因式分解的考点十二种方法(已整理).pdf

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1、因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例 1、分解因式 x-2x-x(2003 淮安市中考题)x-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例 2、分解因式 a+4ab+4b(2003 南通市中考题)解：a+4ab+4b=（a+2b）3、分组分解法要把多项式 am+an+bm+bn 分解因式，可以先把

2、它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式 b，从而得到 a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例 3、分解因式 m+5n-mn-5m解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于 mx+px+q 形式的多项式，如果ab=m,cd=q 且 ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例 4、分解因式 7x-19x-6分析：1-37 22-21=-19解：7x-19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能

3、利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例 5、分解因式 x+3x-40解 x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x+)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+

4、b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。例 7、分解因式 2x-x-6x-x+2解：2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x=x 2(x+)-(x+)-6令 y=x+,x 2(x+)-(x+)-6=x 2(y-2)-y-6=x(2y-y-10)=x(y+2)(2y-5)=x(x+2)(2x+-5)=(x+2x+1)(2x-5x+2)=(x+1)(2x-1)(x-2)8、求根法令多项式 f(x)=0,求出其根为 x,x,x,x,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)例 8、分解

5、因式 2x+7x-2x-13x+6解：令 f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0 根为，-3，-2，1则 2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图象法令 y=f(x)，做出函数 y=f(x)的图象，找到函数图象与X 轴的交点 x,x,x,x，则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)例 9、因式分解 x+2x-5x-6解：令 y=x+2x-5x-6作出其图象，见右图，与x 轴交点为-3，-1，2则 x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元，然后

6、把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例 10、分解因式 a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)分析：此题可选定 a 为主元，将其按次数从高到低排列解：a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(b c-c b)=(b-c)a-a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法将 2 或 10 代入 x，求出数 P，将数 P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2 或10 的和与差的形式，将2 或 10 还原成 x，即得因式分解式。例 11、分解因式 x+9x+23x+15解：令 x=2，则 x+9x+23x+1

7、5=8+36+46+15=105将 105 分解成 3 个质因数的积，即 105=357注意到多项式中最高项的系数为1，而 3、5、7 分别为 x+1，x+3，x+5，在 x=2 时的值则 x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例 12、分解因式 x-x-5x-6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设 x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd所以 解得则 x-x

8、-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)第三讲：因式分解一提公因式法第三讲：因式分解一提公因式法【知识要点知识要点】1 1、分解因式的概念、分解因式的概念把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。2 2、分解因式与整式乘法的关系、分解因式与整式乘法的关系分解因式与整式乘法是的恒等变形。3 3分解因式的一些注意点分解因式的一些注意点（1）结果应该是的形式；（2）必须分解到每个因式都不能为止；（3）如果结果有相同的因式，必须写成的形式。4 4公因式公因式多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的.5.5.提公因式法提公因式法如果多项式的各项有公因式,

9、可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法.6.6.确定公因式的方法确定公因式的方法(1)系数公因式:应取多项式中各项系数为;(2)字母公因式:应取多项式中各项字母为.重点辨析重点辨析提取公因式时的注意点提取公因式时的注意点多项式的形式多项式的首项系数为负数公因式是多项式注意点(1)首项为负数,一般要提出“-”号;(2)在括号内的多项式的各项都要变号.如 ma mb mc m(a b c)公 因 式 是 多 项 式 时,可 把 这 个 因 式 作 为 一 个 整 体 提 出,如3m(a b)2n(a b)(a b)(3m 2n)多项式的某一项恰是

10、公因式底数需调整为同底数幂提公因式后,括号已见分晓有同类项提 公 因 式 后,如 果 括 号 内 有 同 类 项 必 须 合 并 同 类 项,如提公因式后,括号内的项数,不增不减,特殊是某一项为 1,千万不要漏掉此项,如ma mb m m(a b 1)(a b)2(b a)3可调整为:(a b)2(a b)3或(b a)2(b a)3(a b)2b(a b)(a b)(a b b)(a b)(a 2b)【学堂练习学堂练习】1.下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是?1 (1)x2 x x2(1x);(2)a2 2b (a 5)(a 5)1 (3)(m n)(m n)m2 n2 (

11、4)x2 4x 4 (x 2)2 (5)3x2 2xy x x(3x 2y)(6)(x 3)(x 1)x2 2x 32把下列各式分解因式（1）9a26ab 3a（2）4x4y 6x2y3 2xy4经典例题】例 1、把下列各式分解因式（1）2a(x 2y)3b(x 2y)（22a(x 2y)3b(2y x)4c(x 2y)（3）2a(x 2y)2b(2y x)3（4）15b(3a b)2 25(b 3a)3（5）(x y)23(y x)3 2(y x)4（6(a x)m1(b x)n1(a x)m(b x)n例 2利用分解因式计算（1）2.91234.511.71234.54.61234.5（2

12、）299 2982100 299【）例 3已知a b 例 4、利用因式分解说明：367612能被 140 整除。2,ab 2，求代数式a2b 2a2b2 ab2的值。3【随堂练习】1下列各式从左到右的变形中是因式分解的是（）A、(a 1)(a b)a2 a 2C、x y (x y)(x y)B、x211(x)(x)2yyyD、m(m 4)4 (m 2)22已知二次三项式2x2bx c分解因式2(x 3)(x 1)，则b,c的值为（）A、b 3,c 1B、b 6,c 2C、b 6,c 4D、b 4,c 63下列各式的公因式是a的是（）A、ax ay 5B、4ma 6ma2C、5a210abD、a

13、2 4a ma4将3a(x y)b(x y)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是（）A、3a bB、3(x y)C、x yD、3a b5把多项式m2(a 2)m(2 a)分解因式的结果为（）A、(a 2)(m2 m)B、(a 2)(m2 m)C、m(a 2)(m 1)m(a 2)(m 1)D、6多项式2x2y xy的公因式是；多项式是6a2b39ab2c3的公因式是。7分解因式：xy xy2=。a(m n)3b(n m)3(m n)3（）。8已知：a b 133,ab 1000。a2b ab2的值为。9把下列各式分解因式（1）2a2b 6a2b2 2ab2（3）a(x y)b(x y)（4）

14、2(y x)2 x(x y)（2）3a2bc212a3b2c29a2bc3【课后强化课后强化】13x2 mx 4分解因式为(3x 4)(x 1)，则m的值为。23xy 6mxy 9nxy 3xy（）a(x a)b(a x)c(x a)。3把下列各式分解因式（1）3x2y 6xy212xyz（3）2(x y)3 4(y x)2（4）a(a b)(a b)a(a b)2（2）3x2(x y)6x(y x)第四讲：因式分解公式法、分组分解法第四讲：因式分解公式法、分组分解法【知识要点知识要点】1 1乘法公式逆变形乘法公式逆变形（1 1）平方差公式：）平方差公式：a b (a b)(a b)（2 2）

15、完全平方公式：）完全平方公式：a 2ab b (a b),a 2ab b (a b)222222222.常见的两个二项式幂的变号规律：(a b)2n(b a)2n；(a b)2n1(b a)2n1（n为正整数）3把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；（3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解方法。【学堂练习学堂练习】1、如果9x kx 25是一个完全平方式，那么k的值是（）A15B15C30D302、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（）22222A、m 4B、x yC、x

16、 y 1D、m am a2223、把下列各式分解因式：（1）4a b（4）m 12m 36（5）x xy 22222（2）169a（3）16x y 1222212y（6）x2 2xy y2442（7）x y ax ay（8）4x a 6a9【经典例题经典例题】例 1用公式法公式法分解因式：（1）(a b)4a b（3）a b 4ab 4（4）x4 8x2 162222222（2）(x 2)(y 3)22(5)16(x 1)25(x 2)(6)(x x)6(x x)922222例 2用分组分解法分组分解法分解因式（1）4ax4ay x y（3）a2b2 4a 4b例 3 用合适的方法合适的方法分

17、解因式：（1）5m2a45m2b4（3）4a2(m n)b2(n m)例 4利用分解因式计算：（1）1.22291.33242）a298ab16b24）a2b2c2d22ad 2bc2）12m2n212m2n 3m24）4m29(m n)212m(m n)（2）2022 202196982（例 5若a b 3,ab 2,求a a b ab b值。3223【随堂练习随堂练习】1对于多项式x x x 1有如下四种分组方法：其中分组合理的是（）(x x)(x 1)(x x)(x 1)(x x x)1x(x x 1)ABCD2.ABC 的三边满足 a4+b2c2-a2c2-b4=0，则ABC 的形状是

18、_.3.已知a b 2，利用分解因式，求代数式532532523532532121a abb2。224、分解下列因式：（1）3x312x236x（2）(x 1)4x（3）m 2n mn 2m（4）a22abb2ab22225、计算：（1）2003 200220042552 452（2）299 1981【课后强化课后强化】分解因式分解因式（1）8x 222（4）(x 1)4x（5）x y x 2xy y2222（2）16a 9b（3）a b ab 2a b2232第五讲：因式分解综合复习第五讲：因式分解综合复习【考点分析考点分析】考点考点 1 1：分解因式的意义：分解因式的意义1、下列从左到右的

19、变形,属于分解因式的是()A.(x+3)(x2)=x2+x6B.axay+1=a(xy)+1C.x21112=(x+)(x)D.3x+3x=3x(x+1)2yyy2、若多项式 x2+ax+b 可分解为(x+1)(x2),试求 a、b 的值。考点考点 2 2：提公因式法分解因式：提公因式法分解因式1多项式 6a3b23a2b221a2b3分解因式时，应提取的公因式是()A.3a2bB.3ab2C.3a3b2D.3a2b22把多项式 2(x2)2(2x)3分解因式的结果是（）A.(x2)2(4x)B.x(x2)2C.x(x2)2D.(x2)2(2x)3下列各组代数式没有公因式的是（）A5a5b 和

20、 baBax+1 和 1+ayC(ab)2和a+bDa2b2和(a+b)(a+1)4、分解下列因式（1）8x2n+2yn+2+12xn+1y2n+3（2）x2y(xy)+2xy(yx)（3）16（xy）224xy（yx）（4）27x23x y9yy 3x2考点考点 3 3：运用公式法分解因式：运用公式法分解因式1如果9x kx 25是一个完全平方式，那么 k 的值是（）A、15 B、5 C、30 D 302.（2009 年北京）分解因式：a214ab 49b2=。（2005 年上海市）分解因式：m416n4=。3、分解下列因式：1（1）m23n2（2）a2b214ab 493（3）9a b16

21、a b（4）9a b 24a b162222考点考点 4 4：分组分解法分解因式：分组分解法分解因式(1)4x2 2x y2 y(2)4m29n2 4m 1（3）(1a2)(1b2)4ab（4）a2 4a 4c2考点考点 5 5：综合运用提公因式法、公式法分解因式：综合运用提公因式法、公式法分解因式1、（1）（2009 年北京）分解因式：4m3-m=；（2）（2008 年上海）分解因式：8x2y-8xy+2y=。2、分解下列因式：（1）8a42a2（2）9x2m n y2n m（3）(a b)24m2(ba)2（4）a2(16x y 1)b2(y 116x)考点考点 6 6：分解因式的应用：分

22、解因式的应用1、利用因式分解方法计算：（1）4.4513.74450.88944.50.26(2)8002160079879822、已知ba 6,ab 7，求a bab的值。223、ABC 的三边满足 a2-2bc=c2-2ab，则ABC 是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、锐角三角形4、若a为整数，证明(2a 1)21能被 8 整除。【随堂小测】1、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）(A)(a+3)(a-3)=a2-9(B)x2+x-5=(x-2)(x+3)+11(C)a2b+ab2=ab(a+b)(D)x2+1=x(x+)x2、把多项式 m2(a-2)+m(2-a

23、)分解因式等于（）(A)(a-2)(m2+m)(B)(a-2)(m2-m)(C)m(a-2)(m-1)(D)m(a-2)(m+1)3、下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）(A)-a2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2(D)16m4-25n2p24、下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）m2n222222n 1(A)m 1(B)x 2xy y(C)a 14ab 49b(D)4935、把多项式p2a 1 p1 a分解因式的结果是（）A、a 1p2 pB、a 1p2 pC、pa 1p 1D、pa 1p 16、已知x2 y2 2x 6y 10 0,则x y（）A、2B、2C、4D、47、若三角形的三边长分别为a、b、c，满足a2b a2c b2c b3 0，则这个三角形是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、三角形的形状不确定6、已知 x+y=6，xy=4，则 x2y+xy2的值为。7、分解因式：m3-4m=。8、若 ax2+24x+b=(mx-3)2，则 a=，b=，m=。9、16（xy）224xy（yx）=8（xy）（）10、分解下列因式：（1）24x3y 12x2y328xy4（2）(a21)2 4a211、若a b 3,ab 2,求a3 a2b ab2b3值。