空间几何——平行与垂直证明.pdf

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1、三、三、“平行关系”常见证明方法“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明（一）直线与直线平行的证明1)利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行平行四边形的对边互相平行2)利用三角形中位线三角形中位线性质3)利用空间平行线的传递性（即公理 4）：4)a c平行于同一条直线的两条直线互相平行。平行于同一条直线的两条直线互相平行。a bb c利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。么这条直线和交线平行。aa ab ab b5)利用平面与平面平

2、行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行/a a/b b6)利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。垂直于同一个平面的两条直线互相平行。a b a b7)利用平面内直线与直线垂直的性质：ab在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。8)利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明（二）直线与平面平行的证明1)利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内

3、的一条直线平行，则该直线与此平面平行。平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。ababaab2)利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。a aa3)利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点直线在平面外，且直线与平面没有公共点（二）平面与平面平行的证明（二）平面与平面平行的证明常见证明方法：常见证明方法：1)利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

4、。a b a b Pa/b/baP2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行正方体的上下底面互相平行等3)利用定义：两个平面没有公共点两个平面没有公共点三、三、“垂直关系”常见证明方法“垂直关系”常见证明方法（一）直线与直线垂直的证明（一）直线与直线垂直的证明1)利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直直角三角形的两条直角边互相垂直等。2)看夹角：两条共（异）面直线的夹角为两条共（异）面直线的夹角为 9090，则两直线互相垂直。，则两直线互相垂直。3)利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。如果一条直线与一个平面垂

5、直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。a b ab 两条直线互相垂直两条直线互相垂直。ba4)利用平面与平面垂直的性质推论：如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这 la b a lb l a blba5)利用常用结论：如果两条直线互相平行，如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另则另一条直线也垂直于第三条直线。一条直线也垂直于第三条直线。cabacbcab如果有一条直线垂直于一个平面，如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，另一条直线平行于

6、此平面，那么那么这两条直线互相垂直。这两条直线互相垂直。baa b a b（二）（二）直线与平面垂直的证明直线与平面垂直的证明1)利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面长方体侧棱垂直于底面等2)看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。直于此平面。3)利用直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。ababAlalb l lbAa4)利用平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的

7、直线与另一个平面垂直。两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。laalal5)利用常用结论：一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。baab a b 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。个平面。a a a（三）平面与平面垂直的证明（三）平面与平面垂直的证明1)利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面长方体侧面垂直于底面等2)2)看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角）是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。，就说这连个平面互相垂直。3)利用平面与平面垂直的判定定理a一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。a a