高中数学几类不同增长的函数模型教案.pdf

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1、-3.2.13.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型教学目标：教学目标：1借助计算器或计算机制作数据表格和函数图像，对几种常见的函数类型的增长情况进展比较，在实际应用的背景中理解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的差异。2通过对投资方案的选择，学会利用数据表格和函数图像分析问题和解决问题；引导学生充分体验将实际问题数学化解决的过程，从而理解数学建模的思想方法解决问题的有效性。3 鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型 指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等，体验函数是描述宏观世界变化规律的根本数学模型，从而培养学习数学的兴趣。教学重点：将实际问题转化为函数模型

2、，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义教学难点教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。技术手段：技术手段：计算机辅助教学。教学方法：教学方法：启发探究式。教学过程教学过程一、创设情境，引入课题一、创设情境，引入课题1先看一图片，这是什么动物.2关于兔子有这样一段故事：1859 年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100 年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量到达75 亿只3请看画面。4得意的兔子变得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相

3、当于75 亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气5一般而言，在理想条件食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等下，种群在一定时期的增长大致符合J型曲线；在有限环境空间有限，食物有限，有捕食者存在等中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈S型可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期的增长.6生活中的增长现象比比皆是，在我们学过的函数中也有许多成增长形态开展的。因此研究不同增长函数模型是非常必要的。二、组织引

4、导，合作探究二、组织引导，合作探究例例 1 1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报 40 元；方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报10 元；方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番请问，你会选择哪种投资方案.z.-【问题 1】选择最正确投资方案的原则是什么.预案一：谁的回报多。有条件限制吗.回报指的是什么是每天回报还是总回报预案二：一样条件下，谁的回报多。一样条件指的是什么.答案：从第一天起，一样时间哪一个方案的累计回报数总回报数多，就选哪一个方案。【问题 2】此题中涉及哪些数量关系如何利用函数描述这些数

5、量关系预案一：预案一：总回报数与天数的关系。设总回报数为 y 元，投资天数为*则方案一：y=40*(*N*)；方案二：y 10(123 x)10(1 x)x 5x25x；2方案三：y 0.4(124请学生课下进一步探究。2x1)。预案二：预案二：每天回报数与投资天数之间的关系。设第*天所得回报是 y 元,则方案一可用函数 y=40(*N*)进展描述;方案二可以用函数 y=10*(*N*)进展描述;方案三可以用函数y 0.42【问题 3】你能认识一下方案中的三个函数吗.方案一是常数函数；方案二是一次函数；方案三是指数型函数，方案二、三中的函数都是增函数。【问题 4】下面利用这三个函数关系式,算出

6、每天的回报数，请填写在表一中。*/*/天天1234567891030方案一每天回报数 y/y/元元4040404040404040404040方案二方案二每天回报数 y/y/元元102030405060708090100300.z.x1(xN*)进展描述。方案三方案三每天回报数 y/y/元元0.40.81.63.26.412.825.651.2102.4204.8214748364.8214748364.8-【问题 5】这三个函数增长速度怎样，通过哪个量来判断这三个函数的增长速度.通过增加量增长量来判断，也就是从第二天起，每一天与前一天的变化量下面请同学再算一下每一种方案的增加量。*/*/天天

7、方案一每天回报数y/y/元元40404040404040404040增加量000000000方案二方案二每天回报数y/y/元元102030405060708090100增加量101010101010101010方案三方案三每天回报数y/y/元元0.40.81.63.26.412.825.651.2102.4204.8增加量0.40.81.63.26.412.825.651.2102.4123456789103040030010214748364.8214748364.8107374182.4107374182.4【问题 6】这三种方案的增加量有何特点.可以看到，方案一、方案二增长量固定不变，而

8、方案三是指数增长，其增长量是成倍增加的，从第 7 天开场，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的。下面再从图象的角度来认识一下：函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，我们用虚线连接离散的点我们看到：底为底为 2 2 的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。因此，把指数增长也称为指数爆炸。【问题 7】从这三种方案每天所得回报看，你能得到什么结论.第 13 天，方案一最多；在第四天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第 58 天，方案二最多；第 9 天以后，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30 天，

9、所得回报已超过 2 亿元。.z.-【问题 8】根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5 5 天以下选方案一，投资天以下选方案一，投资 5858 天选方案二，天选方案二，投资投资 8 8 天以上选方案三天以上选方案三.【问题 9】下面再算一下三种方案的累计回报，填写在表格中。三种方案的累计回报，填写在表格中。【问题 10】从累计的回报数看，你会选择哪种方案.结论：结论：投资 16 天，应选择第一种投资方案；投资 7 天，应选择第一或二种投资方案；投资 810 天，应选择第二种投资方案；投资 11 天含 11 天以上，应选择第三种投资方案。【问题 11】从

10、上面问题可以看出，几种常见函数的增长情况如下：常数函数保持不变一次函数直线上升指数型函数指数爆炸【问题 12】解决实际问题的一般步骤是什么.数学化数学问题例例 2 2实际问题*公司为了实现问1000 万元利润的目标，准备制定一个鼓励销售部门的奖励方案：在销售利润到数(转化成数学问题)题学x单位：万元的增加而增解解达 10 万元时，按销售利润进展奖励，且奖金y单位：万元随销售利润决答xy 1.002加但奖金不超过 5 万元现有三个奖励模型：，y log7x1问：其中哪个模y 0.25x符合实际实际问题结论数学问题结论型能符合公司的要求.回到实际问题【问题 1】此题涉及到的三个函数都是什么函数.【

11、问题 2】x的取值围，即函数的定义域是什么.由于公司总的利润目标为1000 万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润。于是，x10,1000。【问题 3】*个奖励模型符合公司要求，要满足哪些条件.奖金总数不超过 5 万元，即0 y 5。【问题 4】结合图象，并通过计算哪个模型的奖金总数不超过5 万.1对于模型 y=0.25*,它在区间10,1000上递增,当*=20 时，y=5，因此，当*(20,1000)时,y5,因此该模型不符合要求。2对于模型y 1.002,由函数图象,并利用计算器,可知在区间x(805,806)有一个点满足1.0020 5,由于它在10,1000上递增,因此当x

12、x0时,y5,因此该模型也不符合要求。3对于模型y log7x1,它在区间 10,1000上递增,而且当*=1000 时,.z.x-y log710001 4.55 5,所以它符合奖金总数不超过5 万元的要求。【问题 5】你对对数型函数模型增长有怎样的认识.结论：对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。nx【问题 6】请你研究幂函数y x(n 0)、指数函数y a(a 1)、对数函数y logax(a 1)在区间(0,)上的增长差异。三、课堂练习y,1、四个变量1四、小结与反思五、作业y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表：关于*呈指数型函数变化的变量是。收集一些社会生活中递增的一

13、次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进展比较，了解函数模型的广泛应用.教学设计说明教学设计说明本节课的容是人教社普通高中课程标准实验教科书A 版数学必修 1 第三章几种不同增长的函数模型第一课时，本节课的重点是将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。难点在于如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题本课设计的思路是通过澳大利亚兔灾的故事引入，一则激发学生兴趣，二则让学生初步感知指数增长即指数爆炸的含义。然后组织学生探究投资决策和奖励模型两个实际问题，通过选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函

14、数模型增长的含义及其差异。结合计算机辅助教学在培养学生能力方面表达如下1.设立数学探究、数学建模等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，培养独立思考、积极探索的习惯。2.引导学生自主探索函数模型的差异性、动手制作表格和作图、合作交流讨论、阅读自学等学习数学的方式。发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程。3.通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解函数模型差异、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方法，把数学的学术形态转化为学生易于承受的教育形态。4.利用信息技术来呈现教学中难以呈现的课程容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、多媒体教育技术平台，加强数学教学与信息技术的整合，鼓励学生运用计算机、计算器等进展探索和发现。.z.