4河北师范大学本科生毕业论文文献综述.doc

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1、河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述极限思想的形成与发展一、极限思想的由来与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。 极限的思想可以追溯到古代，在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽，但从现在的史料来看，这种思想主要局限于哲学领域，还没有应用到数学上，当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题。直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释九章算术时创立了有名的“割圆术”，第一个创造性地将极限思想应用到数学领域，这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础。 刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用，古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，

2、他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法归谬法来完成了有关的证明。 到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明， 如此，他在无意中将极限发展成为一个实用概念。二、极限思想的发展 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相连的。起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。 牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。 正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到了人们的怀疑与攻击。 英国哲学家、大主教贝克莱对

3、微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。 这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。 三、极限思想的完善 极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。 在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿， 这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚，对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解，对有限和无限的对立统一关系还不明

4、确。 这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。 柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义， 但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。 为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础，即所谓，就是指“如果对任何，总存在自然数，使得当 时，不等式恒成立” 这个定义，借助不等式，通过和之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系。 因此，这样

5、的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。 在该定义中，涉及的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。 四、极限理论在数学分析中的渗透极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确。极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限， 数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。