第十三章 矩阵的特征值与特征向量.pdf

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1、第十三章第十三章矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量例例 1 1：假定n阶矩阵A的任意一行的n个元素之和都是a，试证 a是A的特征值，且(1,1,1)是A的属于 a的特征向量。当a 0时，又问此时A1的行和为多少？1c a，又A 1，又A*有一个特征值，属于的b3例例 2 2：设矩阵A 5001c0 a一个特征向量为(1,1,1)，求a,b,c,0的值。TT例例 3 3：设向量(a1,a2,an)，(b1,b2,bn)都是非零向量，且满足条件TT 0，A T，求（1）A2；（2）矩阵A的特征值与特征向量；（3）问A相似与对角矩阵吗？例例 4 4：设矩阵A与矩阵B相似，其中 200100

2、，B 020A 2x231100y（1）求x和y的值；（2）求可逆矩阵P，使得PAP B1001例例 5 5：设A x1y有 3 个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件。100 1 212 的一个特征向量，a3例例 6 6：已知1是A 51b 21（1）试确定参数a,b及特征向量所对应的特征值；（2）A相似与对角矩阵吗？说明理由。例例 7 7：已知1 6,23 3是实对称矩阵A的三个特征值，且对应于23 3的TT特征向量为2(1,0,1),3(1,2,1),求A对应于1 6的特征向量及矩阵A。例例 8 8：若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是一个数量矩阵。例例 9 9：如

3、果n阶矩阵A满足(A aE)(AbE)0其中a b，证明A可以对角化。例例 1010：设三阶实对称矩阵A的秩为 2，已知12 6是A的二重特征值，若1(1,1,0)T,2(1,2,3)T都是A的属于特征值6的特征向量。（1）求A的另一个特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵A例例 1111：设矩阵322010，P 101，B P1A*P，求A 232B 2E的特征值与特征向量，223001其中A*为A的伴随矩阵。例例 1212：设1,2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量为1,2，则1,A(12)线性无关的充分必要条件是（A）1 0（B）2 0（A）1 0（A）2 0（2005 年数学三）123例例 1313：设矩阵A 143的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是1a5否可以相似对角化。（2004 年数学一）例例 1414：设 3 阶实对称矩阵A的特征值11,2 2，3 2，且1(1,1,1)是A的属于1的一个特征向量.记B A 4A E,其中E为三阶单位矩阵.（）验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量.（）求矩阵B.（2007 年数学一、二、三、四）53T