《线性代数》期末试卷A答案及评分标准.pdf

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1、A 卷2015201520162016 学年第一学期学年第一学期线性代数期末试卷答案线性代数期末试卷答案（32 学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016 年 1 月 15 日题号本题满分本题得分阅卷人注意事项：1请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3本试卷共七道大题，满分 100 分；试卷本请勿撕开，否则作废；4.本试卷正文共 7 页。一15二15三21四16五12六14七总分7本题满分本题满分 1515 分分说明：试卷中的字母说明：试卷中的字母E表示单位矩阵；表示单位矩阵；A*表示矩阵表示矩阵A的

2、伴随矩阵；的伴随矩阵；R(A)表示矩阵表示矩阵A的秩；的秩；A1表示可逆矩阵表示可逆矩阵A的逆矩阵的逆矩阵.本本题题得得分分一、填空题（请从下面一、填空题（请从下面6 6 个题目中任选个题目中任选 5 5 个小题，每小题个小题，每小题3 3 分；若分；若6 6个题目都做，按照前面个题目都做，按照前面 5 5 个题目给分）个题目给分）15 阶行列式中，项a24a31a52a13a45前面的符号为【负】.113031212.设D 01213514，A4i(i 1,2,3,4)是D的第 4 行元素的代数余子式，则A41 2A42 A43 2A44等于【0】.1023设B B 020，A A为43矩阵

3、，且R(A A)2，则R(ABAB)【2】.103 4若向量组 1(1,1,0),2(1,3,1),3(5,3,t)线性相关，则t【1】.m m 5设A是 3 阶实的对称矩阵，m是线性方程组Ax 0的解，1是线11 m性方程组(A E)x 0的解，则常数m【1】.6设A和B是 3 阶方阵，A的 3 个特征值分别为3,3,0，若E B AB，则行列式|B1 2E|【-8】.二、选择题（共二、选择题（共 5 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 3 分）分）11.设A为 3 阶矩阵，且|A|，则行列式|2A|等于【A】.2(A)2；(B)本题满分本题满分 1515 分分本本题题得得分分1；(C)1

4、；(D)2.21102.矩阵120的逆矩阵为【A】001 210(A)110；(B)001210110；(C)001 110110120110；(D).0010013设A是n阶非零矩阵，满足A A2，若A E，则【A】(A)|A|0；(B)|A|1；(C)A可逆；(D)A满秩.300 3001 1 14.设A，则的第 3 行第 1 列的元素为C ABC C026,B 110,001342【D】(A)4；(B)8；(C)0；(D)1.22 2x3 2ax1x2 2ax1x3 2ax2x3，a是使二次型f(x1,x2,x3)5 设f(x1,x2,x3)2x12 2x2正定的正整数，则必有【B】(A

5、)a=2；(B)a=1；(C)a=3；(D)以上选项都不对.三、求解下列各题三、求解下列各题(共共 3 3 小题，每小题小题，每小题 7 7 分分)本题满分本题满分 2121 分分1.若,线性无关，2,2 k，3线性相关，求k.本本题题解：因为 2,2 k与 3线性相关，所以必定存在不全为得得分分零的数1，2，3，使得（+（+（=01+2）22+k）3+3）-2 分（21+22+3）+（k2+33）=0整理得：1+由于,线性无关，因此可得由于1，2，3不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此100221=0，由此得k=6.-7 分0k31 112 2.设A 0110，B 2a1，若R(AB

6、 B)2，求a.2130 解：由R(AB B)2可知AB+B=0，由此可得A+E B=02-10又A+E=010=202-21因此B=0-2分因此可得a=-5.-7分 200 100 3.设矩阵A 0a2,B 4t0，且A,B 相似，求a与t的值 021 603 解：由A,B 相似可知A,B的特征值相同，而易知B的特征值为-1,t,3，因此A的特征值也为-1,t,3利用特征值的性质可得2a1 1t 3-5分2(a4)3t解得a 1,t 2.-7分四、四、（共（共 2 2 小题，每小题小题，每小题 8 8 分）分）1求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.11解：令A 1

7、,2,3,4 241 301,把A进行行变换，化为172 214003本题满分本题满分 1616 分分本本题题得得分分行最简形，10A00030110 C 1001000234 -6 分则1，2，4是C的列向量组的一个最大无关组，且3 312 04，故1，2，4是A的列向量组的一个最大无关组，且3 312 04.-8 分 214 2.问a满足什么条件，才能使得A 03a 共有两个线性无关的特征向量？003 2-14解：由A-E=003-a=0，得A的特征值：1=2，2=3=303-要使A有两个线性无关的特征向量，则特征值 3 对应一个线性无关的特征向量，即(A-3E)x=0的解空间的维数为 1

8、，则R(A-3E)=2，-6 分 114 而A 3E 00a，因此可知a0.-8 分 000 x3,x1五、五、问为何值时，线性方程组4x1 x22x32无解，有无穷多解，6x x 4x 23312并在有无穷多解时求出其通解本题满分本题满分 1212 分分本本题题得得分分 101 解：记方程组的增广矩阵为，则B 412 2，6142 3 101 对其进行行变换，化为行阶梯形：B 01 2 3 2，000 1 易知，当1时，R(A)2 R(B)3，方程组无解；当=1时，R(A)R(B)2，方程组有无穷多解；-6 分 1011 x1 x3 1 当=1时，B 01 2 1，与原方程组同解的方程组为，

9、x2 2x3 1 0000 x11 1 由此可得原方程组的通解为x2 k21x103k R.-12分22 4x34x1x2 4x1x38x2x3的六、求实二次型f(x1,x2,x3)x12 4x2本题满分本题满分 1414 分分秩，并求正交变换x=Py，化二次型为标准形 1 22 122解：记二次型的矩阵为A 24 4,A000,2 44000本本题题得得分分故二次型f的秩为 1.-4 分1 由AE 22 24 42 44 0，可得：1 9，23 0，1 1 322当1 9，求解(A 9E)x 0的一个基础解系：单位化：,1-1，p1-31232-2 当23 0，求解Ax 0的一个基础解系：2

10、 1，3 0，01 2-25 34，正交化：22 1，33-2222501 2 52-15 254 51 54单位化：p2，-12 分1，p3355 1501 53令Pp1p2p3，则可得正交变换xPy，2 0y32.-14 分二次型的标准形为：f(y1,y2,y3)9y12 0y2本题满分本题满分 7 7 分分本本题题得得七、七、（请从下面（请从下面 2 2 个题目中任选个题目中任选 1 1 个，若个，若 2 2 个题目都做，按照第个题目都做，按照第 1 1 题题给分）给分）1.“设A是n阶实的反对称矩阵，则对于任何n维实的列向量，和A正交，且A-E可逆”您认为该结论成立吗？请说明理由.解：该结论成立。分分由于A为反对称阵，则AT=-A，对于任意n维实的列向量，有：所以A 0，即和A正交；-3 分考虑（A-E)x=0，即Ax=x，等式两边同时左乘xT，得xTAx=xTx=0，由此得：x=0，即（A-E)x=0只有零解，所以A-E 0，A-E可逆.-7 分012.设矩阵A满足2A1B 2B E，B 20121200试求出A E的第 2 行的元素.0，32解：等式2A1B 2B E两边同时左乘A得：2B=2AB+A，整理得：2B=A（2B+E)，11B已知，由此可求出A 100000,-5 分32从而可求出A E的第 2 行的元素为：1，-1,0.-7 分