15kx2，代入y2 1并化简得x2222144k60 1 3k36k2 60 0，15x2.3别式为零求得直l的方程

19、.（1）m 2,n 1（2）证明见解析【解析】（1）根据双曲线的焦距、虚轴222长，结合c a b，求得a,b,c的值，进而求得2.m,n的值.（2）1 5y33 x 2或y3 x综上所述，直线l的方程为本小题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线渐近线，考查方程的求证：点O到直线MN的距离为定值当直线ON x轴时，根据等面积法求得MNO到直线.当直线ON与x轴不垂直时，设出直线ON的方程，分别代入双曲线和椭圆的方程，求得2ON，利用等面积法求得线此证得点O到直线OM2,MN的距离.由O到直MN的距离为定值.1）由于双曲线焦点在x轴上，故0，且a2,b1,c622m 2,n1.2）设点O到

20、直线MN的距离为ON x轴时，ON21,OM,MN2S1 2SOM ONOMN2ON与ONx轴不1ykx的OM的方程为垂直y x，4x22方y2程1，得由时，设2 1 k2直线ON2.ky1为xN同理，由kx可求得y4 k22x22OM11法得SOMONMNOMOMNOM22 ON22dOMON1MNOMON即d2OM1d233,d32c 6m 0,n，2b解2得1，即2x2y21，所以d.kx（显然k01），则直线22kky2k,N2，所1 k2以1k224 k.根据等面ON积222k2MN 1d12，2即ON.将代入得综上所述，点O到直线MN的距离为定值.【点睛】本小题主要考查双曲线方程的

21、求法，考查直线和椭圆、直线和双曲线的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.24如图，圆轴相交于两点(点与 轴相切于点在点，与 轴正半的下方)，且(1)求圆 的方程；任作一条直线与椭圆，求证：相交(2)过点于两点，连接【答案】()；()见解析，根据.【解析】分析：(1)设圆心坐标为可由勾股定理求出r，求得圆的方程。(2)讨论当斜率不存在时；当斜率存在时，设出直线利用韦达定理表示出，。方程，联立椭圆方程，表示出，即可判定详解：(1)由题可知圆心的坐标为圆 方程为:(2)由圆 方程可得当 斜率不存在时，当 斜率存在时，设直线方程为:.设综上所述 点睛：本题考查了求圆标

22、准方程，直线与椭圆的关系，通过韦达定理解决相 交弦问题，也是高考的常考点，属于难点。x 2yx 2y 16.对于（1），将0,0代入式左边得2222 4 16，故曲线C不过原点，（1）错误.2对于（2），对式令y 0得x 2 x 2 x 4 16，由于2x 0，所以2x 4 16,x 2 5，所以曲线C与x轴有两个交点25,0.（2）正确.2222对于（确，所以误.4），由于（M,P,N不一定能围成三角形，故（2）正4）错对于（3），将曲线C关*x,y代入得x 22y2x 22y216，故于x轴对称.将x,y代入得222 y 16，故曲线C关于y轴对称.故（3）错误.综上所述，正确结论的序号为（2）.x 22 y2x思想，考查直线方程的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题23在平面直角坐标系ny2 1的焦点在x轴，焦距为6，虚轴长为2；1)求实数m、n的值:2)设椭圆别为C1、C2上的动点，1MN d，解得dC2:4x2 y2 1，若M、N分xOy中，已知双曲线C1:mx2且OM ON，