角平分线地性质定理及其逆定理.pdf

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1、角平分线的性质定理及其逆定理一.基础概念学习目标：掌握角平分线的性质左理及其逆左理的证明和简单应用，掌握尺规作图做角平分线，规证 明步骤。(1)角平分线的性质定理证明:角平分线的性质宦理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。证明角平分线的性质泄理时，将用到三角形全等的判左公理的推论:推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)推导过程：已知：0C平分ZMON,P是OC上任意一点，PA丄OM,PB丄ON,垂足分别为点A、点B求证:PA=PB证明：TPA丄OM,PB丄ONAZPAO=ZPBO=90VOC平分ZMONAZ1=Z2在APAO和APBO中，AAPAOAPBOPA=P

2、B几何表达：(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)如图所示，VOP平分ZMON(Z1=Z2),PA丄OM,PB丄ON,APA=PB(2)角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。推导过程已知：点P是ZMON一点，PA丄OM于A,PB丄ON于B,且PA=PB求证：点P在ZMON的平分线上.证明：连结0P在RtAPAO和RtAPBO中，ARtAPAORtAPBO(HL)AZ1=Z2A OP平分ZMON即点P在ZMON的平分线上.几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.）如图所示，TPA丄021,PB丄ON,PA=PBAZ1=Z2（OP平分ZMON）（3

3、）角平分线性质及判定的应用 为推导线段相等、角相等提供依据和思路：实际生活中的应用.例：一个工厂，在公路四侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米.在下图中标出工厂的位置，并说明理由.（4）角平分线的尺规作图活动三：观察与思考：尺规作角的平分线观察下面用尺规作角的平分线的步骤（如图），思考这种作法的依据。步骤一：以点 O为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于 A,B两点。由作图可知：0A二0B步骤二：分别以点 A,B 为圆心，以固定长（大于 AB 长的一半）为半径画弧，两弧交于点Co由作图可知：AC 二 BC步骤三：作射线 OC,则 OC就是 ZAOB

4、的平分线。由作图可知：_ 定理，可得 _9 _同学们，讨论交流一下，你能说出作图的每一步骤的依据是什么吗？试用证明的方法说 出作图的正确性。二、【典型例题】例 1已知：如图所示，ZC=ZC=90,AC=AC.求证：（1）ZABC=ZABC；（2）BC=BC（要求：不用三角形全等判定）.例 2如图所示，已知 ZABC中，PE/7AB交 BC 于 E,PFAC交 BC 于 F,P是 AD 上一 点，且 D点到 PE的距离与到 PF的距离相等，判断 AD是否平分 ZBAC,并说明理山.例 3.如图所示，已知 AABC的角平分线 BM,CN相交于点 P,那么 AP 能否平分 ZBAC?请说明理山.山此

5、题你能得到一个什么结论？例 4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P 点处，距公路 400m,现分别以公路、铁路所在直线为 x轴、y轴建立平面直角坐标系.（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标.例 5.如图所示，在 AABC 中，ZC=90,AC=BC,DA平分 ZCAB交 BC 于 D,问能否 在 AB上确定一点 E,使 ABDE的周长等于 AB 的长？若能，请作出点 E,并给出证明；若 不能，请说明理由.练习一一、填空题：1如图1-31,AABC中，AD是BC的垂直平分线，BE平分ZABC交AD于EEF丄AB9则AB=,BF=_

6、:2已知：如图1-32,在RtAABC中，ZC=90,AC=BC,BD平分ZABC交AC于D.DE丄AB于E,若BC=5,则DEC的周长为图1二.选择题：1如图1-33,AABC中，ZB=42丄BC于D,E是BD上一点,EF丄AB于F,若ED=EF.则ZAEC的度数为（）：A.60B.62 C.64 D.662给出下列命题：垂直于同一条直线的两直线平行：角平分线上的点到角两边的距离相等；三角形的三条角平分线相交于一点：全等三角形的面积相等：其中原命题和逆命题都是真命题的共有（）.A1个三、解答题：B.2个C.3个D.4个平分ZDAC,EF丄交AC于F,连如图1-34,已知：AABC中，ZBAC

7、=90c MD丄BC于D,接BF.求证：BF是ZABC的平分线.【综合练习】已知：如图1-35,/XABC中，AB=2AC.AD平分ZBAC,SLAD=BD求证：DCAC.例题答案例 1已知：如图所示，ZC=ZC=90,AC=AC.求证：（1）ZABC=ZABCz；（2）BC=BC（要求：不用三角形全等判定）.证明：（1）:ZC=ZC=90（已知），A AC 丄 BC,AC丄 BC（垂直的定义）.又 VAC=AC（已知），点A 在 ZCBC，的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.ZABC=ZABC（2）VZC=ZC ZABC=ZABC/.180 一（ZC+ZABC）=180

8、（ZC+ZABC）（三角形角和定理）.即 ZBAC=ZBAC,VAC 丄 BC,AC丄 BC,BC=BC（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）.例 2.如图所示，已知 ZABC中，PEAB 交 BC于 E,PF/7AC交 BC 于 F,P是 AD 一点，且D 点到 PE的距离与到 PF的距离相等，判断 AD是否平分 ZBAC,并说明理由.解：AD平分 ZBAC.VD 到 PE的距离与到 PF的距离相等，点D 在 ZEPF的平分线上.AZ1=Z2.又.PEAB,Z1=Z3.同理，Z2=Z4.Z3=Z4,A AD平分 ZBAC.例 3如图所示，已知 AABC的角平分线 BM,CN相交于点 P,那

9、么 AP 能否平分 ZBAC?请说明理由.由此题你能得到一个什么结论？解：AP 平分 ZBAC.结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.理由：过点 P分别作BC,AC,AB的垂线，垂足分别是 E、F、D.VBM 是 ZABC的角平分线且点 P在 BM上，PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）.同理 PF=PE,PD=PF.AP 平分 ZBAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）.例 4如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P 点处，距公路 400m，现分别以公路、铁路所在直线为 x轴、y轴建立平面直角坐标系.（1

10、）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标.解：（1）I点 P在公路与铁路所夹角的平分线上，点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，乂 点P到公路的距离是 400m,点P(学校)到铁路的距离是 400m.(2)学校所在位置的坐标是(400,-400).评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等.例 5.如图所示，在 ZABC中，ZC=90,AC=BC,DA 平分 ZCAB交 BC 于 D,问能否 在 AB 确定一点 E,使 ABDE的周长等于 AB的长？若能，请作出点 E,并给出证明；若 不能，请说明理由.解：能.过点 D作 DE 丄 AB 于 E,则 ABDE 的周长等于 AB的长.理由如下：TAD 平分 ZCAB,DC丄 AC,DE丄 AB,DC=DE.在 RtAACD 和 RtAAED 中，ARtAACDRtAAED(HL)./.AC=AE.又.AC=BC,AE=BC.AABDE 的周长=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AE+BE=AB.【基础练习】一、1.ACBD：2.52.二、l.D；【综合练习】提示：作DE丄AB.证ZXADC1.4角平分线练习一三、提示：证AF=EF.2.A.