全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案.pdf

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1、全全国国高高中中数数学学联联赛赛江江西西省省预预赛赛试试题题及及参参考考答答案案 Modified by JACK on the afternoon of December 26,202020172017 年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案一、填空题一、填空题1、化简解：由2、若 sinx+cosx=(sin x cosx)211,解:sin xcosx 24sin3x cos3x (sin x cos x)33sin xcosx(sin x cosx)23 25 248825 2,sin3x cos3x.2811 2 2 112 3 3 21

2、3 4 4 312016 2017 2017 2016 112017.1k k 1(k 1)k1k(k 1).(k 1k)k 1kk(k 1)1k1k 1可得.3、体积为 1 的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是 3解：反向考虑，边长为 a 的正方体（体积为 a3）,其最大内接正四面体顶点，由互不共棱的a3a31，则a3 3.正方体顶点组成，其体积为,令334、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率e 12或22x2y2解：建立坐标系，设椭圆的方程为221(a b 0),则顶点A1,2(a,0),B1,2(b,0),焦ab点F1,2(c,0)

3、，准线方程为l1,2a2,其中c a2b2,据对称性，只要考虑两种情况：ca2a2c1上，2c,得e；（1）、A1(a,0)关于F2(c,0)的对称点在右准线x 由 a cca2（2）、a2c2a2 2c,得e.B1(0,b)关于F2(c,0)的对称点在右准线x 上，由横坐标0ca2c5、函数y 4x 3 4x21的最小值是5解：首先，y 4x 3 4x21 4x 6x 0.又由(y 4x)2 9(4x21),即20 x28xy (9 y2)0,据判别式 64y280(9 y2)0，即y2 5,因 y0,则y 5,此值在x 15时取得（也可以令.x 1tan求解）.26、设(1 x x)a0

4、a1x a2x a2nx，则a2 a4 a6 a2n2n22n3n12解：令 x=0，得 a0=1,再令 x=1，得 a0+a1+a2+a2n=3n,又令 x=-1，得 a0-a1+a2+a2n=1，所以a2 a4 a6 a2n3n1.21 1 2 1 2 37、将全体真分数排成这样的一个数列an：,，排序方法是：自左至右，2 3 3 4 4 4先将分母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列，则其第 2017 项a2017165解：按分母分段，分母为 k+1的分数有 k 个，因第 64 段，则a2017应是分母为 65的第一数，即63646465 2016,2080，因 20

5、17属于221.658、将各位数字和为 10 的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列an，若an 2017，则 n=120.解：数字和为 10 的两位数ab有 9 个；数字和为 10 的三位数abc：首位数字 a 可取 1，2，9 中任意一个值，当 a 取定后，b 可取 0，1，10-a 这 11-a 个数字的任意一个值，而在 a,b 确定后，c 的值就唯一确定，因此三位数的个数是(11 a)54；数字和为a12 55，数字和为 10 的四位10 的四位数1abc：a+b+c=9 的非负整数解（a,b,c）的个数是C119数2abc共有 2 个即 2008 和 2017，故在 1，2，201

6、7 中，满足条件的数有9+54+55+2=120 个.二、解答题（共 70 分）9、（本题满分 15 分）数列an，bn满足：a1 b11，an1 an 2bn，bn1 an bn(n 1)证明：（1）、222222证明：an1 2bn1(an 2bn)2(an bn)(an 2bn)由此递推得2222n1an 2bn(an1 2bn1)2 2(an1 bn1)2(an(a12 2b12)(1)n1 2bn1)(1)a2n1aaa2，2n2；（2）、n12 n2b2n1b2nbn1bn2222因此a2n 2b2n 0,a2n1 2b2n1 0即有a2n1a2,2n2,b2n1b2n2222 据

7、得an2b a 2b1n1nn，由条件知，an,bn,皆为严格递增的正整数数列，an1 an 0,bn1 bn 0,所以1an12bn11an2bn1bn11bn将相乘得an1a2 n2bn1bn10、（本题满分 15 分）若小于 2017 的三个互异正整数a，b，c使得a3b3，b3c3，c3 a3均是 2017 的倍数；证明：a2b2 c2必是a b c的倍数证：因2017(a3b3),即2017(a b（；又由0 a b 2017,注意 2017 为质)a2 abb2）数，则 a-b与 2017 互质，因此2017（a2b2 ab）同理有2017（b2c2bc），根据，2017（2017

8、（a2c2ac）a2c2ac）（b2c2bc），即，从而2017（a bc），因正整数 a,b,c皆小于 2017，得2017(a b（)a bc）a+b+c3*2017,因此 a+b+c=2017 或 2*2017.又注意a b c与a2b2 c2同奇偶，故只要证，将改写为2017（，同2017（a2b2c2）a a bc）b2ac）,则知2017（b2ac）理有2017（a2bc），2017（c2ab），将式相加，得2017（于3 a2b2c2）是2017（a2b2c2），从而(a bc)（a2b2c2）.11、（本题满分 20 分）设P=12，22，32，是由全体正整数的平方所构成的集合

9、；如果数n能够表示为集合P中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称数n具有P结构证明：每个自然数n都具有P结构证明：首先，我们可以将前十个自然数分别表示为：再考虑区间32,42中的数，其中除了 16=42之外，其余的数皆可表示为n 42 k(1 k 6)形式；并且注意到，在 1，2，3，4，5，6 中每个数的结构表示中，凡是表示式中 42参与时，42皆以正项形式出现，于是由n 42 k(1 k 6)可知，此时 42项便抵消（不会出现242的项）；因此，区间32,42中的数皆具有 P 结构表示，也就是 42的每个数都具有 P结构表示，且其中最大项至多为 42，而凡是含有 42的表示中，42皆以

10、正项形式出现，下面使用归纳法，假若已证得 m2的每个数都具有 P 结构表示，且其中最大项至多为m2，而凡是含有m2表示中，m2皆以正项形式出现（其中m 4），对于区间m2,(m 1)2中的数，除了最大数可以直接表示为(m 1)2之外，其余元素 n 皆可表示为：n (m 1)2 k(1 k 2m)，由归纳假设，m 4,且2m m2，并且此 k 具有 P 结构表示，其中每项皆 m2，因此数 n 具有 P 结构表示，故由归纳法，即知所证的结论成立.12、（本题满分 20 分）如图，O1，O2相交于A，B两点，CD是经过点A的一条线段，其中，点C，D分别在O1、O2上，过线段CD上的任意一点K，作KM

11、/BD，KN/BC，点M，N分别在BC，BD上，又向BCD形外方向，作ME BC，BF BD，其中E在O1上，F在O2上；证明：KE KF证明：设O1、O2的半径分别为r1,r2，由于ABEC 共圆，ABFD 共圆，得BC 2r1simBAC,BD 2r2sinBAD,而BAC BAD 180,所以BCr1,于是BDr2BO1CBO2D，根据平行关系得CMKKNDCBD,所以MCNKBCr1,且四边形KMBN为平行四边形，BN=MK,延长垂线 FN 交O2于F1,因MKNDBDr2BCr1,则O1上优弧 BEC 与O2上 BD 所对的优弧DF1B的度数相等，又因 M,N 分别是两BDr2圆对应弦 CB、BD 上的点，且CMCMBCr1,所以CMENF1B,BMENF1D,BNMKBDr2从而BECDF1B,由BEMNF1DFBN,得EMBN,注意 BM=KN,BN=KM,上式成为BMFNEMKM,根据CMKKND,得KNFNCMK KND,而EMC FND 90,所以CMK KNF,EMKFNK,而EM BC,FN BD,又据条件KM/BD,KN/BC,所以EMKN,FN KM,由此KE KF.