2019高考数学二轮复习 专题一三角恒等变换与解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质学案 理.doc

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1、1第第 1 1 讲讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质考情考向分析 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1三角函数：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则 sin y，cos x，tan (x0)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余y x弦2同角基本关系式：sin2cos21，tan .sin cos (k2，k Z Z)3诱导公式：在，kZ Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象

2、限” k 2例 1 (1)(2018资阳三诊)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2，1)，则 tan等于( )(2 4)A7 B C. D71 71 7答案 A解析 由角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，可得x2，y1，tan ，y x1 2tan 2 ，2tan 1tan211144 3tan7.(2 4)tan 2tan 41tan 2tan 44 31143 1(2)(2018衡水金卷信息卷)已知曲线f(x)x32x2x在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为，则 cos22cos23sin(2)cos()的值为( )( 2

3、)2A. B C. D8 54 54 32 3答案 A解析 由f(x)x32x2x可知f(x)3x24x1，tan f(1)2，cos22cos23sincos( 2)(2)()(sin )22cos23sin cos sin22cos23sin cos sin22cos23sin cos sin2cos2tan23tan 2 tan21 .462 58 5思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系

4、化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等跟踪演练 1 (1)(2018合肥质检)在平面直角坐标系中，若角的终边经过点P，则 sin()等于( )(sin 5 3，cos 53)A B C. D.321 21 232答案 B解析 由诱导公式可得，sin sinsin ，5 3(2 3) 332cos coscos ，5 3(2 3) 31 2即P，(32，12)由三角函数的定义可得，sin ，1 2(32)2(1 2)21 2则 sinsin .()1 23(2)(2018衡水金卷调研卷)已知 sin(3)2sin，则(3 2)等于( )sin4sin(2)5sin22

5、cos2A. B. C. D1 21 31 61 6答案 D解析 sin(3)2sin，(3 2)sin 2cos ，即 sin 2cos ，则sin4sin(2)5sin22cos2sin 4cos 5sin 2cos .2cos 4cos 10cos 2cos 2 121 6热点二 三角函数的图象及应用函数yAsin(x)的图象(1)“五点法”作图：设zx，令z0， ，2，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可 23 2得(2)图象变换：(先平移后伸缩)ysin x向左 0或向右 0倍纵坐标不变yAsin(x)纵坐标变为原来的AA 0倍横坐标不变(先伸缩后平移)ysin x横坐标变为原来的

6、1 0倍纵坐标不变ysin xysin(x)向左 0或右 0倍横坐标不变4例 2 (1)(2018安徽省江淮十校联考)已知函数f(x)sin(0)的最小正周期(x 3)为 ，为了得到函数g(x)cos x的图象，只要将yf(x)的图象( )A向左平移个单位长度 12B向右平移个单位长度 12C向左平移个单位长度5 12D向右平移个单位长度5 12答案 A解析 由题意知，函数f(x)的最小正周期T，所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x.(2x 3)把g(x)cos 2x变形得g(x)sinsin，所以只要将f(x)的图象向(2x 2)2(x 12) 3左平移个单位长度，即可得到g(x)

7、cos 2x的图象，故选 A. 12(2)(2018永州模拟)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，( 0，| 0，| 0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向跟踪演练 2 (1)(2018潍坊模拟)若将函数ycos x(0)的图象向右平移个单位长 3度后与函数ys

8、in x的图象重合，则的最小值为( )A. B. C. D.1 23 25 27 2答案 B解析 将函数ycos x(0)的图象向右平移个单位长度后得到函数的解析式为 3ycos cos.(x 3)(x 3)平移后得到的函数图象与函数ysin x的图象重合，2k(kZ Z)，即6k (kZ Z) 3 23 2当k0 时， .3 2(2)(2018北京朝阳区模拟)函数f(x)Asin(x)的部分(A 0， 0，| 0)的图象上相邻最高点与最低332点的距离为.24(1)求的值；(2)若函数yf(x)是奇函数，求函数g(x)cos(2x)在0,2上的(0 0，T2， .2 21 2(2)由(1)可

9、知f(x)sin，(x 3)f(x)sin.(x 3)yf(x)是奇函数，sin0，( 3)又 00，f(x)单调递增，1 2当 cos x 时，f(x)有最小值1 2又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，当 sin x时，f(x)有最小值，32即f(x)min2.(32)(11 2)3 322(2018全国改编 )若f(x)cos xsin x在a，a上是减函数，则a的最大值是_10答案 4解析 f(x)cos xsin xsin，2(sin x22cos x22)2(x 4)当x，即x时， 4，34 4 2，2ysin单调递增，(x 4)f(x)sin单调递减2(

10、x 4)函数f(x)在a，a上是减函数，a，a， 4，3400)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了(x 5) 2得到函数g(x)cos x的图象，只要将yf(x)的图象( )A向左平移个单位长度3 20B向右平移个单位长度3 20C向左平移个单位长度 5D向右平移个单位长度 5押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错答案 A解析 由于函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则其最小正周期T， 2所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x.2 T(2x 5)把g(x)cos 2x变形得g(x)sinsin，

11、所以要得到函数g(x)的(2x 2)2(x3 20) 5图象，只要将f(x)的图象向左平移个单位长度即可故选 A.3 202如图，函数f(x)Asin(x) 与坐标轴的三个交(其中A 0， 0，| 2)点P，Q，R满足P(2,0)，PQR，M为QR的中点，PM2，则A的值为( ) 4512A. B. C8 D1683 316 3 3押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A，考查数形结合思想答案 B解析 由题意设Q(a,0)，R(0，a)(a0)则M，由两点间距离公式，得(a 2，a 2)PM2，(2a 2)2(a 2)25解得a18，a24(舍去)，由此得 82

12、6，即T12，故，T 2 6由P(2,0)得， 3代入f(x)Asin(x)，得f(x)Asin，( 6x3)从而f(0)Asin8，得A.( 3)16 3 3 3已知函数f(x)cos4x2sin xcos xsin4x.(1)若x是某三角形的一个内角，且f(x)，求角x的大小；22(2)当x时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的值0， 2押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上

13、的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式解 (1)f(x)cos4x2sin xcos xsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin 2xcos 2xsin 2x132(22cos 2x22sin 2x)cos，2(2x 4)f(x)cos，2(2x 4)22可得 cos .(2x 4)1 2由题意可得x(0，)，2x， 4( 4，94)可得 2x或， 42 34 3x或.5 2413 24(2)x，2x，0， 2 4 4，54cos，(2x 4)1，22f(x)cos，12(2x 4)2f(x)的最小值为，此时 2x，即x.2 43 8A 组 专题通

14、关1(2018佛山质检)函数ysincos的最小正周期和振幅分别是( )(2x 6)(2x 3)A， B，2 C2，1 D2，22答案 B解析 ysincos(2x 6)(2x 3)sinsin(2x 6)(2x 3) 22sin，(2x 6)T，振幅为 2.2 2142(2018天津市十二校模拟)已知函数f(x)sin(xR R，0)的最小正周期为(x 4)，将yf(x)的图象向左平移|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( )A. B. C. D. 23 8 45 8答案 D解析 由函数f(x)sin(xR R，0)的最小正周期为 ，(x 4)2 可得2，f(x)sin.(2x

15、4)将yf(x)的图象向左平移|个单位长度，得ysin的图象，2x|4平移后图象关于y轴对称，2|k(kZ Z)， 4 2|(kZ Z)，k 2 8令k1，得.5 83(2018河北省衡水金卷模拟)已知函数f(x)sin x2cos21(0)，将f(x)3x 2的图象向右平移个单位长度，所得函数g(x)的部分图象如图所示，则(0 0，0 0)图象的相邻对称轴之间的距离3为，则下列结论正确的是( ) 2Af(x)的最大值为 1Bf(x)的图象关于直线x对称5 12Cf 的一个零点为x(x 2) 3Df(x)在区间上单调递减 3，2答案 D解析 因为f(x)sin xcos x2sin的相邻的对称

16、轴之间的距离为，3(x 6) 2所以，得2，即f(x)2sin，2 (2x 6)所以f(x)的最大值为 2，所以 A 错误；当x时，2x，所以f 0，5 12 6(5 12)所以x不是函数图象的对称轴，所以 B 错误；5 12由f 2sin(x 2)2(x 2) 62sin，(2x 6)当x时，f 20， 3(x 2)所以x不是函数的一个零点，所以 C 错误； 3当x时，2x，f(x)单调递减，所以 D 正确 3，2 65 6，766在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(，1)，则 tan _，cos sin_.3( 2)17答案 033解析 角的顶

17、点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(，1)，3x，y1，3tan ，cos sincos cos 0.y x33( 2)7(2018河北省衡水金卷模拟)已知 tan 2，则_.sin222cos22 sin 4答案 1 12解析 tan 2 ，2tan 1tan24 3sin222cos22 sin 4sin222cos22 2sin 2cos 2.tan222 2tan 216 922 (4 3)1 128(2017全国)函数f(x)sin2xcos x的最大值是_33 4(x0， 2)答案 1解析 f(x)1cos2xcos x33 421.(cos x32)x，cos

18、 x0,1，0， 2当 cos x时，f(x)取得最大值，最大值为 1.329(2018潍坊模拟)设函数f(x)(xR R)满足f(x)f(x)sin x，当0f 或f 0 时，函数f(x)有且只有一个零点，( 3)(7 12)( 6)即 sin b 0，| 2)直线y3 相邻两个交点的距离为 ，若f(x)2 对x恒成立，则的取值范围( 24， 3)是( )A. B.( 6，2) 6，3C. D.( 12， 3) 12， 6答案 D解析 因为函数f(x)2sin(x)1，其图象与直线y3 相邻( 0，| 2)两个交点的距离为 ，所以函数周期为T，2，当x时，2x，( 24， 3)( 12，2

19、3)且|， 2由f(x)2 知，sin(2x) ，1 2所以Error!解得. 12 613函数f(x)的图象与函数g(x)2sin x(0x4)的图象的所有交点为(x1，y1)，1 2x 2(x2，y2)，(xn，yn)，则f(y1y2yn)g(x1x2xn)_.答案 1 2解析 如图，画出函数f(x)和g(x)的图象，可知有 4 个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y1y2y3y40，x1x2x3x48，所以f(y1y2y3y4)g(x1x2x3x4)f(0)g(8) 0 .1 21 22114已知a0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(2x 6)0， 2(1)求常数

20、a，b的值；(2)设g(x)f 且 lg g(x)0，求g(x)的单调区间(x 2)解 (1)x，2x.0， 2 6 6，76sin，(2x 6) 1 2，12asin2a，a(2x 6)f(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得f(x)4sin1，(2x 6)g(x)f4sin1(x 2)(2x7 6)4sin1.(2x 6)又由 lg g(x)0，得g(x)1，4sin11，sin ，(2x 6)(2x 6)1 22k2x2k，kZ Z， 6 65 6其中当 2k2x2k，kZ Z， 6 6 2即kxk，kZ Z 时，g(x)单调递增； 6当 2k2x2k，kZ Z， 2 65 6即kxk，kZ Z 时，g(x)单调递减 6 3g(x)的单调递增区间为，kZ Z，(k，k 6单调递减区间为，kZ.(k6，k3)