相关性平均值标准差相关系数回归线及最小二乘法概念.pdf

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1、平均值、标准差、相关系数、回归线及最小二乘法相关性相关性线性相关数据在一条直线附近波动;则变量间是线性相关非线性相关数据在一条曲线附近波动;则变量间是非线性相关不相关数据在图中没有显示任何关系;则不相关平均值平均值N 个数据 的平均值平均值计算公式：标准差标准差标准差标准差表示了所有数据与平均值的平均距离;表示了数据的散度;如果标准差小;表示数据集中在平均值附近;如果标准差大则表示数据离标准差比较远;比较分散.标准差计算公式：x、y 两个变量组成了笛卡尔坐标系中的一个点点的位置.各包含 n 个常量的 X;Y 两组数据在笛卡尔坐标系中以 n 个点来进行表示.相关系数相关系数坐标 x;y;这个坐标

2、标识了一个相关系数用字母 r 来表示;表示两组数据线性相关的程度同时增大或减小的程度;从另一方面度量了点相对于标准差的散布情况;它没有单位.包含 n 个数值的 X、Y 两组数据的相关系数 r 的计算方法：简单的说;就是 r=以标准单位表示的 x X 以标准单位表示的 y 的平均数根据上面点的定义;将 X、Y 两组数据的关系以点的形式在笛卡尔坐标系中画出;SDSD 线线表示了经过中心点以数据组 X、Y 平均值为坐标的点;当 r0 时;斜率=X 的标准差/Y 的标准差；当 r0 时;斜率=-X 的标准差/Y 的标准差；的直线.通常用 SD 线来直观的表示数据的走向：1、当 r0 时;SD 线的斜率

3、大于 0 时;则说明数据正相关;此时当 x 增大时 y增大.3、相关系数r的范围在-1;1之间;当r=0时表示数据相关系数为0不相关.当 r=正负 1 时;表示数据负相关;此 x;y 点数据都在 SD 线上.4、r 的值越接近正负 1 说明 x;y 越靠拢 SD 线;说明数据相关性越强;r 的值越接近 0 说明 x;y 点到 SD 线的散度越大越分散;数据相关性越小.回归方法回归方法主要描述一个变量如何依赖于另一个变量.y 对应于 x 的回归线回归线描述了在不同的 x 值下 y 的平均值情况;它是这些平均值的光滑形式;如果这些平均值刚好在一条直线上;则这些平均值刚好和回归线重合.通过回归线;我

4、们可以通过 x 值来预测 y 值已知 x 值下 y 值的平均值.下面是 y对应于 x 的回归线方程：简单的说;就是当 x 每增加 1 个 SD;平均而言;相应的 y 增加 r 个 SD.从方程可以看出：1、回归线是一条经过点;斜率为 的直线.2、回归线的斜率比 SD 线小;当 r=1 或-1 时;回归线和 SD 线重合.当用回归线从 x 预测 y 时;实际值与预测值之间的差异叫预测误差.而均均方根误差方根误差就是预测误差的均方根.它度量回归预测的精确程度.y 关于 x的回归线的均方根误差用下面的公式进行计算:由公式可以看出;当 r 越接近 1 或-1 时;点越聚集在回归线附近;均方根误差越小；

5、反之 r 越接近 0 时;点越分散;均方根误差越大.最小二乘法最小二乘法寻找一条直线来拟合所有的点;使得这条直线到所有的点之间的均方根误差最小.可以看到;当求两个变量之间的关系时;最小二乘法求出的直线实际上就是回归线.只不过表述的侧重点不同：1、最小二乘法强调求出所有点的最佳拟合直线.2、回归线则是在 SD 线的基础上求出的线;表示了样本中已知变量 x 的情况下变量 y 的平均值.由以上可知;一个散点图可以用五个统计量来描述：1、所有点 x 值的平均数;描述了所有点在 x 轴上的中心点.2、所有点 x 值的 SD;描述了所有点距离 x 中心点的散度.3、所有点 y 值的平均数;描述了所有点在

6、y 轴上的中心点.4、所有点 y 值的 SD;描述了所有点距离 y 中心点的散度.5、相关系数 r;基于标准单位;描述了所有点 x 值和 y 值之间的关系.相关系数 r 将平均值、标准差、回归线这几个概念联系起来：1、r 描述了相对于标准差;点沿 SD 线的群集程度.2、r 说明了 y 的平均数如何的依赖于 x-x 每增加 1 个 x 标准差;平均来说;y 将只增加 r 个 y 标准差.3、r 通过均方根误差公式;确定了回归预测的精确度.注意：以上相关系数、回归线、最小二乘法的计算要在以下两个条件下才能成立：1、x、y 两组样本数据是线性的;如果不是线性的先要做转换.2、被研究的两组样本数据之间的关系必须有意义.R 平方值=回归平方和/总平方和其中：回归平方和=总平方和-残差平方和总平方和=y 的实际值的平方和假设;实际测的值是 yi;拟合曲线计算出的值分别是 Yin残差平方和:(yiYi)2i1n总平方和：yi2i1R2y(y2ii1nniYi)2相关系数的平方为判定系数yi1i1n2iR2分布区间 0;1;R2越小说明拟合得越差;R2越大说明拟合得越好;取对数：