2019高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线学案.doc

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1、1第第 2 2 讲讲 椭圆、双曲线、抛物线椭圆、双曲线、抛物线考情考向分析 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)热点一 圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2ab0)的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过x2 a2y2 b2F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，AF1B的周长为 4，且直线AM与AN的斜率之3积为 ，则C的方程为( )2 3A.1 B.1x2 12y2 8x2 12y2 4

2、C.1 D.y21x2 3y2 2x2 3答案 C解析 由AF1B的周长为 4，可知|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，33解得a，则M，N(，0)3( 3，0)3设点A(x0，y0)(x0)，3由直线AM与AN的斜率之积为 ，2 3可得 ，y0x0 3y0x0 32 3即y (x3)，2 02 32 02又1，所以yb2，x2 0 3y2 0 b22 0(1x2 0 3)由解得b22.所以C的方程为1.x2 3y2 2(2)已知以圆C：(x1)2y24 的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x28y上任意一点，BM与直线y2 垂直，垂足为M，则|BM|AB

3、|的最大值为( )A1 B2 C1 D8答案 A解析 因为圆C：(x1)2y24 的圆心为C(1,0)，所以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y24x，由Error!解得A(1,2)抛物线C2：x28y的焦点为F(0,2)，准线方程为y2，即有|BM|AB|BF|AB|AF|1，当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值为 1.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定跟踪演练 1 (1)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点

4、分别为F1，F2，以|F1F2|为x2 a2y2 b2直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为( )(3，4)A.1 B.1x2 16y2 9x2 3y2 4C.1 D.1x2 4y2 3x2 9y2 16答案 D解析 点(3,4)在以|F1F2|为直径的圆上，c5，可得a2b225.又点(3,4)在双曲线的渐近线yx上，b a .b a4 33由联立，解得a3，b4，可得双曲线的方程为1.x2 9y2 16(2)(2018宁波模拟)已知双曲线C的渐近线方程是y2x，右焦点F(3,0)，则双曲线2C的方程为_，又若点N(0,6)，M是双曲线C的左支上一点，则FMN周长的最小值为_答

5、案 x21 62y2 85解析 因为点F(3,0)为双曲线的右焦点，则不妨设双曲线的方程为1(a0，b0)，x2 a2y2 b2所以双曲线的渐近线方程为yx2x，b a2即 2，b a2又因为a2b232，联立，解得a1，b2，所以双曲线的方程为x21，设双曲线的左焦点为2y2 8F，则FMN的周长为|NF|MN|MF|NF|MN|2a|MF|NF|2a|NF|2|NF|2a62，5当且仅当点M为直线NF与双曲线的左支的交点时，等号成立，所以FMN的周长的最小值为 62.5热点二 圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e .c a1(ba)

6、2(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e .c a1(ba)22双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的x2 a2y2 b2b a关系例 2 (1)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆x2 a2y2 b2E于A，B两点，若AF1F2的面积是BF1F2面积的三倍，cosAF2B ，则椭圆E的离心率3 5为( )A. B. C. D.1 22 33222答案 D4解析 设|F1B|k，(k 0)依题意可得|AF1|3k，|AB|4k，|AF2|2a3k，|BF2|2ak.cosAF2B ，3 5在ABF2中，由余弦定理可得|AB

7、|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，(4k)2(2a3k)2(2ak)2 (2a3k)(2ak)，6 5化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k0，a3k，|AF2|AF1|3k，|BF2|5k，|BF2|2|AF2|2|AB|2，AF1AF2，AF1F2是等腰直角三角形ca，椭圆的离心率e .22c a22(2)已知双曲线M：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，2c.若双曲线x2 a2y2 b2|F1F2|M的右支上存在点P，使，则双曲线M的离心率的取值范围为( )a sinPF1F23c sinPF2F1A. B.(1，2 73)(1，2 73

8、C(1,2) D.(1，2答案 A解析 根据正弦定理可知，sinPF1F2 sinPF2F1|PF2| |PF1|所以，即|PF2|PF1|，|PF2| |PF1|a 3ca 3c2a，|PF1|PF2|所以2a，解得，(1a 3c)|PF1|PF1|6ac 3ca而ac，即ac，|PF1|6ac 3ca整理得 3e24e11，所以 10，b0)的一条渐近线x2 a2y2 b2截椭圆y21 所得弦长为，则此双曲线的离心率等于( )x2 44 33A. B. C. D.23626答案 B解析 双曲线1 的渐近线方程为yx，由椭圆的对称性不妨取渐近线为x2 a2y2 b2b ayx，设渐近线与椭圆

9、的交点为，b a(x0，b ax0)则有Error!解得2，则c2a2b23a2，则此双曲线的离心率e ，故选 B.b2 a2c a3(2)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为 2c，直线l过点且与双曲线C的x2 a2y2 b2(2 3a，0)一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|c，则双曲线C的渐近线方程为( )4 23Ayx Byx23Cy2x Dy4x答案 B解析 方法一 由题意可设渐近线方程为yx，b a则直线l的斜率kl ，a b直线l的方程为y，a b(x2 3a)整理可得axbya20.2 3焦点(c,0)到直线l的距离d，

10、|ac2 3a2|a2b2|ac2 3a2| c则弦长为 22c，c2d2c2(ac23a2)2 c24 236整理可得c49a2c212a3c4a40，即e49e212e40，分解因式得0.(e1)(e2)(e23e2)又双曲线的离心率e1，则e 2，c a所以 ，b ac2a2 a2(c a)213所以双曲线C的渐近线方程为yx.3方法二 圆心到直线l的距离为 ，c2(2 23c)2c 3 ，c23ac2a20，|ac2 3a2| cc 3c2a，ba，渐近线方程为yx.33热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可

11、得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数例 3 (2018浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的离心率为 ，其右顶点A到上顶点的距离为，过点A的直线x2 a2y2 b21 27l：yk(xa)(k0，x2 0 4即mx00.3所以点D的纵坐标yD，x0 2mx2 06 4 3故46.|OB| |OD|yB| |yD|3真题体验1(2017北京)若双曲线x21 的离心率为，则实数m_.y2 m3答案 2解析 由双曲线的标

12、准方程知，9a1，b2m，c，1m故双曲线的离心率e ，c a1m31m3，解得m2.2(2017全国改编)若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)x2 a2y2 b22y24 所截得的弦长为 2，则双曲线C的离心率为_答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为yx，b a圆的圆心为(2,0)，半径为 2，由弦长为 2，得圆心到渐近线的距离为.22123由点到直线的距离公式，得，解得b23a2.所以双曲线C的离心率|2b|a2b23e 2.c ac2 a21b2a23(2017全国改编)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在3x轴上方)，l为C的准线，点N在l上

13、且MNl，则M到直线NF的距离为_答案 23解析 抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由直线方程的点斜式，可得直线MF的方程为y(x1)3联立方程组Error!解得Error! 或Error!点M在x轴的上方，M(3,2)3MNl，N(1,2)3|NF|4，11202 32|MF|MN|3(1)4.MNF是边长为 4 的等边三角形点M到直线NF的距离为 2.3104(2017山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为Fx2 a2y2 b2的抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_答案 yx22解析

14、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!消去x，得a2y22pb2ya2b20，y1y2.2pb2 a2又|AF|BF|4|OF|，y1 y2 4 ，p 2p 2p 2即y1y2p，p，即 ，2pb2 a2b2 a21 2 ，b a22双曲线的渐近线方程为yx.22押题预测1已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的x2 a2y2 b2垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且，则该双曲线的离心率为( )AF21 3F2BA. B. C. D262523押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点答案 A解析

15、由F2(c,0)到渐近线yx的距离为db，即b，则3b.b abca2b2|AF2|BF2|在AF2O中，c，|OA|a，|OF2|tanF2OA ，b a11tanAOB，4b a2 b a1(ba)2化简可得a22b2，即c2a2b2a2，3 2即e ，故选 A.c a622已知椭圆C：1(ab0)的离心率为 ，且点在该椭圆上x2 a2y2 b21 2(1，3 2)(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AOB的面积为，求圆6 27心在原点O且与直线l相切的圆的方程押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应

16、给予充分关注解 (1)由题意可得e ，c a1 2又a2b2c2，所以b2a2.3 4因为椭圆C经过点，(1，3 2)所以1，解得a24，所以b23，1 a29 4 3 4a2故椭圆C的方程为1.x2 4y2 3(2)由(1)知F1(1,0)，设直线l的方程为xty1，由Error!消去x，得(43t2)y26ty90，显然0 恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，6t 43t29 43t2所以|y1y2|y1y224y1y2，36t243t2236 43t212t2143t212所以SAOB |F1O|y1y2|，1 26t2143t26 27化简得 18t4t

17、2170，即(18t217)(t21)0，解得t1，t(舍去)2 12 217 18又圆O的半径r，|0t 01|1t211t2所以r，故圆O的方程为x2y2 .221 2A A 组组 专题通关专题通关1(2017全国)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且x2 a2y2 b252与椭圆1 有公共焦点，则C的方程为( )x2 12y2 3A.1 B.1x2 8y2 10x2 4y2 5C.1 D.1x2 5y2 4x2 4y2 3答案 B解析 由yx，可得 .52b a52由椭圆1 的焦点为(3,0)，(3,0)，x2 12y2 3可得a2b29.由可得a24，b25.所以C

18、的方程为1.故选 B.x2 4y2 52(2018嘉兴市、丽水市教学测试)若双曲线C：x2y21 的右顶点为A，过点A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且2，则直线l的斜率为( )PAAQA B1 32 3C2 D3答案 D解析 由题意得双曲线的渐近线方程为xy0，点A的坐标为(1,0)当直线l的斜率不13存在或斜率为1 或 0 时，显然不符合题意；当直线l的斜率存在且不等于1 和 0 时，设直线l的方程为yk(x1)，分别与双曲线的两条渐近线联立，解得Error!或Error!则由2，得yP2yQ，PAAQ即2或2，k k1(k 1k)k 1kk k1解得k3 或k3，故选 D.

19、3(2018全国)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直x2 3线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|等于( )A. B3 C2 D43 23答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y x.13设两渐近线的夹角为 2，则有 tan ，1333所以30.所以MON260.又OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MNON，如图所示在 RtONF中，|OF|2，则|ON|.3则在 RtOMN中，|MN|ON|tan 2tan 603.故选 B.34(2018浙江省衢州二中模拟)设椭圆E：1(ab0)的一个焦点为F(2,0)，点x2

20、 a2y2 b2A(2,1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|PF|8，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A. B.4 9，4 7(4 9，4 7)14C. D.2 9，2 7)2 9，2 7答案 A解析 设椭圆的左焦点为F2(2,0)，则|PA|AF2|PF2|PA|AF2|，即|PA|1|PF2|PA|1，当且仅当P，A，F2三点共线时，等号成立，则2a|PF|PF2|7,9，则椭圆的离心率e ，故选 A.c a4 9，4 75抛物线C：y28x的焦点F的坐标为_，若点P(，m)在抛物线C上，则线段PF3的长度为_答案 (2,0) 23解析 抛物线y28x的焦点坐标为(2,

21、0)，则抛物线的准线方程为x2，因为点P(，m)在3抛物线上，所以PF的长度等于点P(，m)到抛物线的准线的距离，即|PF|2.336(2018北京)已知椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条x2 a2y2 b2x2 m2y2 n2渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_答案 1 23解析 方法一 双曲线N的渐近线方程为yx，则 tan 60，双曲线N的离n mn m3心率e1满足e14，e12.2 1n2 m2由Error!得x2.a2b2 3a2b2如图，设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|2xc，

22、4x2c2.a2b2，得 3a46a2b2b40，4a2b2 3a2b2320，解得23.6b2 a2(b2 a2)b2 a23椭圆M的离心率e2满足e142.2 2b2 a23e21.315方法二 双曲线N的渐近线方程为yx，n m则 tan 60.n m3又c12m，双曲线N的离心率为2.m2n2c1 m如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形的边长为 1，则|FC|2c22，即c21.又E为椭圆M上一点，则|EF|EC|2a，即 12a，a.31 32椭圆M的离心率为1.c2 a21 337已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B

23、两点，且直线l与圆x2pxy2p20 交于C，D两点，若|AB|3|CD|，则直线l的斜率为3 4_答案 22解析 由题意得F，由x2pxy2p20，(p 2，0)3 4配方得2y2p2，(xp 2)所以直线l过圆心，可得|CD|2p，(p 2，0)若直线l的斜率不存在，则l：x ，p 2|AB|2p，|CD|2p，不符合题意，直线l的斜率存在可设直线l的方程为yk，(xp 2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立Error!化为x2x0，(p2p k2)p2 4所以x1x2p，2p k2所以|AB|x1x2p2p，2p k2由|AB|3|CD|，所以 2p6p，2p k216可得k2 ，

24、所以k.1 2228已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值之和为 1，则椭圆C的离心率的取值范围是_答案 32，1)解析 不妨设椭圆C的方程为1(ab0)，P(x，y)，A(x1，y1)，则x2 a2y2 b2B，(x1，y1)所以1，1，x2 a2y2 b2x2 1 a2y2 1 b2两式相减得，所以，x2x2 1 a2y2y2 1 b2y2y2 1 x2x2 1b2 a2所以直线PA，PB斜率的绝对值之和为2，|yy1 xx1| |yy1 xx1|y2y2 1 x2x2 1|2b a由题意得1，所以a24b24a24c2，即 3a24c2

25、，2b a所以e2 ，又因为 00)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解 (1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.2k24 k2所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).4k24 k2由题意知8，解得k1(舍去)或k1.4k24 k2因此l的方程为xy10.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则Erro

26、r!17解得Error!或Error!因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.10(2018天津)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为x2 a2y2 b2，点A的坐标为(b,0)，且|FB|AB|6.532(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若|AQ| |PQ|sinAOQ(O为原点)，求k的值5 24解 (1)设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ，c2 a25 9又由a2b2c2，可得 2a3b.由已知可得|FB|a，|AB|b，2由|FB|AB|6，可得ab6，从而a

27、3，b2.2所以椭圆的方程为1.x2 9y2 4(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)由已知有y1y20，故|PQ|sinAOQy1y2.又因为|AQ|，而OAB，y2 sinOAB 4所以|AQ|y2.2由sinAOQ，可得 5y19y2.|AQ| |PQ|5 24由方程组Error!消去x，可得y1 .6k9k24由题意求得直线AB的方程为xy20，由方程组Error!消去x，可得y2.2k k1由 5y19y2，可得 5(k1)3，两边平方，9k24整理得 56k250k110，解得k 或k.1 211 28所以k的值为 或.1 211 28B B 组组 能力提高

28、能力提高112000 多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线已知圆锥的高为PH，AB为地面直径，顶角为 2，那么不过顶点P的平面18与PH夹角a时，截口曲线为椭圆；与PH夹角a时，截口曲线为抛物线；与PH 2夹角a0 时，截口曲线为双曲线如图，底面内的直线AMAB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴那么当C在线段PB上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )A圆的一部分 B椭圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部分答案 D解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a，

29、但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a，即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离，且点F不在定直线AM上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选 D.12已知直线MN过椭圆y21 的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点Ox2 2与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则_.|PQ|2|MN|答案 22解析 方法一 特殊化，设MNx轴，则，24, 2.|MN|2b2 a222|PQ|PQ|2|MN|422方法二 由题意知F(1,0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|，|PQ|2b2，2b2 a2则2；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，|PQ

30、|2 |MN|2则MN方程为yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程Error!整理得(2k21)x24k2x2k220.由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，4k2 2k212k22 2k21则|MN|.1k2x1x224x1x22 2k212k2119直线PQ的方程为ykx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则Error!解得x2，y2，2 12k22k2 12k2则|OP|2x2y2，又|PQ|2|OP|，21k212k2所以|PQ|24|OP|2，2.81k212k2|PQ|2 |MN|213(2018浙江省杭州二中月考)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1

31、，F2，x2 a2y2 b2过点F1且斜率为 1 的直线与x2y21 相切，点P是椭圆上的点，G，I分别是F1PF2的重心与内心，且，则椭圆的方程为_GIF1F2答案 1x2 8y2 6解析 过椭圆的左焦点F1且斜率为 1 的直线的方程为xyc0，因为其与圆x2y21相切，所以1，解得c.设点P的坐标为(x0，y0)，则F1PF2的重心G的坐c12122标为，即G，又因为，所以GI平行于x轴，则(cx0c3，y03)(x0 3，y03)GIF1F2F1PF2的内心I的纵坐标为，则F1PF2的内切圆的半径为，则F1PF2的面积为 y0 3|y0| 31 2(|F1F2|PF1|PF2|) |y0

32、|F1F2|，即 (2c2a) |y0|2c，|y0| 31 21 2|y0| 31 2化简得a2c2，则b2a2c26，所以椭圆的方程为1.2x2 8y2 614(2018浙江)已知点P(0,1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足2，则当x2 4APPBm_时，点B横坐标的绝对值最大答案 5解析 方法一 如图，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由于椭圆具有对称性，不妨设点B在第一象限，则xB0，yB0.P(0,1)，2，APPB(xA,1yA)2(xB，yB1)xA2xB，即xA2xB.20设直线AB：ykx1(k0)将ykx1 代入y2m，x2 4得(14k2)x28kx44m0.(

33、*)xAxBxB，8k 14k2xB2，8k 14k28 1 k4k82 1 k 4k当且仅当 4k，即k 时，xB取到最大值 2，1 k1 2此时方程(*)化为x22x22m0，xAxB2x8，即 22m8，解得m5.2B当点B在其他象限时，同理可解方法二 设直线AB：ykx1(k0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)由P(0,1)，2，得xA2xB.APPB由Error!得(14k2)x28kx44m0，xAxBxB，xAxB2x.消去xB，得m1.8k 4k212B44m 4k2132k2 4k21|xB|2，8|k| 4k2184|k|1 |k|当且仅当|k| 时，|xB|max2，此时 m5.12