高等数学考研辅导练习重积分曲线积分与曲面积分.pdf

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1、高等数学考研辅导练重积分及其应用1改变积分顺序：（1）20dxx5 25x2f(x,y)dy dx2425 25x2f(x,y)dy；（2）140dyyyf(x,y)dxdyf(x,y)dx；121412y2 计算二重积分域。3 计算二重积分平面区域。4 求I(xeD2(y yxeD122(x y)2)d，这里的D:y x,y 1以及x 1围的平面区2，这里的以及曲线围的D:x 2,y 0,y 2yd x 2y yDy2)sin(x2 y2)d，这里的D:x2 y2。d，这里的D:y aa2 x2(a 0)和y x所围区域。5 求Dx2 y24a2 x2 y26 求I eDmax x2,y2d

2、，这里的D:0 x 1,0 y 1。7 设D是xOy平面上以(1,1),(1,1),(1,1)围顶点的三角形区域，D1是D在第一象限部分，则。(xycosxsin y)d等于（）D(A)2cosxsin ydxdy；(B)D1D1；2yx y d x dD1(C)4(xycosxsin y)dxdy；(D)222。0 x2y28 设D:x y R，求I(22)d。abD9 求球面x y z R10 求I 11 填空2222(R 0)被平面z aa与z 所夹部分的面积。42Dy x2dxdy，这里的D:x 1,0 y 2。(x2y3)dxdy，其中D:Dbxx y 1。12 已知f(x)在a,b

3、上连续，试证对于大于 1 的自然数n，有adx(x y)n2f(y)dy a1bn1(b y)f(y)dy。an113 求I 2222，这里与围成的立体。(x z)dVV:z x yz 1 x yV14 求I 体。15 计算zVx2 y2dV，这里V:x2 y2 z2 2的上半球面与z x2 y2所围立222222222V:z x yx y z R，这里与上半曲面所围立(x y z)dVV体(R 0)。16 计算17 计算2222V:x y z 2z。，这里x dVV222222V:z x yx y 1以及z 0所围立体。，这里与(x y z)dVVy2 2z18 求(x y z)dV，这里V

4、:由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面x 0V22z 4所围的立体。19 设函数f(x)连续，且恒大于零，F(t)(t)f(x2 y2 z2)dVD(t)f(x y)d22222,G(t)D(t)f(x2 y2)dt，tf(x)dx2其中(t)(x,y,z)|x y z t2,D(t)(x,y)|x2 y2t2。2（1）讨论F(t)在(0,)内的单调性；（2）证明，当t 0时，F(t)练习 12曲线积分与曲面积分1 设是锥面z。2设是由锥面z 个边界外侧。则G(t)。x2 y2(0 z 1)的下侧，则xdydz2ydzdx3(z1)dxdyx2 y2和半球面z R2 x2 y2围成的空间区域，

5、是的整xdydz ydzdx zdxdy。3 计算曲线积分sin2xdx2(xL21)ydy，其中L是曲线y sin x上从点(0,0)到点(,0)的一段。4 设 曲 面是 锥 面z 4 x y。22的 上 侧，则d zx y d y2x d z d xx d x d y5 设r x2 y2 z2，则div(gradr)|(1,2,2)。6计算曲线积分I L(y2 z2)dx(z2 x2)dy(x2 y2)dz，其中L是用平面3x y z 截立方体(x,y,z)|0 x 1,0 y 1,0 z 1的表面所得截痕，若从Ox2轴的正向看去，取逆时针方向。x2y21，其周长记为a，则(2xy3x24

6、y2)ds。7 设L为椭圆L43 x2 y218 计算曲线积分(z y)dx(x z)dy(x y)dz，其中L是曲线，从Lx y z 2Oz轴正向往Oz轴的负向看去，取顺时针方向。9 计算曲线积分Lydx(x1)dy：22(x1)y222（1）L为圆周x y 2y 0的正向；（2）L为椭圆4x y 8x 0的正向。10 设曲线L是正向圆周(xa)(y a)1，(x)是连续的正函数，证明222xL(y)dy y(x)dx 2。11 设函数f(x)在(,)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a,b)，终点为(c,d)。记I 1x(1 y2f(xy)dx2(y

7、2f(xy)1)dy，LyLy（1）证明曲线积分I与路径L无关；（2）当ab cd时，求I的值。12 求Sxyz dS，S为抛物面z x2 y2(0 z 1)。13 求具有连续二阶导数的函数f(x)，使得y(ln x f(x)dx f(x)dy 0，其中LLx为xOy平面上第一象限内任意一条光滑闭曲线。14 求a的值，使e(e(x y 2)ay)dxe(e(x y)1)dy为某一函数u u(x,y)的全微分，并求u(x,y)。xyxy15 计算针方向。(y 4)dx(x3)dyC(x3)2(y4)2，C为以O为心，边长为 12 的正方形的四边，取逆时16设f(u)具有一阶连续的导数，证明对任意光滑闭曲线L，有Lf(x y()y d x x d y)0。17已知曲线积分1(x)是一可导函数，(1)1。(xdy ydx)A，A为常数，L(x)y2L是绕原点(0,0)一周的任意正向闭曲线。试求出(x)及A。18 计算I axdydz(za)2dxdy1，其中为z a2 x2 y2(x2 y2 z2)2(a 0)的上侧。