三角函数公式及推导公式.pdf

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1、三角函数公式及推导公式三角函数公式及推导公式三角函数公式三角函数公式定义式：定义式：锐角三角函数锐角三角函数任意角三角函数任意角三角函数图形图形任意任意直角三角形直角三角形角三角函数角三角函数正弦正弦（sinsin）余弦余弦（coscos）正切正切（tantan 或或 tgtg）余切余切（cotcot 或或 ctgctg）正割正割（secsec）余割余割（csccsc）函数关系函数关系倒数关系：倒数关系：商数关系：商数关系：平方关系：平方关系：诱导公式诱导公式公式一：设公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设公式二：设为任

2、意角，为任意角，与与 的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：公式三：任意角公式三：任意角与与 的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：公式四：公式四：与与 的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：公式五：公式五：与与 的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：公式六：公式六：及及与与的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限即形如（记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限即形如（2k+12k+1）9090，则函数名称，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正

3、切变余切，余切变正切。形如2k902k90，则函数名称不变。，则函数名称不变。诱导公式口诀诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限”意意义：义：k/2a(kk/2a(kz)z)的三角函数值的三角函数值(1)(1)当当 k k 为偶数时，为偶数时，等于等于 的同名三角函数值，的同名三角函数值，前面加上一个把前面加上一个把 看作锐角时原三角函数值的符号；看作锐角时原三角函数值的符号；(2)(2)当当 k k 为奇数时，等于为奇数时，等于 的异名三角函数值，前面加上一个把的异名三角函数值，前面加上一个把 看作锐角时原看作锐角时原三角函数值的符号。三角函数值的符号。记忆方法一：奇变偶

4、不变，符号看象限：记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：记忆方法二：无论记忆方法二：无论 是多大的角，都将是多大的角，都将 看成锐角看成锐角以诱导公式二为例：以诱导公式二为例：若将若将 看成锐角（终边在第一象限），则看成锐角（终边在第一象限），则 十十 是第三象限的角（终边在是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值这样，就得到了诱导公式象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值这样，就得到了诱导公式二二以诱导公式四为例：以诱导公式四为

5、例：若将若将 看成锐角（终边在第一象限），则看成锐角（终边在第一象限），则 -是第二象限的角（终边在第是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值这样，就得到在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值这样，就得到了诱导公式四了诱导公式四诱导公式的应用：诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：特别提醒：特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：三角函数化简与求值时需

6、要的知识储备：熟记特殊角的三角函熟记特殊角的三角函数值；注意诱导公式的灵活运用；三角函数化简的要求是项数要最少，次数值；注意诱导公式的灵活运用；三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。基本公式基本公式和差角公式和差角公式二角和差公式二角和差公式证明如图，负号的情况只需要用证明如图，负号的情况只需要用-代替代替 即即可可cot(cot(+)推导只需把角推导只需把角 对边设为对边设为 1 1，过程，过程与与 tan(tan(+)相同相同证明正切的和差角公式证明正切的和差角公式证明正弦、余弦的和差角公式证明正弦、余

7、弦的和差角公式三角和公式三角和公式和差化积和差化积口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦减正，余在前，余减余，负正弦积化和差积化和差倍角公式倍角公式二倍角公式二倍角公式三倍角公式三倍角公式证明：证明：sinsina a3 3=sin(a+2a)=sin(a+2a)=sin2a=sin2acosa+cos2acosa+cos2asinasina=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3a=3sina-4sin3acoscosa

8、 a3 3=cos(2a+a)=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa=4cos3a-3cosa=4cos3a-3cosasinsina a3 3=3sina-4sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina(3/4-sin2a)=4sina(3/2)=4sina(3/2)-sina(3/2)+sinasina(3/2)+sina=4sina(sin60=4sina(sin60+s

9、ina)(sin60+sina)(sin60-sina)-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(-a)/2*2sin(6060-a)/2cos60-a)/2cos60+a)/2+a)/2=4sinasin(60=4sinasin(60+a)sin(60+a)sin(60-a)-a)coscosa a3 3=4cos3a-3cosa=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa(cos2a-3/4)=4cosacos2a-=4cosacos2a-(3/2)2(3/2)2=4co

10、sa(cosa-cos30=4cosa(cosa-cos30)(cosa+cos30)(cosa+cos30)=4cosa*2cos(a+30=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2cos(a-30)/2*-2s)/2*-2sin(a+30in(a+30)/2sin(a-30)/2sin(a-30)/2)/2=-4cosasin(a+30=-4cosasin(a+30)sin(a-30)sin(a-30)=-4cosasin90=-4cosasin90-(60-(60-a)sin-90-a)sin-90+(60+(60+a)+a)=-4cosacos(60=-4cosaco

11、s(60-a)-cos(60-a)-cos(60+a)+a)=4cosacos(60=4cosacos(60-a)cos(60-a)cos(60+a)+a)上述两式相比可得：上述两式相比可得：tantana=tanaa=tanatan(60tan(60-a)-a)tan(60tan(60+a)+a)3 3四倍角公式四倍角公式sinsina=-4*cosa*sina*(2*sina2-1)a=-4*cosa*sina*(2*sina2-1)4 4coscosa=1+(-8*cosa2+8*cosa4)a=1+(-8*cosa2+8*cosa4)4 4tantana=(4*tana-4*tana3

12、)/(1-6*tana2+tanaa=(4*tana-4*tana3)/(1-6*tana2+tana4 44)4)五倍角公式五倍角公式n n 倍角公式倍角公式应用应用欧拉公式欧拉公式：.上式用于求上式用于求 n n 倍角的三角函数时，可变形为：倍角的三角函数时，可变形为：所以，所以，其中，其中，ReRe 表示取实数部分，表示取实数部分，ImIm 表示取虚数部表示取虚数部分而分而所以，所以，显然，显然，且，且故有：故有：三角形定理三角形定理正弦定理正弦定理详见词条：详见词条：正弦定理正弦定理在任意在任意ABCABC中，角中，角A A、B B、C C所对的边长分别为所对的边长分别为a a、b b、c c，三角形，三角形外接圆外接圆的的半径为半径为R R则有：则有：正弦定理变形可得：正弦定理变形可得：余弦定理余弦定理详见词条：详见词条：余弦定理余弦定理在如图所示的在在如图所示的在ABCABC中，有中，有余弦定理余弦定理或或