高中数学第二章平面向量复习训练题(人教版必修4).pdf

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1、平平 面面 向向 量量 A A组组（1）如果a a，b b是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）(A)a ab b (B)a ab b=1 (C)a a b b (D)a a b b（2）在四边形ABCD中，若AC AB AD，则四边形ABCD的形状一定是()(A)平行四边形 (B)菱形 (C)矩形 (D)正方形（3）若平行四边形的 3 个顶点分别是（4，2），（5，7），（3，4），则第 4 个顶点的坐标不可能是（）(A)（12，5）(B)（-2，9）(C)（3，7）(D)（-4，-1）（4）已知正方形ABCD的边长为 1，AB a a，BC b b，AC c c，则a ab bc c等于

2、()(A)0 (B)3 (C)2 (D)2 2（5）已知a a 3，b b 4，且向量a a，b b不共线，若向量a ak b b与向量a a k b b互相垂直，则实数k的值为（6）在平行四边形ABCD中，AB a a，CB b b，O为AC与BD的交点，点M在BD上，BM 221OD，3则向量BM用a a，b b表示为；AM用a a，b b表示为（7）在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h渡船要垂直地渡过长江，则航向为（8）三个力F F1 1，F F2，F F3的大小相等，且它们的合力为0，则力F F2与F F3的夹角为（9）用向量方法证明：三角

3、形的中位线定理（10）已知平面内三点A、B、C三点在一条直线上，OA (2,m)，OB (n,1)，OC (5,1)，且OA OB，求实数m，n的值B B组组（11）已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且OP 3OAOB，则()2(A)点P在线段AB上 (B)点P在线段AB的反向延长线上(C)点P在线段AB的延长线上 (D)点P不在直线AB上（12）已知D、E、F分别是三角形 ABC 的边长的边BC、CA、AB的中点，且BC a a，CA b b，AB c c，则EF 11111c cb b，BE a a b b，CF a a b b，AD BE CF 0中正确的等式的222

4、22个数为()（A）1（B）2（C）3（D）4（13）已知向量a a(1,5)，b b(3,2)，则向量a a在b b方向上的投影为（14）已知OA a a，OB b b，点M 关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量MN用a a、b b表示为（15）已知向量a a(m2,m3)，b b(2m1,m2)，若向量a a与b b的夹角为直角，则实数m的值为；若向量a a与b b的夹角为钝角，则实数m的取值范围为（16）已知OP (2,1)，OA (1,7)，OB (5,1)，点O为坐标原点，点C是直线OP上一点，求CACB的最小值及取得最小值时cosACB的值（17）如图，点A1、A

5、2是线段AB的三等分点，求证：OA1OA2OAOB（1）一般地，如果点A1，A2，An1是AB的n(n 3)等分点，请写出一个结论，使（1）为所写结论的一个特例并证明你写的结论AA1A2BO（18）已知等边三角形ABC的边长为 2，A的半径为 1，PQ为A的任意P P一条直径，（）判断BPCQ APCB的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由；（）求BPCQ的最大值A AQ QB BC C参考答案或提示：参考答案或提示：平平 面面 向向 量量A A 组组（1）D（2）A（3）C（4）D（5）3-a-a-b b5a a-b b0（6）；（7）北偏西 30466m 3m 60（8）120（9）略（

6、10）或3n 3n 2略解或提示：略解或提示：（1）由单位向量的定义即得a a b b 1，故选（D）（2）由于AC AB AD，AC AB AD，即BC AD，线段BC与线段AD平行且相等，ABCD为平行四边形，选（A）（3）估算：画草图知符合条件的点有三个，这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三点 由于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限，则排除（B）、（D），而符合条件的点第一象限只有一个点，且位于点（5，7）的右侧，则该点的横坐标要大于5，排除（A），选（C）（4）由于a a b bc c 2c ca ab bc c 2 c c 2 2，选（D）（5）向量a ak

7、b b与向量a a k b b互相垂直，则（a akb b)(a a kb b)0,a a k2b b,而a a a a 9,b b b b16,k k （6）BM 2222223411111-a-a-b b；OD，而OD BD，BM BD(AD AB)(BC AB)3266665a a-b b6AM AB BM（7）如图，渡船速度OB，水流速度OA，船实际垂直过江的速度OD，依题意，OA 12.5，OB 25，由于OADB为平行四边形，则BD OA，又OD BD，在直角三角形OBD中，BOD=30，航向为北偏西30（8）过点O作向量OA、OB、OC，使之分别与力F F1 1，F F2，F F

8、3相等，由于F F1 1，F F2，AOBDF F3的合力为0，则以OC、OB为邻边的平行四边形的对角线OD与OA的长度相等，又由于力F F1 1，F F2，F F3的大小相等，OA OB OC，则三角形OCD和三角形OBD均为正三角形，COB 120，即任意两个力的夹角均为120（9）解：由于DE CE CD，而CE CC CD DA AE E11CB，CD CA22B B1111CBCA(CBCA)AB，22221则DEAB，且DE AB，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半2DE（10）由于O、A、B三点在一条直线上，则ACAB，而AC OC OA (7,1m)，AB OB

9、OA (n 2,1m)7(1m)(1m)(n2)0，又OA OB，2nm 0m 3m 6联立方程组解得或3n n 32B B 组组（11）B（12）C（13）4 5 5 115 5 1174)(,2)（14）2b b 2a a（15）(,13或 2；322133（16）8,4 17（17）答案不唯一，如OA1OAn1OA2OAn217OAOB或OA1OA2略解或提示：略解或提示：OAn1n1(OAOB)（18）（）BPCQ APCB 1（）321BA，则点P2（11）由于2OP 3OAOB，2OP2OA OAOB，即2AP BA，AP 在线段AB的反向延长线上，选（B）1a aa a11CB

10、，又a ab bc c 0，EF c cb b，即是错误的；22222111由于BE BC CE BC CA a a b b，即是正确的；同理CF b bc c，而a ab bc c 0，222111则c c a a b b，CF a a b b,即是正确的；同理AD c c a a，2223AD BE CF(a ab bc c)0；即是正确的选（C）2（13）设a a与b b的夹角为，则向量a a在b b方向上的投影为S（12）EF a acosa ab b71313b bAMB1（14）由于A为SM中点，B为SN中点，OA(OS OM)，O211OB(OS ON)，两式相减得OBOA(ON

11、 OM)，22MN 2(OB OA)，MN 2b b 2a a也可直接根据中位线定理MN 2AB 2b b 2a aN（15）若a a与b b的夹角为直角，则a ab b 0，即(m2)(2m1)(m3)(m2)0,m 4或 2；3若向量a a与b b的夹角为钝角，则a ab b 0，且a a与b b不共线，则(m2)(2m1)(m3)(m2)0，且(m2)(m2)(m3)(2m1)0，解得45 5 115 5 11 m m 2或322（16）由于点C是直线OP上一点，设点C(2m,m)，CA (12m,7m),CB (52m,1 m),CACB 5(m2)28，m 2时，CACB的最小值为8

12、；而m 2时，CA (3,5)，CB (1,1)，cosACB CACBCA CB4 1717（17）解：AA111OB2OA1AB，OA1 OA AA1 OAAB OA(OB OA)3333同理OA22OB OA2OBOAOB2OA OAOB；，则OA1OA2333一般结论为OA1OAn1OA2OAn2证明：AAkOAOBkkAB，OAkOA AAkOAAB，nnnkkk而OAnk OA AAnk OAAB OA ABAB OBABnnnkkOAkOAnkOAABOBAB OAOBnnn1注注：也可以将结论推广为OA1OA2OAn1(OAOB)证明类似，从略2（18）（）由于BPCQ APCB (AP AB)(AQ AC)AP(AB AC)，而AQ AP，则BPCQ APCB (AP AB)(AP AC)AP(AB AC)AP ABACAB AC AB AC cosABC 2，AP AP1BPCQ APCB AP ABAC 1，即BPCQ APCB的值不会随点P的变化而变化；（）由于BPCQ APCB 1，BPCQ 1 APCB，APCB AP CB cos AP,CB APCB AP CB 2（等号当且仅当AP与CB同向时成立），BPCQ的最大值为 32222