有关函数凸凹性的一个结论在高考解题中的应用.pdf

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1、有关函数凸凹性的一个结论在高考解题中的应用有关函数凸凹性的一个结论在高考解题中的应用函数凸凹性在高考解题中的应用一隅颍上一中 刘殿李函数凸凹性是高等数学研究的函数重要性质之一,虽然在高中数学的课标中没有对凸凹函数做具体要求,但是它的身影在高考试题中却频频出现.充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能.下面仅就函数凸凹性的一个侧面在高考题中的应用做初步论述.一、凹凸函数的定义及相关定理对其定义域中任意的 x，都有如下不等式 定义:如果函数 xfx()12x，x112(1),f(),f(x)，f(x)1222x,x 成立，则称是下凸(凸)函数(如

2、图 1 所示)，当且仅当时等号成立(f(x)12x 如果函数对其定义域中任意的，x 都有如下不等式 fx()12x，x112(2),f(),f(x)，f(x)1222x,x 成立，则称是上凸(凹)函数(如图 2 所示)，当且仅当时等号成立(f(x)12xx 从几何意义来看，不等式(1)表示定义域中任意两点，的中点所对应的曲M12线上的点 Q 位于弦上对应点 P 的下面(不等式(2)则有相反的意义(引理:设函数 f(x)在开区间上可导，则 I,(1)f(x)在区间上为上凸函数导函数 f(x)在区间单调减少(II,(2)f(x)在区间上为下凸函数导函数 f(x)在区间单调增加(IIf(x)定理:若

3、函数在开区间(a,b)上为下凸函数且可导，为其图像上一点，P(x,y)00f(x)f(x)则函数的图像必在 P 点处函数切线的上方;反之，若函数在开区间(a,b)上为上凸函数且可导，则函数 f(x)的图像必在 P 点处函数切线的下方.证明:由函数在开区间上可导,从而 P 点处函数切线方程为 f(x)I,y,f(x)(x,x)，y000,记,F(x),f(x),f(x)(x,x),yF(x),f(x),f(x)0000当在开区间上为下凸函数时,由引理得在处取得最小值 0,即f(x)(a,b)F(x)x,x0,也即,F(x),0,f(x),f(x)(x,x)，y000即证函数的图像在 P 点处函数

4、切线的上方;f(x)？在开区间上为上凸函数且可导，则函数的图像必在同理可得,若函数f(x)(a,b)f(x)P 点处函数切线的下方.二、定理在高考题中的应用以下就 2012 年高考试题中出现的若干有关凸凹性的试题来说明定理的解题应用价值.1x,12,fxfefxx()(1)(0),，例 1.(新课标理 21)已知函数满足满足;fx()2(1)求的解析式及单调区间;fx()12fxxaxb(),，(2)若，求的最大值。(1)ab，2解:(1)略(2)解法一(试题原标准解答)12xx,fxxaxbhxeaxb,，,，,()()(1)0 得 hxea()(1),，2,?当时，在上单调递增 a，,10

5、hxyhx()0(),xR,时，与矛盾 x,hx(),hx()0,?当时，a，,10hxxahxxa()0ln(1),()0ln(1),，,，得:当时，xa,，ln(1)hxaaab()(1)(1)ln(1)0,，,，,min22(1)(1)(1)ln(1)(10)abaaaa，,，,，,22,令;则 Fxxx()(12ln),Fxxxxx()ln(0),FxxeFxxe()00,()0,eFx(),当时，xe,max2e 当时，的最大值为 aebe,1,(1)ab，212xfxxaxb(),，分析:如果把转化为那么第(2)问本质上不就 e,(a，1)x，b,2x 是下凸函数图象位于某直线上方

6、问题吗,这样一来，只需是的切线 y,(a，1)x，by,e 或切线的下方平行线即可.由此得12xfxxaxb(),，解法二 由题意,即恒成立,x,Re,(a，1)x，b,2x 记,所以图象位于直线的上方.g(x)y,(a，1)x，bg(x),e由下凸性及定理,存在,使得直线与图象在 g(x)y,(a，1)x，bg(x)x,xx,R00 xx00 处的切线重合或平行(位于切线下方),l:y,e(x,x)，el0 x0,a，1,e,2x0 也即是,所以,e(1,x)(1)ab，,0 x0,b,e(1,x)0,2x 记,则,对求导讨论可得 x,R(1)ab，h(x),h(x)h(x),e(1,x)m

7、axeeh(x),故的最大值为.(1)ab，max22解后反思:解法一基于题目代数条件、放缩求最值，解法自然，但仅停留在条件到结论的表面计算，部分学生由于计算量大和讨论繁琐而望而却步;解法二简洁明快，直观性较强，且揭示了试题立意的本质即是基于函数凹凸性立意.,例 2(辽宁理 21)设，曲线 fxxxaxbabRab()ln(1)1(,),，,为常数3 与直线在(0，0)点相切。yfx,()yx,29x(?)求的值。(?)证明:当时，。ab,02,xfx(),x，6解:(1)a=0,b=-1评注:以上两种解答均为原试题标准解法,利用了函数的单调性或者均值不等式证9xfx(),明出.但是通过上述过

8、程可以看出,仍有计算繁琐,思维量大的瑕疵.而我们如果 x，69x3y,能从题设中得到启发,看出直线 y,f(x)即是在原点处切线,也是处切yx,x，6239x3f(x),x,x 线的话,那么本题即可转化为两个简单不等式证明:在02,x2x，629x 上成立即可.由函数及 y,的凸凹性,这个证明是显然且直观的,我就不再一y,f(x)x，6一赘述了.以下为 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考(华普)的 21 题,其第二问也可用文中定理加以解决,现录出,以飨读者.已知函数,f(x),lnx,mx，m,m,R(1)略(2)若在上恒成立,求实数 m 的取值;(3)略.f(x),0 x,(0,，,)