华东师大版数学八年级上册13.3利用等腰三角形的“三线合一”性质解题.pdf

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1、.利用等腰三角形的利用等腰三角形的“三线合一性质解题三线合一性质解题我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，被称做为“三线合一.等腰三角形的“三线合一性质在几何解题中有着广泛地运用，现举例说明.一、证明线段相等一、证明线段相等例 1如图 1，在ABC 中，ABAC，BDCD，DEAB 于点 E，DFAC于点 F.求证：DEDF.分析由于DEAB，DFAC，所以要证明DEDF，只要证明点D是BAC的平分线上的点，于是连结 AD，而由 ABAC，BDCD 即可证明 AD 是BAC的平分线.证明连结 AD.因为 ABAC，BDCD，所以 AD 是等腰三角形底边 BC 上的

2、中线，即 AD 又是顶角的平分线.又因为 DEAB，DFAC，所以 DEDF.二、证明两条线垂直二、证明两条线垂直例 2如图 2，ABAE，BE，BCED，CFDF.求证：AFCD.分析由条件 ABAE，BE，BCED，显然只要连结 AC、AD，那么ABCAED，于是 ACAD，而 CFDF，那么由等腰三角形的“三线合一性质即可证明 AFCD.证明连结 AC、AD.因为 ABAE，BE，BCED，所以ABCAEDSAS，所以 ACAD，又因为 CFDF，所以 AF 是等腰三角形底边 CD 的中线，所以 AF 也是 CD 边上的高，即 AFCD.EBFCABCDAEFBF图 2E图 3DCAD图

3、 1下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.三、证明角的倍半关系三、证明角的倍半关系例 3如图 3，ABC 中，ABAC，BDAC 交 AC 于 D.求证：DBC1BAC.2分析要证明DBC1BAC，只要作出BAC 的平分线，然后利用等腰2三角形的“三线合一性质即可证明证明作BAC 的平分线 AE.因为 ABAC，所以由等腰三角形的“三线合一可知 AEBC.又因为 BDAC，所以ADB90，而BFEAFD，所以DBCCAE，故DBC1BAC.2四、证明线段的倍半关系四、证明线段的倍半关系例 4如图 4，等腰 RtABC 中，ABAC，BAC90，BF 平分ABC，CDBD 交 BF 的延长线

4、于 D.求证：BF2CD.分析由 BF 平分ABC，CDBD，可想到等腰三角形的“三线合一性质，于是延长线 BA、CD 交于点 E，于是BCE 是等腰三角形，并有EDCD，余下来的问题只需证明 BFCE，而事实上，由 BAC90，CDBD，AFBDFC，得ABFDCF，而 ABAC，所以ABFACE，那么 BFCE，从而问题获解.证明延长线 BA、CD 交于点 E.因为 BF 平分ABC，CDBD，所以可得BCBE，DEDC，又因为BAC90，AFBDFC，所以可得ABFDCF，又 ABAC，BAFCAE，所以ABFACESAS，即 BFCE，故 BF2CD.BAFDC图 4BE图 5CDAB

5、CEADE图 6下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.五、证明一个角是直角五、证明一个角是直角例 5如图 5，ABC 中，ACB2B，BC2AC.求证：A90.分析要证明A90，可构造出直角，然后使A 与之相等.由于条件中有两个倍半的关系，因此首先考虑对ACB2B 和 BC2AC 进展技术处理，可先作倍角的平分线和 BC 边上的垂线，这样利用等腰三角形的“三线合一性质和全等三角形的知识即可解决问题.证明作CD平分ACB交AB于D，过D作DEBC交BC于E，那么ACDBCD1ACB，DEC90.21因为ACB2B，所以BACBBCD，即 DBDC.2又 DEBC，所以 DE 是 BC 边上的

6、中线，即 E 是 BC 的中点，所以 BC2CE.又因为 BC2AC，所以 ACCE.所以ACDECDSAS，所以ADEC90.六、证明线段的和差关系六、证明线段的和差关系例 6如图 6，在ABC 中，ADBC 于 D，且ABC2C.求证：CDAB+BD.分析要证明 CDAB+BD，可以 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 CD 于点 E，连结 AE，趁下来的问题只要能证明 DEDB，CEAE 即可，而由条件结合等腰三角形的“三线合一性质和等腰三角形顶角的外角与底角的关系即证.证明以 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 CD 于点 E，连结 AE，那么 AEAB，即AEBABC.因为 ADBC，所以 AD 是 BE 的中线，即 DEBD.又因为ABC2C，所以AEB2C，而AEBCAE+C，所以CAEC，即 CEAEAB，故 CDAB+BD.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。