量子力学期末考试题库含答案22套.docx

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1、量子力学自测题（1）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？ （6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全 同粒子体系的波函数。（4分）4、证明（无一型;）是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量瓦之间的测 不准关系。（6分）二、（15分）厄密算符与，满足T=广=1,且女方+加=0,求1、在A表象中算符4、分的矩阵表示；2、在B表象中算符4的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。三、（15分）设氢原子在，=。时处于状态（r,。） - - %（）Ko

2、。）_灭31 几（仇。）+）X-i （a。）1、/=。时氢原子的、矛和二的取值几率和平均值；2、%。时体系的波函数，并给出此时体系的石、矛和。的取值几率 和平均值。四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下o o Wo c哈密顿算符由下面的矩阵给出H= 023 0 + C 00 -2)10 00、0用微扰公式求能量这里，H = H + Hr, C是一个常数，Cl,至二级修正值，并与精确解相比拟。a2a- w；口W、dx + i/；fTy/dx0a2 a4% j.2万74k0、.2%7=xsin -xdx- (a-x)sm xdxa *aa a2 a2半，24 2k r(2=

3、 (x 1 - cosx dx-f(6Z -x) 1-cos。力 Ia )a ；I,22k a2 a2 a? Ji 2)6r 8 管8 J 2)六、解(1) 利用公式：X”4丹” + /得至u“ “)二 |+1)+0=；1 + 21 n( n、 ln-1*+ 2 1-2 J( + D( + 2) +71、一x axz 7ln-)力_1)+丹冲卜-2)72)+ (2n +1)| ) + J( -l)|n-2E)=Hb=M，HMj因此，(mx2 n) = LL乙al(n + l)(n + 2)(zn|n + 2 + (2n +1)(mn) + Jn(n -1)(rn - 2、 ， “-,2卜5 +

4、 1)5 + 2)%”+2由此可见(2 %2 o)=+ (2n + l)mn +，小-1)用V2 _ 1_ti_2a1 72 mco将八23展开2土加=2(1 +#+)3 + -C211-C2(3)比照可知,根据微扰=4=2 , 4= 2 ,公式求得的能量二级修正值，与精确求解的结果是吻合的。S 五、解：4-+口 =，. +口+0 +-1小、1八 一介喘一十21= h+- 21 ./%+ +1( 2/22/_/5v +-U- y 2/ 2所以S+和s-分别作用于Sz的本征态工一心)=方2/22/2+%(-ih)+%。的结果是结果说明：称S+为自旋升算符是合理的，因为它将Z方向的自旋从一力/2增

5、加到 力分。同样，称S.为自旋降算符，因为它将z方向的自旋从力/2降到一力/2。鼠和S-容许我们从的一个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非 常有用的。量子力学自测题（18）姓名：学号：题号-四五六习题总分成绩一.（10分）假设$是电子的自旋算符，求SXSZ SxSySx=?a. SxS = ?二.（12分）假设有已归一化的三个态，和|y）,且有aj3 = fla） = 0.337二例。=。.2 ,3%.网=0.8试用Schmidt方法构成正交,归一的新的态矢量和三.（16分）算符3=一瓦。/%一瓦/%不必15。/方是电子自旋 算符Sz经幺正变换而得。试求出它的本征值和相应的本征矢

6、 在z表象中的表示。2乃x b四.（18分）在t=0时，自由粒子波函数为/b/2 sin bx%x,o) = 0a.给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；b.求出几率最大的动量值；c.求出发现粒子在方b-0b + dpx区间中的几率；d. x,t） = ?（积分形式即可）。五.（18分）三个自旋为:的全同粒子，在一维位势12222V（xi，X2，X3）=m6） （X1 +x2 +x3）中运动，a.给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应 的本征矢；（谐振子波函数以Un（x）表示）；b.它们的简并度分别是多少？六.（16分）质量为m的粒子处于位势z x 0 0 x a,0 y

7、 a和0 z /2+ sm-()ei(P/2Sm=m=l2cose益本征值为力/2,本征表示为2 i(p 2 sine w2).。- i(p/2、-sine +一力/2,本征表示为2 e cos-e2四.（18分）eibx -e-ibxdx2k 2idxa. 9p 1 2fe-iPxx/.Px不注bi(bx-pxx) 7? _e-i(bx+pxx/z)47ii h i(b-Px %)2K/b i(b-Px/%)X一2 兀/b2n/be-i(b+px/?)xi(b + Px/力)一2研1 z , . 、12/. 2tcPx2%b= (/2b)12(+2i)sin-一?4冗力b (力b)2-p：该

8、态中粒子动量可能测得值为-8Px23 X号=Ab 力b力b (力b)2-p：、2212兀PxPx%b . 2kpx A(力b) -p：cos- + sin = 0力b兀力b/.有解 px = %bc.0时的粒子波函数;C.绘出粒子在（1）1态的几率随t的变化（以力/AE为单位）。IV. （15分）/ = 0时，氢原子处于基态毛oo = Rio（r）/访，后置于电 场E = （EoeT/T,O,O）中。求tfoo时，发现氢原子处于激发态 甲211 =R21（r）Yu（a 8)6Z9q t 8)(2 xih io)?。一 2k因此，跃迁几率为2mle0? 4k2 +逅)12m2co24Z:2/22

9、+(E2-Eo)212m2co24tl2k2 +4方 2 G2 Sm2cok2+co2)量子力学自测题3一、 简答题(每题5分，共40分)1 . 一粒子的波函数为b) = (x,y,z),写出粒子位于xx +公间的几率。2 .粒子在一维内势阱V(x) = 75(x)(/ 0)中运动，波函数为“(X),写出(x)的跃变条件。3 .量子力学中，体系的任意态“(X)可用一组力学量完全集的共同本征态()展开: = Z%(x)，写出展开式系数C 的表达式。B.碱金属原子能级偶数分裂（1分）光谱线偶数条（1分）分裂能级间距与能级有关（1分）由于电子具有自旋（1分）c.自=口0+白1，Hocpk =Ek（p

10、k（2 分）Ef)=3k 氏 Wk), E?)= =(2 分)swk Hk -D. oj =(ctx + ioy )(ctx + ioy) = ctJ -Qy + i(axoy +Qyax) = 0(2 分)272o_ = (ox -iov)(CTx -iav) = Qx -i(CTxCTv +ctvctx) = 0(2 分)JJJJJ2E. p(X,t) = |(p(X9t)|(2 分)访 * dd *=p (x,t) (p(x,t)-(p(x3) p (x,t)2mdxdx（2分）dp 与,、卿（x,t） 前1212弁评）蜜端6vVv）i。a / * d d *、=布本或中一加中）*因丫

11、= V、dx（2分）F. a)基态 nx = n2 = 0力G）非简并第一H 0, n 2 = 1Hl = 1, i12 =。二重ri】=0, II2 = 2第二 i = n2ho非简并（1分）第一%=0,ii = 1,（二态相加）非简并（1分）II. (14 分)H = 0,H = 2,叫=1,112 = 2ii = 0I2 = 1（二态相加）二态简并（2分）00c cs归一化 A2( Je2x adx+fe-2x adx) = A2a = 1,00AVa（2分）EE一 2am00J e a00d rz r -()e dx a x00adx+ J001? 2m(o x e22 x|a dx-

12、力22am100 ()f e a (25(x)e a a oo-e a )dx + -m02-aa22力22a2m(2-a) + -ma)2-aa 22（6分）（动能计算错扣3分）（6分）（动能计算错扣3分）方 212 2-+mo a2a2m 41 co1另一种求法 Eg= e ap?e adx + -m(D2a2(a) 2am x 42|x|x|1?1 X *1X1 n 7= f (-i力e a )(一访e a )dx + -m(o2a22am _8 a xa x419 ?a dx +m a4力 212 2-+m a2a2m 4口，一方2 1242力 2E KTa =-（3分）Emin =

13、A2mm2a)2方2二中人匡4 m202（3分）V = -e-a, a2III. (16 分)m0（结果错扣3分）A.Eg AEAE Eq - E=0,，E = Eq AEE+ = Eq + AE ,叫灵（2分）E_ = Eq AE,（2分）B V(0)=1 1=a+u+ + a_u_ = & W + 忑 u（4分）C.几率J_|T-i(E0+AE)t/1GI_ p-iE()t/72-V=cos2 竺TicosAEt/h、-isinAEt/t = (1 + cos22AETi一i(E()+AE)t/力7（4分）t)（2分）（2分）n/23n/2tP100-211=1 00,刘Mu(ex%eF-

14、%dt00（6分）00a2P2ry 0C= 2l(R21|rlR10)| f noe T 8ao才出宿丫：1（丫1-丫“）看皿rRiof（6分）（结果正确3分）V. （10 分）（3分）（3分）第一种做法：取a为，轴，b在（x,z）平面与包夹角为9(a OjXb-g2)= CTiz(sin0o2x + cos0o2z)由于ct2x = 1（在Sz表象）5z5zct2xct2xT。2 6V/2仅、T。2（在（J2z表象）（2分）（2分）（2分）（1分）ct1zct2x =0 而 ct1zct2z =-1 (a d)(b -a2) = -cosO = -a-b第二种做法：直接求(a - Ci)(b

15、 与)=(ax5x + ayiy + iziz)(bx2x + by。2y + bzzbz)=axx + ct1xct2x + axyCTlxCT2y + axzCTlxCT2z)+ 3ybxG,jyC2x +aybyOyO2y +3ybzG,|yG，2z) + azbxbz02x + abybizO2y + azbzbzO12z)x - ayby -azbz = -a b = -cos0第三种做法：（qa）（2卜）= i）（勺1 +勺25）口=一(J )(b 5) + (乌 a)(a b)Q = 9i +2而五=0, a)(a2 b) = 一 a)(i b)=Ta-b + iO - (axb

16、)但 CTj = 0 , A (Q1 a)(a2 - b) = -a - b量子力学自测题（20）一.回答以下问题（共30分，第1、2小题各10分，第3、4小题各5分）1、以下波函数所描写的状态是否为定态？并说明其理由。（1）、Wi （%） = 0（x）浦 +0（九）”帝 (1 )、 (x/) =2、描写粒子状态的波函数在坐标表象中为，在动量表象中为。（万j），在力学量Q表象中为矩阵A”)=且它们都是归一化的，试指出，|C（p,t）|2与的物理意义，并分别写出用这三个波函数计算力学量F9,力平均值的表示式。3、己知=试问乙乙和乙是否一定不能同时测定？说明其原由或举例说人、）z明。4、量子力学的

17、波函数与经典的波场有何本质性的区别？二、在动量表象中，求线性谐振子的能量本征函数（15分）三、（16分）在工 和 声 的共同本征态中，求4和v的平均值。四.（25分）设一体系未受微扰作用时只有两个非简并能级目）和艮）,现在受到微扰方的 作用，体系的哈密顿算符为4E*，）+b aH二a E，）+b其中a, b为常数，用微扰公式求能量至二级近似和波函数一级近似，然后再用直接的方法 求能量算符的本征值，并将能量本征值与微扰法得到的能量二级近似值进行比拟。五、（14分）一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能 的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子态构

18、成？量子力学自测题（20）参考答案一.回答以下问题（共30分，第1、2小题各10分，第3、4小题各5分）1、以下波函数所描写的状态是否为定态？并说明其理由。（1 ）、.（冗,。=0（x）浦 + 0（x）”普（2）、夕2 （x/）=+（%）/8如）22答: %（%,）为非定态,因帆（x,=2,（%）| cos/与/有关。（5分）（2）为定态，因|2（x）=2与，无关。 （5 分）2、描写粒子状态的波函数在坐标表象中为（尸J）,在动量表象中为Cg）,在力学量Q表象中为矩阵%、a2A) =册(0且它们都是归一化的，试指出伍2 ,|C（p9t）|2与|怎（42的物理意义，并分别写出用这三个波函数计算力

19、学量F9,万）平均值的表示式。答：亿0|2t时刻粒子处在位置r处的概率。（2分）。（万,t时刻粒子的动量取p值的概率。（2分）（z）| t时刻测量粒子的力学量F,测得值为其本征值Fn的几率。（2分）歹二（，/）户（尸,尸（1分）F = C,。声（访，）C（a t）d3p（1 分）F =A+FAF =A+FA（2分）3、己知x =，粒，试问乙、4和乂是否一定不能同时测定？说明其原由或举例说明。答：不一定不能同时测定。例如在儿（a。）状态中，A2V和乙可同时测定，它们的测量值均为零。（5分）4、量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别?答：量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可测的物理意义，

20、它的模方表示概率，才有可测的意义；经典的波场代表一种物理场，有直接可测的物理意义。（5分）二、（15分）在动量表象中，求线性谐振子的能量本征函数2 |Solve: . H -uco1 x12 2力 2i21在动量表象中H =/LICO1 HpJ2dp-2本征方程：区+ w(p) = Ew(p) 2/z dp 2/（2分）（3分）汇与以p）+ E-2E4 = = ap (oh令 a =1JLlCDtl、P1 夕(p) = o7（3分）（5分）d29)e)= aq该方程在-oc J v oo区域上存在有限解的条件是要求4 = 2 + 1(n/. En = n + hcon9 L Ja2 2P本征函

21、数：匕(p) = Ne 2 Hn(ap)归一化常数：Nn =归一化常数：Nn =、l/2 a五2*（2分）P2即匕（P）=e 23二、（15分）在动量表象中，求线性谐振子的能量本征函数2 “ 1 9 ?Solve: H -1LiCD x2 2本征方程：在动量表象中方=/4+2 dp27 24 dp1 2juP2 (p) = E(p)（2分）（3分）工! (P)+ E-工! (P)+ E-24、P1 (p) = o7dp令 a =2E八嬴4apJLLCOhd2dd2dC)+(;iY2)c)= 0（3分）（5分）（2分）该方程在8 J E，）+b-EaE+b-E）y）（2分）欠期方程:+b-E a

22、a E? +b E（3分）（同）+b E）+b-E）-a2 =QE2 - E（E；）+ 球）+ 2b） + （；）+ b）（E +b）-a2 = 04 .给出如下对易关系：z,p= ?%,p= ?LX,LZ=?rlY ,S）=?%，b=?z 、 （尸，方/2）、5 .一个电子运动的旋量波函数为（乙sj= 八, 、，写出表示电子自旋向上、位置在尸处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。6 .何谓几率流密度？写出几率流密度/（/）的表达式。7 .散射问题中，高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理?8一维运动中，哈密顿量”=一+ V（x）,求x, = ?p, = ?2m二、

23、 计算题（共60分。911题各10分；12、13题各15分）9 .在时间 = 0时，一个线性谐振子处于用以下归一化的波函数所描写的状态:以演0）=2（%）+ C3M3 （X）式中Un（X）是振子的第n个本征函数。（1）试求。3的数值；（2）写出在，时刻的波函数；（3）在 = 0时振子能量的期望值是多少？ 1 = 1秒时呢？10 . 为4的本征态，本征值为力。求在乙2的本征态|下，4和4的平均值。H.氢原子处于状态-21 几一叵R YC 八 21 1 10（1）求轨道角动量的Z分量的平均值;（2）求自旋角动量的z分量力的平均值;（3）求总磁矩用=-上工-5的z分量M一的平均值。 2-6 + 以）

24、+ 2b） 7（ + 以）+ 2与 2 - 4（耳）+ /?）（琛）+ ） + 4/ E -能量一级修正:能量一级修正:碎）=能量二级修正:中二ZmH?,a2J7（）_ k（）/7（）_ J7（）（）_ /7（）心 心机一 心2匚1一心2“126）_ （） _ 尸（）A-/QHj 112j I能量二级近似:2&=耳。）+ 6+及2）= （0） + b +摩二麽2& =球）+以+现2）=琢）+ b +硬二设玄和。为零级近似波函数，那么波函数一级近似乙=4）+zm（）_ （）湾）%=湾）+2 m，？=湾）+ 74）（2分）（2分）（2分）（1分）（1分）（3分）（3分）人a直接计算：设”的本征矢为

25、（八），本征值为E,那么本征方程为:BE；。）+ ba 丫二、& a 。）+力E；。）+ ba 丫二、& a 。）+力（a=E =E；。）+b-E a y。、 、a ）+JS（2分）欠期方程:+b-E a a +b-E（3分）（,）+b-E）+b-E）-a2 =QE2 - E（E；）+ E：）+ 2b） + （4 + b）（E +b）-a2 = 0_ （咪 + 曷+ 2b） J（E（）+ 回6 + 26）2 4（e,）+ 匕）（邑。）+ 与 + 4/ E -(E，)+ 琢)+ 2b) J(E,)-磴)尸 +4+琢)+ 2b) 土。)-琢)产高不彳=I (E.(0) + 邑 + 2。) 土;(琛

26、)-6)(1 + 1 (2。) 2 + (2 分)ZZZ匕I -匕)（1分）（1分）可见，用直接解能量算符本征方程的方法，求得的本征能量值在泰勒级数展开的二级近 似下与微扰法得到的能量二级近似值一致五.（14分）一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能 的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的玻函数怎样用单粒子态构成？（2分）（孙，0，夕3）= %（%）%（%）2（%）（3分）解：体系的可能状态有4个:（3分）（3分） 2 ，/ 必）=/（/）。/（%）。/（%）/ )% (q?)%(g)+ %)% 3)% (0)% (%)%(0)丹2)J 3（名，% 应3）=百

27、. （%）%（% ）% （夕3）+。, （夕2 ）% 3）% （孙）+量子力学自测题（21）1、一维运动的粒子在态（%）中坐标和动量%的平均值分别为x（）和p（）,求在态9（x） = eip（iX/hi/（x + 中坐标x和动量P1的平均值。2、一体系服从薛定用方程力22m（1）指出体系的所有守恒量（不必证明）;3、设t=0时氢原子处在态+ V3r21_1（1）求体系能量的平均值；（2）任意t时刻波函数（/）； （3）任意t时刻体系处在/ = 1,%2 = 1态的几率；（4）任意t时刻体系处在根=0态的几率。4、一维谐振子受到微扰=人作用，式中。为常数。在粒子数表象中,(h Y/2+x - (

28、a +)2mco )分别为湮灭算符和产生算符，满足an=n-a+ | n = J. + 1 n + （1）用微扰论求准确到二级近似的能量值；（2）求能量的准确值，并与微扰论给出的结果相比拟。5、设分别为湮灭算符和产生算符，满足对易关系= 体系的哈密顿量为H = Aaa+ Ba+a+ + Ca+a + D（1）问AB,。,。满足什么条件修才是厄密算符？ （2）求体系的能 量。1、一维运动的粒子在态(X)中坐标X和动量Px的平均值分别为与和Po,求在态0(x) = 6一%(+工0)中坐标X和动量px的平均值。解：粒子在态(X)中坐标X和动量p x的平均值分别为+00x= jI/ (x)xi/(x)dx = x000Pxd、-iTi 一 i/(x)dx = p() dx J现粒子处在o(x)态，坐标x和动量px的平均值+00+00x = Jo(x)x9(x)公二夕李if/ (x + %)x(x + x()dx-00+00-xi/xr)xr - xi/xr)dxf -xQ -x0 = 0-00-00+8CO+00(pxdx = j exlhco*3 )