2013届高三数学 章末综合测试题(6)平面向量、数系的扩充与复数的引入(1).pdf

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1、 2013 2013 届高三数学章末综合测试题（届高三数学章末综合测试题（6 6）平面向量、数系的扩充与）平面向量、数系的扩充与复数的引入复数的引入一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知向量a a，b b且ABa a2b2b，BC5a5a6b6b，C D7a7a2b2b，则一定共线的三点是()AA，B，DCB，C，DBA，B，CDA，C，D解析A由题意B D2a2a4b4b2AB，故A，B，D共线2设P是ABC所在平面内的一点，B CB A2BP，则()AP APB0CP BPC0BP CPA0DP APBP C

2、0解析B因为B CBA2BP，所以点P为线段AC的中点，故选 B.3已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且 2OAOBOC0，那么()A.AOOD B.AO2OD C.AO3OD D2AOOD解析A由 2OAOBOC0 可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故AOOD.5 4已知向量a a(1,2)，b b(2，4)，|c c|5.若(a ab b)cc，则a a与c c的夹角2为()25 A.B.C.D.6336解析Ca ab b(1，2)a a，所以a a与c c的夹角即a ab b与c c的夹角的补角设a ab b与c c的夹角为，则 cos则a a与c c的2夹角为.3a a

3、b bcc1，故，|a|ab|c|b|c|35 52525已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，且AOC45，设OCOAOB(R R)，则的值为()112 A1 B.C.D.323解析A如图，过C作CEx轴于点E，则|OE|CE|2，所以OCOEOBOAOB，即OEOA，所以(2,0)2(3,0)，故.故选 A.36(2011湖南十二校联考)平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足(ABBC)(ADCD)0，则三角形ABC是()A直角三角形 C等腰直角三角形B等腰三角形D等边三角形解析B(ABBC)(ADCD)(ABBC)(ADDC)(ABBC)AC(AB22BC)(A

4、BBC)|AB|BC|0，故|AB|BC|，即ABC是等腰三角形7 (2011 杭 州 月 考)已 知 定 义 在 复 数 集C上 的 函 数f(x)满 足f(x)1x，xR R，1ix，xR R，则 f(1i)()A2B0 C2 D2i2解析C(1i)R R，f(1i)(1i)(1i)1i 2.8如图所示，非零向量O Aa a，O Bb b，且BCOA，C为垂足，若O Ca a(0)，则()A.C.abababab2 2 B.|a|a|a|b|a|b|abab|a|b|a|b|2 2 D.|b|b|abab2解析ABCO A，即B CO C(OCO B)O C0|OC|O BO C0，即|a

5、 a|abab0，解得22abab.|a|a|2 2a1i9(2011济南一模)设a是实数，且是实数，则a()1i21 A.B1 C1 D22a1ia1i1ia1a1解析B因为i 是实数，所以a1.1i2222210 已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足PAP Bx，则点P的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析DP A(2x，y)，P B(3x，y)，PAP Bx，(2x)(3x)yx，化简得yx6.11已知向量a a(1,1)，2a ab b(4,2)，则向量a a，b b的夹角为()A.B.C.D.6432解析B由a a(1,11,1)，2a2ab b(4,2)

6、，得b b(4,2)2(1,1)(2,0)设向量a a，22222b b的夹角为，则 cosabab22，.|a|b|a|b|2 22412(2011宝坻质量调查)已知点A，B，C在圆x2y21 上，满足 2OAABAC0(其中O为坐标原点)，又|AB|OA|，则向量BA在向量BC方向上的投影为()11 A1 B1 C.D22解析C由 2OAABAC(OAAB)(OAAC)OBOC0，得OBOC，即O，B，C三点共线又|AB|OA|1，故向量BA在向量BC方向上的投影为1|BA|cos.32二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13设向量a a与b

7、b的夹角为，a a(3,3)，2b2ba a(1,1)，则 cos_.解析a a(3,3)，2b2ba a(1,1)，b b(1,2)，cos3 1010abab93 10.|a|b|a|b|3 2 510【答案】2bi14如果复数z(bR R)的实部和虚部互为相反数，则b的值等于_1i解析z【答案】02bi1i1i2b2b2b2bi，由，得b0.1i222215(2011宣城调研)已知 i 是虚数单位，复数z满足解析由题意得，z13【答案】i55i2i，则z_.ziii2i13ii i.2i55516对于n个向量a a1 1，a a2 2，a an，若存在n个不全为零的实数k1，k2，kn，

8、使得k1a a1 1k2a a2 2kna an0 成立，则称向量a a1 1，a a2 2，a an是线性相关的按此规定，能使向量a a1 1(1,0)，a a2 2(1，1)，a a3 3(2,2)是线性相关的实数k1，k2，k3的值依次为_(只需写出一组值即可)解析根据线性相关的定义，k1k22k30，得k1(1,0)k2(1，1)k3(2,2)0k22k30，令k31，则k22，k14，k1，k2，k3的一组值为4,2,1.【答案】4,2,1三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分)如图，在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，

9、F为BC的中点，证明：ABDC2EF.解析因为F为BC的中点，所以BFCF0，连接AF，DF，则有ABDCABDCBFCFABBFDCCFAFDF.而AFAEEF，DFDEEF，又E为AD的中点，所以AEDE0.所以AFDFAEEFDEEF2EF，所以ABDC2EF.18(12 分)计算下列各式的值：2i2；(2)24i；(3)1ii3.(1)21i1i1i2i24i解析(1)1i1i(2)24i24i2i.21i2i22242i.2i1i31i2i33(3)i i i ii0.1i1i1i219(12 分)已知ABC中，C是直角，CACB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE2EB，求证：

10、ADCE.解析建立如图所示的直角坐标系，设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)D是BC的中点，D0，.2又AE2EB，即(xa，y)2(x，ay)，axa2x，y2a2y，ax，3解得2y3a.aaa2AD0，(a,0)a，OECE，a，2233a2aADCEa a 0.ADCE，即ADCE.33220(12 分)已知点A(2,0)、B(0,2)、C(cos，sin)，O为坐标原点，且 0.(1)若|O AO C|7，求O B与O C的夹角；(2)若A CB C，求 tan的值解析(1)由已知可得O A(2,0)，O C(cos，sin)，且|O AOC|7，2cos212sin 7，化

11、简得 cos，2331，OC，.2220，sinO BOC3又OB(0,2)，cosOB，OC.2|OB|O C|又O B，O C0，OB，OC.6(2)A C(cos2，sin)，BC(cos，sin2)，由A CBC，得(cos2，sin)(cos，sin2)0，即(cos2)cossin(sin2)0，1化简得，sincos，2122sincos2sincos，4sincos2sincos1，22sincos44 72即 3tan8tan30，解得 tan.33由得，sincos 0 且 0，又|sin|cos|，824 7tan.321(12 分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆xy1

12、2x320 的圆心为Q，过点2222P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k，使得向量O AOB与P Q共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解析(1)圆的方程可写成(x6)y4，所以圆心为Q(6,0)，过P(0,2)且斜率为k的直线方程为ykx2，代入圆的方程得22x2(kx2)212x320，整理，得(1k)x4(k3)x360.直线与圆交于两个不同的点A、B等价于224(k3)2436(1k2)16(8k26k)0，3解得 k0，43即k的取值范围为，0.4(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OAO B(x

13、1x2，y1y2)，4由方程得，x1x2k3.21k又y1y2k(x1x2)4，而P(0,2)，Q(6,0)，P Q(6，2)，O AO B与P Q共线等价于2(x1x2)6(y1y2)3将代入上式，解得k，43又k，0，不存在符合题意的常数k.43x3x22(12 分)已知向量a acosx，sinx，b bcos，sin，且x，.222234(1)求abab及|a|ab|b|；(2)若f(x)abab|a|ab|b|，求f(x)的最大值和最小值3x3x解析(1)ababcosxcos sinxsin cos 2x，|a ab b|22cos 2x2|cos2222x|，x，cosx0.|a ab b|2cosx.34(2)f(x)cos 2x2cosx2cosx2cosx11232cosx.221x，cosx1.23413当 cosx 时，f(x)取得最小值；22当 cosx1 时，f(x)取得最大值1.2