大学物理课后习题答案第一章.pdf

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1、第一章第一章 质点运动学质点运动学1 11 1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t)=6t2-2t3试求：1第 2s 内的位移和平均速度；21s 末及 2s 末的瞬时速度，第 2s 内的路程；31s 末的瞬时加速度和第 2s 内的平均加速度 解答解答 1质点在第 1s 末的位置为：x(1)=612-213=4(m)在第 2s 末的位置为：x(2)=622-223=8(m)在第 2s 内的位移大小为：x=x(2)x(1)=4(m)，经过的时间为t=1s，所以平均速度大小为：v=x/t=4(ms-1)2质点的瞬时速度大小为：v(t)=dx/dt=12t-6t2，因此 v(1)=121-612=6(

2、ms-1)，v(2)=122-622=0质点在第 2s 内的路程等于其位移的大小，即s=x=4m3质点的瞬时加速度大小为：a(t)=dv/dt=12-12t，因此 1s 末的瞬时加速度为：a(1)=12-121=0，第 2s 内的平均加速度为：a=v(2)-v(1)/t=0 6/1=-6(ms-2)注意注意 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1 秒1 1 2 2 一质点作匀加速直线运动，在 t=10s内走过路程s=30m，而其速度增为n=5倍 试证加速度为a 2(n1)s，并由上述数据求出量值(n1)t2 证明证明 依题意得 vt=nvo，根据速度公式 vt=vo+at，得a=(n

3、1)vo/t，(1)根据速度与位移的关系式vt2=vo2+2as，得a=(n2 1)vo2/2s，(2)1平方之后除以2式证得：a 计算得加速度为：a 2(n1)s(n1)t22(51)30=0.4(ms-2)2(51)101 13 3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5的夹角的初速度 65ms-1从西边起跳，准确地落在坑的东边东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取 g=10ms-2问：1矿坑有多宽？他飞越的时间多长？2他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？22.5 解答解答 方法一：分步法70m1夹角用 表示，人和车人在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为图 1.3v

4、y0=v0sin=24.87(ms-1)取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式vt-v0=at，这里的 v0就是 vy0，a=-g；当人到达最高点时，vt=0，所以上升到最高点的时间为t1=vy0/g=2.49(s)再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式：vt2-v02=2as，可得上升的最大高度为：h1=vy02/2g=30.94(m)人从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为;h2=h1+h=100.94(m)根据自由落体运动公式 s=gt2/2，得下落的时间为:t2因此人飞越的时间为：t=t1+t2=6.98(s)人飞越的水平速度为;vx0=v0cos=60.05(ms-1)

5、，2h2=4.49(s)g所以矿坑的宽度为：x=vx0t=419.19(m)2根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为：vy=gt=69.8(ms-1)，落地速度为：v=(vx2+vy2)1/2=92.08(ms-1)，与水平方向的夹角为：=arctan(vy/vx)=49.30，方向斜向下方法二：一步法取向上为正，人在竖直方向的位移为y=vy0t-gt2/2，移项得时间的一元二次方程12gt v0sint y 0，2解得：t (v0sinv0sin2gy)g这里 y=-70m，根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为：t=6.98(s)由此

6、可以求解其他问题1 14 4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt=-kv2，k 为常数1试证在关闭发动机后，船在t 时刻的速度大小为2试证在时间 t 内，船行驶的距离为x 2211kt；vv01ln(v0kt 1)kvtdvdv 证明证明 1别离变量得2 kdt，故2 kdt，vvv0011ktvv0v02公式可化为v，1v0ktv01dt d(1v0kt)由于 v=dx/dt，所以：dx 1v0ktk(1v0kt)可得：积分1d(1v0kt)k(1v0kt)001因此x ln(v0kt 1)证毕kxtdx 讨论当力

7、是速度的函数时，即f=f(v)，根据牛顿第二定律得f=ma由于 a=d2x/dt2，而dx/dt=v，a=dv/dt，别离变量得方程：dt mdv，f(v)解方程即可求解在此题中，k 已经包括了质点的质量如果阻力与速度反向、大小与船速的n 次方成正比，那么dv/dt=-kvn1如果 n=1，那么得dv kdt，v积分得 lnv=-kt+C当 t=0 时，v=v0，所以 C=lnv0，因此 lnv/v0=-kt，得速度为：v=v0e-ktv0kteCkv当 t=0 时，x=0，所以 C=v0/k，因此x 0(1-ekt)kv1ndv kt C2如果 n1，那么得n kdt，积分得1nv1nv01

8、1 C，因此n1n1(n1)kt当 t=0 时，v=v0，所以vv01n而 dv=v0e-ktdt，积分得：x 如果 n=2，就是此题的结果n11(n1)v0kt(n2)/(n1)1如果 n2，可得x，读者不妨自证n2(n2)v0k1 15 5 一质点沿半径为 0.10m 的圆周运动，其角位置以弧度表示可用公式表示：=2+4t3求：1t=2s 时，它的法向加速度和切向加速度；2当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，为何值？3在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解答解答 1角速度为 =d/dt=12t2=48(rads-1)，法向加速度为 an=r2=230.4(ms-2)；角加速度

9、为=d/dt=24t=48(rads-2)，切向加速度为 at=r=4.8(ms-2)2总加速度为 a=(at2+an2)1/2，当 at=a/2 时，有 4at2=at2+an2，即an at3222由此得r r3，即(12t)24t 3，解得t 33/63所以 2 4t 2(13/3)=3.154(rad)3当 at=an时，可得 r=r2，即：24t=(12t2)2，解得：t=(1/6)1/3=0.55(s)1 16 6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v=300ms-1，方向与水平线夹角为30而斜向下，此后飞机的加速度为a=203ms-2，方向与水平前进方向夹角为30而斜向上，

10、问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平y方向飞行的距离为多少？解答解答 建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为aayv0 x=v0cos，Oaxv0 xv0y=v0sinv0y加速度的大小为 ax=acos，ay=asinv0 x121axt，y v0yt ayt22212即x v0cost acost，21y v0sint asint22运动方程为x v0 xt 令 y=0，解得飞机回到原来高度时的时间为：t=0舍去；t 将 t 代入 x 的方程求得的方程求得 x x=9000m=9000m2v0sin10 3(s)asinR 注意注意 选择不同的坐标系，如 x 方向沿着

11、 a 的方向或者沿着 v0的方向，也能求出相同的结果1 17 7 一个半径为 R=1.0m 的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体 A在重力作用下，物体 A 从静止开始匀加速地下降，在 t=2.0s 内下降的距离 h=0.4m求物体开始下降后 3s 末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度 解答解答 圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A 下落加速度由于h 所以 at=2h/t2=0.2(ms-2)物体下降 3s 末的速度为 v=att=0.6(ms-1)，A图 1.71att2，2v2这也是边缘的线速度，因此法向加速度为an=0.36(ms-2)R1 18

12、8 一升降机以加速度 1.22ms-2上升，当上升速度为 2.44ms-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m计算：1螺帽从天花板落到底面所需的时间；2螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离 解答解答 在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为1h1 v0t at2；2螺帽做竖直上抛运动，位移为h2 v0t 由题意得 h=h1-h2，所以h 12gt21(a g)t2，2解得时间为t 2h/(a g)=0.705(s)算得 h2=-0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m 注意注意 以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a+g，而初

13、速度为零，可列方程h=(a+g)t2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离1 19 9 有一架飞机从 A 处向东飞到 B 处，然后又向西飞回到A 处气流相对于地面的速度为 u，AB 之间的距离为 l，飞机相对于空气的速率v 保持不变2l；vt02如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为t1；1u2/v2t03如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为t2221u/v1如果 u=0空气静止，试证来回飞行的时间为t0 证明证明 1飞机飞行来回的速率为v，路程为 2l，所以飞行时间为 t0=2l/v2飞机向东飞行顺风的速率为v+u，向西飞行逆风的速率为v-u，所以飞行时间为t1ll2vl

14、t02l/v222222vuvuv u1u/v1u/vAvvBBu3飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度为了使飞机沿着 AB 之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿 AB 方向的速度大小为V v u，所以飞行时间为22v+uAv-uvAuvBt22l2l2l/vt0 证毕222222Vv u1u/v1u/v1 11010 如下图，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为 v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为，偏向于汽车前进方向，速度为v2今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？解答解答 雨对地的速度v2等于雨对车的速度v3加车对

15、地的速度v1，由此可作矢量三角形根据题意得 tan=l/h方法一：利用直角三角形根据直角三角形得v1=v2sin+v3sin，其中 v3=v/cos，而 v=v2cos，因此 v1=v2sin+v2cossin/cos，即v1 v2(sinlhlcos)证毕hv2v1方法二：利用正弦定理根据正弦定理可得v1v2，sin()sin(90)sin()所以：v1 v2cossincos cossin v2cos图 1.10 v2(sin costan)，lcos)hlhv3 v2vv1即v1 v2(sin方法三：利用位移关系将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t 时间内，雨滴的位移为l=(v1 v2sin)t，h=v2cost两式消去时间 t 即得所求证毕