必修2-第三章-直线与方程-知识点及经典例题.pdf

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1、数学必修数学必修 2 2 第三章第三章 直线与方程练习直线与方程练习知识点知识点（1 1）直线的倾斜角）直线的倾斜角定义定义：x 轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特殊地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是0180性质性质：直线的倾斜角=90时，斜率不存在，即直线与 y 轴平行或者重合.当=0时，斜率 k=0；当090时，斜率k 0，随着 的增大，斜率 k 也增大；当90180时，斜率k 0，随着 的增大，斜率 k 也增大.（2 2）直线的斜率）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

2、直线的斜率常用k 表示。即k tan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当 0,90时，k 0；当 90,180过两点的直线的斜率公式：k 时，k 0；当 90时，k不存在。y2 y1(x1 x2)x2 x1留意下面四点：(1)当x1 x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1,P2的依次无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3 3）直线方程）直线方程点斜式：点斜式：y y1 k(x x1)直线斜率 k，且过点x1,y1留意：留意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线

3、的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示 但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：斜截式：y kx b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为by y1x x1两点式：两点式：（x1 x2,y1 y2）直线两点x1,y1，x2,y2y2 y1x2 x1截矩式：截矩式：xy1ab其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴,y轴的截距截距分别为a,b。一般式：一般式：Ax By C 0（A，B 不全为不全为 0 0）1 各式的适用范围 2 特殊的方程如：留意：留意：平行于 x 轴的直线：y b（b 为常数）；平行于 y 轴的直线：

4、x a（a 为常数）；（5 5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系（一）平行直线系平行于已知直线A0 x B0y C0 0（A0,B0是不全为 0 的常数）的直线系：A0 x B0y C 0（C 为常数）（二）垂直直线系（二）垂直直线系垂直于已知直线A0 x B0y C0 0（A0,B0是不全为 0 的常数）的直线系：B0 x A0y C 0（C 为常数）（三）过定点的直线系（三）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：（）过两条直线l1:y y0 kx x0，直线过定点x0,y0；A1x B1y C1 0，l2:A2x B2y C2 0的交

5、点的直线系方程为A1x B1yC1A2x B2yC2 0（为参数），其中直线l2不在直线系中。（6 6）两直线平行与垂直）两直线平行与垂直当l1:y k1x b1，l2:y k2x b2时，留意：利用斜率推断直线的平行与垂直时，要留意斜率的存在与否。留意：利用斜率推断直线的平行与垂直时，要留意斜率的存在与否。（7 7）两条直线的交点）两条直线的交点l1:A1x B1y C1 0l2:A2x B2y C2 0相交A1x B1y C1 0交点坐标即方程组的一组解。A2x B2y C2 0方程组无解 l1/l2；方程组有多数解l1与l2重合B x2,y2）（8 8）两点间距离公式：）两点间距离公式：

6、设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|(x2 x1)2(y2 y1)2（9 9）点到直线距离公式：）点到直线距离公式：一点Px0,y0到直线l1:Ax By C 0的距离d Ax0 By0C22A B（1010）两平行直线距离公式）两平行直线距离公式在任始终线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。填空或选择可以用填空或选择可以用：l1:Ax By C1 0l2:Ax By C2 0经典例题经典例题【例例 1】(1)已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并推断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(2)已知三点 A(a，2)，B(

7、3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值121解：解：(1)直线 AB 的斜率k1 0,所以它的倾斜角 是锐角;437111 0,所以它的倾斜角 是锐角.037(9a)7 9a725(2)kAB，kBC.3(2)53a3aA,B,C 三点在一条直线上，579akAB kBC，即，3a52解得a 2或a.9【例例 2】已知两点 A(-2,-3),B(3,0),过点 P(-1,2)的直线l与线段 AB 始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.2(3)解：解：如图所示,直线 PA 的斜率是k1 5,1(2)021直线 PB 的斜率是k2.3(1)2当直线l由 PA变化到 y 轴平行

8、位置 PC,它的倾斜角由锐角(tan 5)增至 90，斜率的变化范围是5,)；当直线l由11PC 变化到 PB 位置，它的倾斜角由90增至(tan )，斜率的变化范围是(,.221所以斜率的变化范围是(,5,).235【例例 3 3】（1）已知直线l1经过点 M（-3，0），N（-15，-6），l2经过点 R（-2，），S（0，），试推断l1与l2是否平行？22（2）l1的倾斜角为 45，l2经过点 P（-2，-1），Q（3，-6），问l1与l2是否垂直？530(6)1221.l/l解：解：（1）kMN=，kRS210(2)23(15)26(1)（2）k1 tan45 1，k2 1，k1k2

9、1，l1l23(2)【例例 4 4】已知直线l经过点P(5,4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程解：解：由已知得l与两坐标轴不垂直直线l经过点P(5,4)，可设直线l的方程为y(4)kx(5)，即y 4 k(x 5).4则直线l在x轴上的截距为5，在y轴上的截距为5k 4.k直线 BC 的斜率k2依据题意得145 5k 4 5，即(5k 4)210|k|.2k28当k 0时，原方程可化为(5k 4)210k，解得k1,k2；55当k 0时，原方程可化为(5k 4)2 10k，此方程无实数解.28故直线l的方程为y 4(x 5)，或y 4(x 5).55即2x 5y 10

10、0或8x 5y 20 0.【例例 5】经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的肯定值相等的直线有几条？恳求出这些直线的方程解：当截距为0时，设y kx，过点A(1,2)，则得k 2，即y 2x；当截距不为0时，设xyxy1,或1,过点A(1,2)，aaaa则得a 3，或a 1，即x y 3 0，或x y 1 0这样的直线有3条：y 2x，x y 3 0，或x y 1 0【例例 6】写出过两点 A(5,0)，B(0,-3)的直线方程的两点式,点斜式,斜截式,截距式和一般式方程解：解：两点式方程：y (3)0 (3)；x 05 00 (3)3(x 0)，即y (3)(x 0)；5 05点斜式方

11、程：y (3)斜截式方程：y 截距式方程：0 (3)3 x 3，即y x 3；5 05yx1；5 3一般式方程：3x 5y 15 0【例例 7】已知直线 l 的方程为 3x+4y12=0，求与直线 l 平行且过点（1，3）的直线的方程3解：解：直线 l:3x+4y12=0 的斜率为，43所求直线与已知直线平行，所求直线的斜率为，43又由于所求直线过点（1，3），所以，所求直线的方程为：y 3(x 1)，即3x 4y 9 0.4【例例 8】已知a为实数，两直线l1：ax y 1 0，l2：x y a 0相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及x轴上.ax y1 0,a 1 a21,解：解：解方程

12、组得交点().a 1a 1x ya 0,a21a 12若0，则a1.当a1 时，0，此时交点在第二象限内.又因为a为随意实数时，都有a 110，a 1a 1a21故0.因为a1（否则两直线平行，无交点），所以，交点不可能在x轴上a 1【例例 9】若直线 l：ykx 3与直线 2x3y60 的交点位于第一象限，求直线l 的斜率的取值范围.解：解：如图，直线 2x+3y6=0 过点 A（3，0），B（0，2），直线 l：ykx 3必过点（0，3）.当直线 l 过 A 点时，两直线的交点在x 轴；当直线 l 绕 C 点逆时针（由位置 AC 到位置 BC）旋转时，3 033交点在第一象限.依据kAC，

13、得到直线 l 的斜率 k.03333,倾斜角范围为3.【例例 10】直线 2xy4=0 上有一点 P，求它与两定点 A(4，1)，B(3，4)的距离之差的最大值.解：解：找 A 关于 l 的对称点 A，AB 与直线 l 的交点即为所求的 P 点.设A(a,b),则b 12 1a 0a 4，解得，所以线段|AB|(41)2(30)23 2.b 124 ab 1 4 022【例例 1111】已知点A2,3到直线y ax1的距离为2，求a的值；解：解：y ax 1,ax y 1 0,d 2a 312a 22,2a 2 2a22,a21a21【例例 1212】求与直线l1:2x 3y 1 0及l2:4x 6y 5 0都平行且到它们的距离都相等的直线方程.解：解：直线l1的方程化为4x 6y 2 0.设所求直线的方程为4x 6y C 0，|2C|5C|77则，即|C 2|C 5|，解得C .所以所求直线方程为4x 6y 0.2242 6242 62