高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结.pdf

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1、.线面角的求法线面角的求法1 1直接法直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例例 1 1（如图 1）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，SBA=45,SBC=60,M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面 SAB 所成的角。（2）SC 与平面 ABC 所成的角。C CH HS SMMA AB B解:（1）SCSB,SCSA,图 1SC平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影，SBC 是直线 BC 与平面 SAB

2、 所成的角为 60。（2）连结 SM,CM，则 SMAB,又SCAB,AB平面 SCM,面 ABC面 SCM过 S 作 SHCM 于 H,则 SH平面 ABCCH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。SCH 为SC与平面ABC所成的角。sin SCH=SHSCSC 与平面 ABC 所成的角的正弦值为77 7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）2.2.利用公式利用公式sinsin=h=h其中是斜线与平面所成的角，h是 垂线段的长，是斜线段的

3、长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例例 2 2（如图 2）长方体 ABCD-A1B1C1D1,AB=3,BC=2,A1A=4，求 AB 与面 AB1C1D 所成的角。D DA A3 32 2B BC C4 4D D1 1A A1 1H HC C1 1B B1 1解：设点 B 到 AB1C1D 的距离为 h，VBAB C=VABB C13SAB Ch=13 SBB CAB，易得 h=125，设1 11 11 11 1.下载可编辑.AB 与 面 A B1C1D 所成的角为,则 sin=hAB=45，AB 与面 AB1C1D 所

4、成的角为 arcsin0.83.3.利用公式利用公式 coscos=cos=cos1 1coscos2 2（如图3）若 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面内的射影，OC为面内的一条直线，其A AO OB BC C中为OA与OC所成的角，图31为OA与OB所成的角，即线面角，2为OB与OC所成的角，那么 cos=cos1cos2，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）1平面的斜线和平面所成的角：已知，如图，AO是平面的斜线，A是斜足，OB垂直于平面，B为垂足，则直线AB是斜线在平面内的射影。设AC是平面内的任意一条直线，且BC

5、 AC，垂足为C，又设AO与AB所成角为1，AB与AC所成角为2，AO与AC所成角为，则易知：uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r|AB|AO|cos1，|AC|AB|cos2|AO|cos1cos2uuu ruuu r又|AC|AO|cos，可以得到：cos cos1cos2，注意：2(0,O2)（若22，则由三垂线定理可知，A12CBOA AC，即2；与“AC是平面内的任意一条直线，且BC AC，垂足为C”不相符）。易得：cos cos1又,1(0,2)即可得：1则可以得到：（1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（2）斜

6、线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。说明：1若a，则规定a与所成的角是直角；2若a/或a，则规定a与所成的角为0；3直线和平面所成角的范围为：0 90；4直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值（cos cos1cos2）。例例 3 3（如图 4）已知直线 OA,OB,OC 两两所成的角为 60,，求直线 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值。A AoooB BO OC CD D.下载可编辑.解：AOB=AOC OA 在面 OBC 内的射影在BOC 的平分线 OD 上，则AOD 即为 OA 与面 OBC 所成的

7、角，可知DOC=30,cosAOC=cosAODcosDOC，cos60=cosAODcos30 cosAOD=33 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值为33。2 2例题分析：例题分析：例 1如图，已知AB是平面的一条斜线，B为斜足，AO,O为垂足，BC为内的一条直线，ABC 60o,OBC 45o，求斜线AB和平面所成角。解：AO，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO为AB和所成角，B又cos cos1cos2，AOCcosABCcos60o122cosABO，ocosCBOcos45222ooBAO 45，即斜线AB和平面所成角为45例 2如图，在正方体AC1中，求面对角线A1B与对角

8、面BB1D1D所成的角。解（法一）连结A1C1与B1D1交于O，连结OB，D1OB1C1A1平面BB1D1D，DD1 AC11，B1D1 AC11，AO1A1BO是A1B与对角面BB1D1D所成的角，1在RtA1BO中，AO A1B，A1BO 30o12（法二）由法一得A1BO是A1B与对角面BB1D1D所成的角，2B B6，cosB1BO 1，2BO32cosA1BB13o2cosA1BO，A1BO 30cosB1BO263又cosA1BB1 cos45 oDABC说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。另外，在条件允许的情况下，用公式cos cos1cos2求线面角显得更加方便。例 3已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，求AC与平面BCD所成角的余弦值。A解：过A作AO 平面BCD于点O，连接CO,BO,DO，AB AC AD，O是正三角形BCD的外心，3a，3oAOC 90，ACO即为AC与平面BCD所成角，设四面体的边长为a，则CO CODB.下载可编辑.cosACO 33，所以，AC与平面BCD所成角的余弦值为332如图，已知PA正方形ABCD所在平面，且PC 24,PB PD 6 10，求PC和平面ABCD所P成的角。PADBABCC.下载可编辑.下载可编辑.