2015北大自主招生数学试题.pdf

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1、.2021 北大自主招生数学试题一.选题择1.整数 x,y,z满足 xy+yz+zx=1，那(1+么A16900B17900C189002x)(1+2为y)(1+z)可能取到的值2D前三个答案都不对99，也不等于D前三个答案都不对22.在不超过99的正整数中选出50 个不同的正整数，这50 个数中任两个的和都不等于100这50个数的和可能等于A35243.x0,g(a)的最大值为A14.B220B3624C3724，对任意实数a，函数 y=2cos x-2acosx+1 的最小值记为g(a)，那当 a取遍所有实么数时，C320nD前三个答案都不对n 的最大值为10-的整数倍，那正整数么2是2C

2、23D前三个答案都不对AB CDA21B225.在凸四边形ABCD 中，BC=4，ADC=60，BAD=90，四 形 ABCD 的面积边等于那么CD 的长准确到小数点后A6.9二.填空题B7.11位为BC AD2，C7.3D前三个答案都不对16.满足等式1+)x 112021(1x)的整数 x 的个数是 _202127.a,b,c,d 2,4，那么(abcd)2222与最小值的和为_的最大值(a8.对于任意实数x1,5,|9.设x=222d)(bc)2222x+px+q|2,不超过22p2q的最大整数是 _,且 x+y+z=1，那么202120212021bc2bca,y=a2c2acb,z=

3、b2a2bacxyz的值为_10.设A奇数，1in,|1,A2,.,An都是 9 元集合 1,2,3,9的子集，|Ai|为n，那n 的最大值么为 _三解答题11.数列 a为正项等比数列，且nAiAj|为偶数，1i ja3a4a1a2=5,求f(a)=aa5a的最小值612.f(x)为二次函数，且a,f(a),f(f(a),f(f(f(a)成正项等比数列，求证：13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。假设锐角求证：这个三角形内接正方形边长 的 最 小 为值14.从 O 出发的两条射线l1,l2，直线l交l1,l2于 A、B 两点，且求证：X 的轨迹为双曲线15.ai(i=1

4、,2,3,10)满足：a1#Answer#.精品.ABC 的三边足满abc，ac sin Bac sin BSAOB=c(c为定值),记AB 的中点为X，a2.a10=30，a1a2.a1021，求证：ai，使得ai0时，1+)1+)(1)无解=1+)(1)1+),xxxxx202111n1n 1(n 1)n 1x 1n 1=1-)=()n11+)n1xn=n 1n 1x0,那么qaa4q=5q21q 设=(a1a2).精品.q21125(t1)=5(t+2)t 2)=20，等号成立当1ttt且仅05(2.56t1t2当 t=12.(方法一)设f(x)=mt=1q=2,故a5a的最小值为206

5、x+nx+t(m 0),a,f(a),f(f(a),f(f(f(a)公比为q(q0)第 3页共 5 页.精品.2021 北大自主招生数学试题2f(a)manataq那么22f(f(a)f(aq)m(aq)n(aq)taq22223f(f(f(a)f(aq)m(aq)n(aq)taq-并化简得到：ma(1-2)+n(1-q)=q(1-q),-并化简得到：maq(1-2qq)+n(1-q)=q(1-q)从而 q=1,f(a)=a(方法二)由f(a)=f(f(a)=f(f(f(a)a，假设 f(a)af(a)f(f(a)那么f(f(a)f(a)f(f(a)f(a)a=f(f(f(a)f(f(a)-f

6、(a)A(a,f(a),B(f(a),f(f(a),C(f(f(a),f(f(f(a)k=kBCA,B,C 三点共线一条直线与抛物线交于三个点，矛盾AB故 f(a)=a13.证明：设正方形的边长为x，ABC 外接圆半径为R，当内接正方形如下图时AMNxccsinBxBQPaCbc sin Bxxx=acsin Bac=abc112Rabcc sin Ba1acsin B=2Racb2R同理其他情况，内接正方形的边长分别为x=abcabc22Rbac，x=32Rcbax-x=abc-abcabc0122Rabc2Rbac=(ab)(c2R)x1x2,(2Rabc)(2 Rbac)同理xx11于是

7、x最小，从而这个三角形内接正方形边长的最小值为ac sin B1acsin B14.证明：设2 为l1,l2的夹角，以O 为原点，l1,l2的角平分线为x 轴，建立直角坐标系，如图.精品.，.第 4 页 共 5 页.精品.2021 北大自主招生数学试题y yl 1AaX XObBl 2x x设X(x,y),|OA|=a,|OB|=b，那A(acos,asin),B(bcos,-bsin)么xy因Sabcos2absin21，于是22xy=ab=AOB2absin2=c,于是 ab=2c，X 的轨迹方程为222csin 215.(反证法)假设i，a1，设ai=1+bi(bi0),ia1a2.a10=30 xy=b1b2.b10=20bb+21与a aa21 矛盾1 312.10sin 2,轨迹是双曲线a1a2.a10=(1 b)(1 b).(1 b)=1+(1210b1b2.b10)+bb1 2故a，使得ia1i第 5页共 5 页.精品.