历年初中数学竞赛试题精选含解答.pdf
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1、初中数学竞赛专项训练初中数学竞赛专项训练(1)(1)1、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数可以被()整除。A.111B.1000C.1001D.1111解:依题意设六位数为abcabc,则abcabca105b104c103a102b10ca102(1031)b10(1031)c(1031)(a103b10c)(1031)1001(a103b10c),而 a103b10c 是整数,所以能被 1001 整除。故选 C方法二:代入法2、若S 1111198019812001,则 S 的整数部分是_解:因1981、19822001 均大于 1980,所以S 1
2、22119801980 90,又1980、2219812000 均小于 2001,所以S 12212001200121 90,从而知 S 的整数2222部分为 90。3、设有编号为 1、2、3100 的 100 盏电灯,各有接线开关控制着,开始时,它们都是关闭状态,现有 100 个学生,第 1 个学生进来时,凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来,由号码是 2 的倍数的开关拉一下,第 n 个(n100)学生进来,凡号码是 n 的倍数的开关拉一下,如此下去,最后一个学生进来,把编号能被100 整除的电灯上的开关拉了一下,这样做过之后,请问哪些灯还亮着。解:首先,电灯编号有几个正约
3、数,它的开关就会被拉几次,由于一开始电灯是关的,所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的,因为只有平方数才有奇数个约数,所以那些编号为 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盏灯是亮的。4、某商店经销一批衬衣,进价为每件m 元,零售价比进价高a%,后因市场的变化,该店1/36把零售价调整为原来零售价的b%出售,那么调价后每件衬衣的零售价是()A.m(1+a%)(1-b%)元B.ma%(1-b%)元C.m(1+a%)b%元D.m(1+a%b%)元解:根据题意,这批衬衣的零售价为每件m(1a%)元,因调整后的零售价为原零售价的 b%,所以调价后每件衬衣的零售价为m(1a%
4、)b%元。应选 C5、如果 a、b、c 是非零实数,且a+b+c=0,那么abcabc的所有可能的|a|b|c|abc|值为()A.0B.1 或-1C.2 或-2解:由已知,a,b,c 为两正一负或两负一正。当 a,b,c 为两正一负时:D.0 或-2abcabcabcabc1,1所以 0;|a|b|c|abc|a|b|c|abc|当 a,b,c 为两负一正时:abcabcabcabc 1,1所以 0|a|b|c|abc|a|b|c|abc|由知应选 A6、在ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若B60,则值为A.12abcabc所有可能的值为 0。|a|b|c|abc|ca
5、的a bc b()B.D.22BcAbaCC.12解:过A点作ADCD于D,在RtBDA中,由于B60,所以DB3CC。,AD22在 RtADC 中,DC2AC2AD2,所以有(aC2232)b C,整理得a2c2=b224cac2 cb a2 aba2 c2 ab bc1ac,从而有a bc b(a b)(c b)ac ab bc b22/36应选 C7、设 ab0,a2+b2=4ab,则A.a b的值为a bC.2D.3()3B.6解:因为(a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab,由于 ab0,得a b 6ab,a b 2ab,故a b3。a b应选 A8.已知 a1999x2000,b
6、1999x2001,c1999x2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为()A.0B.1C.2D.31解:a2b2 c2 ab bc ca(a b)2(b c)2(c a)2,2又a b 1,b c 1,c a 21原式(1)2(1)2 22 32a2b2c29、已知 abc0,且 a+b+c0,则代数式的值是bccaabA.3B.2C.1D.0()解:原式(b c)a(a c)b(a b)cbcacabaabbcc ()()()bcacababc 3abc10、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降价的百分数)不得超过d%,则 d 可
7、用 p 表示为解:设该商品的成本为 a,则有 a(1+p%)(1-d%)=a,解得d 100p100 p11、已知实数 x、y、z 满足 x+y=5 及 z2=xy+y-9,则 x+2y+3z=_3/36解:由已知条件知(x+1)y=6,(x1)y=z29,所以 x1,y 是 t26tz29=0 的两个实根,方程有实数解,则(6)24(z29)4z20,从而知z=0,解方程得 x+1=3,y=3。所以 x+2y+3z812.气象爱好者孔宗明同学在 x(x 为正整数)天中观察到:有 7 个是雨天;有 5 个下午是晴天;有 6 个上午是晴天;当下午下雨时上午是晴天。则x 等于()A.7B.8C.9
8、D.10解:选C。设全天下雨a 天,上午晴下午雨b 天,上午雨下午晴c 天,全天晴d 天。由题可得关系式 a=0,b+d=6,c+d=5,a+b+c=7,得 2d-a=4,即 d2,故 b=4,c=3,于是 xa+b+c+d=9。13、有编号为、的四条赛艇,其速度依次为每小时v1、v2、v3、v4千米,且满足v1v2v3v40,其中,v水为水流速度(千米/小时),它们在河流中进行追逐赛。规则如下:(1)四条艇在同一起跑线上,同时出发,、是逆流而上,号艇顺流而下。(2)经过 1 小时,、同时掉头,追赶号艇,谁先追上号艇谁为冠军,问冠军为几号?解:出发 1 小时后,、号艇与号艇的距离分别为)(v水
9、 v4)1 vi v4Si(viv水各艇追上号艇的时间为tiviv4v v42v4i1(viv水)(v水v4)viv4viv4对v1v2v3v4有t1 t2 t3,即号艇追上号艇用的时间最小,号是冠军。14.有一水池,池底有泉水不断涌出,要将满池的水抽干,用12 台水泵需 5 小时,用 10台水泵需 7 小时,若要在 2 小时内抽干,至少需水泵几台?解:设开始抽水时满池水的量为x,泉水每小时涌出的水量为y,水泵每小时抽水量为z,2 小时抽干满池水需 n 台水泵,则x 5y 512zx 7y 710zx 2y 2nzx35z由得,代入得:35z 10z 2nzy 5z4/36n 221,故 n
10、的最小整数值为 23。2答:要在 2 小时内抽干满池水,至少需要水泵23 台15.某宾馆一层客房比二层客房少5 间,某旅游团 48 人,若全安排在第一层,每间4 人,房间不够,每间5 人,则有房间住不满;若全安排在第二层,每3 人,房间不够,每间住 4 人,则有房间住不满,该宾馆一层有客房多少间?解:设第一层有客房x间,则第二层有(x 5)间,由题可得4x 48 5x3(x 5)48 4(x 5)由得:4x 483,即9 x 12548 5x3(x 5)48由得:,即7 x 1148 4(x 5)原不等式组的解集为93 x 115整数x的值为x 10。答:一层有客房 10 间。16、某生产小组
11、开展劳动竞赛后,每人一天多做10 个零件,这样8 个人一天做的零件超过 200 个,后来改进技术,每人一天又多做27 个零件,这样他们4 个人一天所做零件就超过劳动竞赛中 8 个人做的零件,问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍?解:设劳动竞赛前每人一天做x个零件由题意8(x 10)2004(x 10 27)8(x 10)解得15 x 17x是整数x16(1637)163.3故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3 倍。5/36初中数学竞赛专项训练(初中数学竞赛专项训练(2 2)(方程应用)一、选择题:1、甲乙两人同时从同一地点出发,相背而行1 小时后他们分别到达各自的终点A 与 B,
12、若仍从原地出发,互换彼此的目的地,则甲在乙到达A 之后 35 分钟到达 B,甲乙的速度之比为()A.35B.43C.45D.34答:D。解:设甲的速度为v1千米/时,乙的速度为v2千米/时,根据题意知,从出发地点到A 的路程为v1千米,到 B 的路程为v2千米,从而有方程:v2v135v2vv3 v4,化简得12(1)7(1)12 0,解得1(1 不合题v1v260v2v2v24 v23意舍去)。应选 D。2、某种产品按质量分为 10 个档次,生产最低档次产品,每件获利润 8 元,每提高一个档次,每件产品利润增加 2 元,用同样工时,最低档次产品每天可生产 60 件,提高一个档次将减少 3 件
13、,如果获利润最大的产品是第R 档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加),那么 R 等于()A.5B.7C.9D.10答:C。解:第 k 档次产品比最低档次产品提高了(k1)个档次,所以每天利润为y 603(k 1)8 2(k 1)6(k 9)8642所以,生产第 9 档次产品获利润最大,每天获利864 元。3、某商店出售某种商品每件可获利m 元,利润为20%(利润售价进价),若这种商品进价的进价提高 25%,而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元,则提价后的利润率为()A.25%B.20%C.16%D.12.5%答:C。解:若这商品原来进价为每件a 元,提价后的利润率为x%,则
14、m a20%解这个方程组,得x 16,即提价后的利润率为 16%。m (1 25%)a x%4、某项工程,甲单独需a 天完成,在甲做了c(ca)天后,剩下工作由乙单独完成还需b 天,若开始就由甲乙两人共同合作,则完成任务需()天abbcA.cB.C.a b cD.a ba b c2a b c答:B。6/36解:设甲乙合作用x天完成。由题意:(1ab1ca)x 1,解得x 胜2 场ab。故选 B。a b c负平进球数23失球数1475、A、B、C 三个足球队举行循环比赛,下表给出部分比赛结果:球队ABC比赛场次2221 场则:A、B 两队比赛时,A 队与 B 队进球数之比为()A.20B.31C
15、.21D.02答:A。解:A 与 B 比赛时,A 胜 2 场,B 胜 0 场,A 与 B 的比为 20。就选 A。6、甲乙两辆汽车进行千米比赛,当甲车到达终点时,乙车距终点还有 a 千米(0a50)现将甲车起跑处从原点后移a 千米,重新开始比赛,那么比赛的结果是()A.甲先到达终点B.乙先到达终点C.甲乙同时到达终点D.确定谁先到与 a 值无关答:A。解:设从起点到终点 S 千米,甲走(s+a)千米时,乙走 x 千米(s a)(s a)a2s:(s a)(s a):xx s sss2a22 0s s即甲走(s a)千米时,a 0s 0asa2乙走(s)千米。甲先到。故选A。s7、一只小船顺流航
16、行在甲、乙两个码头之间需a 小时,逆流航行这段路程需b 小时,那么一木块顺水漂流这段路需()小时2ab2ababA.B.C.abD.a bb ab aa b答:B。解:设小船自身在静水中的速度为v 千米/时,水流速度为x 千米/时,甲乙之间的距离为S 千米,于是有v x SS(b a)SS2ab,v x 求得x 所以。ab2abxb a8、A 的年龄比 B 与 C 的年龄和大 16,A 的年龄的平方比 B 与 C 的年龄和的平方大 1632,那么 A、B、C 的年龄之和是()A.210B.201C.102D.120答:C。7/36解:设 A、B、C 各人的年龄为 A、B、C,则 AB+C+16
17、A2(BC)2+1632由可得(ABC)(ABC)1632,由得ABC16,代入可求得ABC102二、填空题1、甲乙两厂生产同一种产品,都计划把全年的产品销往济南,这样两厂的产品就能占有311,然而实际情况并不理想,甲厂仅有的产品,乙厂仅有的4231产品销到了济南,两厂的产品仅占了济南市场同类产品的,则甲厂该产品的年产量3济南市场同类产品的与乙厂该产品的年产量的比为答:21。解:甲厂该产品的年产量为x,乙厂该产品的年产量为y。3x y则:x:y 2:14,解得x 2y111x y2332、假期学校组织360 名师生外出旅游,某客车出租公司有两种大客车可供选择,甲种客车每辆有 40 个座位,租金
18、400 元;乙种客车每辆有50 个座位,租金480 元,则租用该公司客车最少需用租金元。答:3520。解:因为 9 辆甲种客车可以乘坐 360 人,故最多需要 9 辆客车;又因为 7 辆乙种客车只能乘坐 350 人,故最多需要 8 辆客车。当用 9 辆客车时,显然用 9 辆甲种客车需用租金最少,为40093600 元;当用 8 辆客车时,因为 7 辆甲种客车,1 辆乙种客车只能乘坐 407+50330 人,而6 辆甲种客车,2 辆乙种客车只能乘坐 406+502340 人,5 辆甲种客车,3 辆乙种客车只能乘坐 405+503350 人,4 辆甲种客车,4 辆乙种客车只能乘坐 404+5043
19、60 人,所以用 8 辆客车时最少要用 4 辆乙种客车,显然用 4 辆甲种客车,4 辆乙种客车时需用租金最少为4004+48043520 元。3、时钟在四点与五点之间,在时刻(时针与分针)在同一条直线上?96分或 4 点54分时,两针在同一直线上。1111解:设四点过x分后,两针在同一直线上,答:4 点218/3619x,求得x 21分,21116若两针成 180 度角,则6x 120 x 180,求得x 54分。21196所以在 4 点21分或 4 点54分时,两针在同一直线上。1111若两针重合,则6x 1204、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生,钱先生在三年后再以超出房子
20、原来标价 60%的价格把房子转让给金先生,考虑到三年来物价的总涨幅为40%,则钱先生实际上按%的利率获得了利润(精确到一位小数)答:20.3。解:钱先生购房开支为标价的95%,考虑到物价上涨因素,钱先生转让房子的利率为1 60%1.611 0.203 20.3%95%(1 40%)0.951.45、甲乙两名运动员在长 100 米的游泳池两边同时开始相向游泳,甲游 100 米要 72 秒,乙游 100 米要 60 秒,略去转身时间不计,在12 分钟内二人相遇次。答:共 11 次。100 米606、已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数,甲的年龄是乙的两倍,乙比丙小7 岁,三人的年龄之和是小于 70
21、的质数,且质数的各位数字之和为13,则甲、乙、丙三人的年龄分别是答:30 岁、15 岁、22 岁。解:设甲、乙、丙的年龄分别为x岁、y岁、z岁,则180300420540660720 x 2yyz 7xyz 70且xyz为质数9/36显然x y z是两位数,而 134+95+86+7x y z只能等于 67。由三式构成的方程组,得x 30,y 15,z 22。三、解答题1、某项工程,如果由甲乙两队承包,22天完成,需付 180000 元;由乙、丙两队承包,5363天完成,需付 150000 元;由甲、丙两队承包,2天完成,需付 160000 元,现47在工程由一个队单独承包,在保证一周完成的前
22、提下,哪个队承包费用最少?解:设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成,115xy12x 4114则解得y 6z 10yz15117zx20再设甲、乙、丙单独工作一天,各需u、v、w元,125(u v)180000u 4550015则(v w)150000,解得v 29500w 105004207(wu)160000于是,甲队单独承包费用是455004182000(元),由乙队单独承包费用是295006177000(元),而丙不能在一周内完成,所以,乙队承包费最少。2、甲、乙两汽车零售商(以下分别简称甲、乙)向某品牌汽车生产厂订购一批汽车,甲开始定购的汽车数量是乙所订购数量的3 倍,后来由于某
23、种原因,甲从其所订的汽车中转让给乙 6 辆,在提车时,生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了6 辆,最后甲所购汽车的数量是乙所购的2 倍,试问甲、乙最后所购得的汽车总数最多是多少量?最少是多少辆?解:设甲、乙最后所购得的汽车总数为x辆,在生产厂最后少供的6 辆车中,甲少要了y辆(0 y 6),乙少要了(6 y)辆,则有10/3631(x 6)6 y 2(x 6)6(6 y),整理后得x 1812y。44当y 6时,x最大,为 90;当y 0时,x最小为 18。所以甲、乙购得的汽车总数至多为90 辆,至少为 18 辆。3、8 个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘4 人(不包括司
24、机),其中一辆小汽车在距离火车站15km的地方出现故障,此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘5 人,且这辆车的平均速度是 60km/h,人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案,通过计算说明这 8 个人能够在停止检票前赶到火车站。解:方案一:当小汽车出现故障时,乘这辆车的4 个人下车步行,另一辆车将车内的4个人送到火车站,立即返回接步行的4 个人到火车站。设乘出现故障汽车的 4 个人步行的距离为xkm,根据题意,有x1515 x56030解得x,因此这 8 个人全部到火车站所需时间为1330303555(15)60 小时40(
25、分钟)42(分钟)13135213故此方案可行。方案二:当小汽车出现故障时,乘这辆车的4 个人下车步行,另一辆车将车内的4个人送到某地方后,让他们下车步行,再立即返回接出故障汽车而步行的另外4 个人,使得两批人员最后同时到达车站。分析此方案可知,两批人员步行的距离相同,如图所示,D 为无故障汽车人员下车地点,C 为有故障汽车人员上车地点。因此,设ACBDy,有y15 y 15 2y解得y 2。因此这 8 个人同时到火车站所需时间为560215 237,故此方案可行。(小时)37(分钟)42(分钟)56060ACDB火车站故障点4、某乡镇小学到县城参观,规定汽车从县城出发于上午7 时到达学校,接
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