陕西省蓝田县高中数学 第四章 导数应用 4.1.1 导数与函数的单调性1教案 北师大版选修1-1.pdf

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1、4.14.1。1 1导数与函数的单调性导数与函数的单调性（1 1）三维目标：）三维目标：知识与技能知识与技能：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。过程与方法过程与方法：培养学生的观察能力、归纳能力,增强数形结合的思维意识.情感、态度与价值观情感、态度与价值观:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。（2 2）教学重点）教学重点探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。（3 3）教学难点）教学难点利用导数研究函数单调性的步骤及方法。教学过程：教学过程：【教学引入教学引入】1、确定函数y x 4x3在哪个区间

2、内是增函数?在哪个区间内是减函数?2、研究函数的单调区间你有哪些方法？（1）观察图象的变化趋势;（函数的图象必须能画出的)（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义)2、确定函数f(x)=2x6x+7 在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数?（1）能画出函数的图象吗?那如何解决?试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）（2）(多媒体放映）【发现问题发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f（x)=2x6x+7,这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性)事实上用定义研究函数y x

3、4x3的单调区间也不容易。【探探究究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况,下面通过函数的图象规律来研究。问：如何入手？（图象)从函数f（x)=2x6x+7 的图象吗？1、研究二次函数y x 4x3的图象;（1）学生自己画图研究探索.（2）提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？123232322都是反映函数随自变量的变化情况。2（3）（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析.（4）提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律?（5）学生继续探索,得出初步规律。几何画板演示几何画板演示,共同探究。得到这个二次函数图象的

4、切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结)：该函数在区间(,2)上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；在区间(2,)上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正;注:切线斜率等于 0，即其导数为 0；如何理解?就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？2、先看一次函数图象；3、再看两个我们熟悉的函数图象。(验证）（1 1）观察三次函数y x3的图象；（几何画板演示）（几何画板演示）（2 2）观察某个函数的图象.（几何画板演示）指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题)。【新课讲解新课讲解】4、请同学们根据刚

5、才观察的结果进行总结:导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。(幻灯放映)一般地，设函数y f(x)在某个区间可导,则函数在该区间内如果在这个区间内f(x)0，则y f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f(x)0，则y f(x)为这个区间内的减函数.若在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常函数。这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想,正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理,大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂.结论应用：由以上结论知：函数的单调性与其倒数有关,因此我们可以用导数法去探讨

6、函数的单调性.下面举例说明：【例题讲解例题讲解】例1、求证：y x 1在(,0)上是增函数。（可选)23由学生叙述过程老师板书:y(x31)2x2，x(,0)，x2 0，即y0，函数y x31在(,0)上是增函数。注:我们知道y x31在 R 上是增函数，课后试一试,看如何用导数法证明.学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。例2、确定函数f（x)=2x6x+7 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.由学生叙述过程老师板书：解：f(x)=(2x6x+7）=6x12x,令 6x12x0,解得x2 或x0当x(，0)时,f(x)0,f（x)是增函数；当x（2，+)时,f（x）0，

7、f（x)是增函数。令 6x12x0，解得 0 x2.当x(0,2)时,f（x）0,f(x)是减函数.例 3、判定函数 y=e-x+1 的单调区间.学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：（1）确定函数f(x)的定义域;（2）求函数f（x）的导数f（x）。（3）令f(x）0 解不等式,得x的范围就是递增区间.令f（x)0 解不等式，得x的范围，就是递减区间【课堂练习课堂练习】1、函数 f(x）=x 3x+1 的减区间为()（A)(1，1)(B）（1,2)(C）(，1)(D)(-,-1),(1,+)(33,)33 ,a 的取值范围为(）3x23222322、函数 y=a（x-x）的减区间为3(A)a0（B)1a1（C)a1（D）00，则f（x）为增函数；如果f（x)0，则f(x)为减函数。3322。本节课中，用导数去研究函数的单调性是中心，能灵活应用导数解题是目的，另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般，从简单到复杂。4