必学五基本不等式的题型与易错点.pdf

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1、高考基本不等式专题高考基本不等式专题典题精讲典题精讲例 1（1）已知 0 x（2）求函数 y=x+1，求函数 y=x(1-3x)的最大值;31的值域.x思路分析：思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外 x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出 x0，因而不能直接使用基本不等式，需分 x0 与 x0 讨论.（1）解法一：0 xy=x(1-3x)=值1,1-3x0.3113x (13x)2113x(1-3x)=，当且仅当3x=1-3x，即x=331262时，等号成立.x=16时，函数取得最大1.1211,-x0.331x x11113y=x(1-3x)=3x(-x)

2、32=，当且仅当 x=-x,即 x=时，等号成立.33126211x=时，函数取得最大值.61211（2）解：当 x0 时，由基本不等式，得 y=x+2x=2，当且仅当 x=1 时，等号成立.xx11当 x0 时，y=x+=-(-x)+.(x)x11-x0,(-x)+2,当且仅当-x=,即 x=-1 时，等号成立.(x)x1y=x+-2.x1综上,可知函数 y=x+的值域为(-,-22,+).x解法二：0 x绿色通道：绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练变式训练 1 当 x-1 时，求 f(x)=x+1

3、的最小值.x 11的积为常数.x 1-1=1.思路分析：思路分析：x-1x+10,变 x=x+1-1 时 x+1 与解：x-1,x+10.111=x+1+-12(x 1)x 1x 1(x 1)1当且仅当 x+1=,即 x=0 时,取得等号.x 1f(x)=x+f(x)min=1.x43x23变式训练变式训练 2 求函数 y=的最小值.x21思路分析：思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令 t=x2+1，则 t1 且 x2=t-1.x43x23(t 1)23(t 1)

4、3t2t 11 t 1.y=2tttx 1111t1,t+2t=2,当且仅当 t=,即 t=1 时，等号成立.ttt当 x=0 时，函数取得最小值 3.例 2 已知 x0,y0，且19+xy=1，求 x+y 的最小值.思路分析：思路分析：要求 x+y 的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1 的代换”,19+xy=1,x+y=(x+y)(19+xy)=10+y9x.xyx0,y0,当且仅当又y9xy9x2=6.xyxyy9x，即 y=3x 时，取等号.xy19+xy=1,x=4,y=12.当 x=4,y=12 时，x

5、+y 取得最小值 16.解法二：由19+xy=1，得 x=y.y 9x0,y0,y9.x+y=yy 9999+y=y+=y+1=(y-9)+10.y 9y 9y 9y 9y9,y-90.y 9992(y 9)=6.y 9y 991当且仅当 y-9=，即 y=12 时，取得等号，此时 x=4.当 x=4,y=12 时，x+y 取得最小值 16.解法三：由y 9x(x-1)(y-9)=9.+9y=1，得 y+9x=xy,(x1)(y 9)=16,19当且仅当 x-1=y-9 时取得等号.又+=1,xyx+y=10+(x-1)+(y-9)10+2x=4,y=12.当 x=4,y=12 时，x+y 取

6、得最小值 16.绿色通道：绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的 X 围对另外一个变量的 X围的影响.黑色陷阱：黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：19+xy29xy,即6xy1,xy6.xy26=12.x+y 的最小值是 12.19产生不同结果的原因是不等式等号成立的条件是=xyx+y2，不等式等号成立的条件是 x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练变

7、式训练已知正数 a,b,x,y 满足 a+b=10,思路分析：思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：解：x+y=(x+y)(ab=1，x+y 的最小值为 18，求 a,b 的值.xyabbxaybxay)=a+b=10+.yxyxxyab=18，即ab=4.x,y0,a,b0，x+y10+2又 a+b=10，a 2,a 8,或b 8b 2.4例 3 求 f(x)=3+lgx+的最小值（0 x1）.lg x思路分析：思路分析：0 x1,40 不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.lg x44解：0 x1,lgx0,0.-0.lg xlg xlgx

8、0,44)2(lgx)()=4.lg xlgx44lgx+-4.f(x)=3+lgx+3-4=-1.lg xlg x41当且仅当 lgx=,即 x=时取得等号.lg x1004则有 f(x)=3+lgx+(0 x1)的最小值为-1.lg x(-lgx)+(-黑色陷阱：黑色陷阱：本题容易忽略 0 x1 这一个条件.51，求函数 y=4x-2+的最大值.44x 55思路分析：思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件 x，则 4x-50.45解：解：x,4x-50.411y=4x-5+3=-(5-4x)+34x 55 4x1-2(5 4x)+3=-2+3=1.5 4x1当且仅当 5-4x=,即

9、 x=1 时等号成立.5 4x变式训练变式训练 1 已知 x所以当 x=1 时，函数的最大值是 1.38时，求函数 y=x+的最大值.22x 38思路分析：思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是 x并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变2x 31833 2x83为 y=（2x-3）+=-（）+,再求最值.222x 3223 2x1833 2x83解：y=（2x-3）+=-（）+，222x 3223 2x变式训练变式训练 2 当 x3时，3-2x0，23 2x83 2x83 2x812=4，当且仅当，即 x=-时取等号.23 2x223 2x23 2x355于

10、是 y-4+=，故函数有最大值.222当 x例 4 如图 3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图 3-4-1（1）现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：思路分析：设每间虎笼长为 x m，宽为 y m，则（1）是在 4x+6y=36 的前提下求 xy 的最大值；而(2)则是在 xy=24 的前提下来求 4x+6y的最小值.解：解：（1）设每间虎笼长为 x m，宽为 y m，则由条件,

11、知 4x+6y=36，即 2x+3y=18.设每间虎笼的面积为 S，则 S=xy.方法一：由于 2x+3y222x3y=26xy,27276xy18,得 xy，即 S.22当且仅当 2x=3y 时等号成立.由2x 2y,x 4.5,解得y 3.2x 3y 18,3y.2故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大.方法二:由 2x+3y=18，得 x=9-x0,0y6.S=xy=(9-33y)y=(6-y)y.220y6,6-y0.S3(6 y)y227=.222当且仅当 6-y=y,即 y=3 时，等号成立，此时 x=4.5.故每间虎笼长 4.5 m,宽 3 m 时，可使面积最

12、大.(2)由条件知 S=xy=24.设钢筋网总长为 l,则 l=4x+6y.方法一:2x+3y22x3y=26xy=24,l=4x+6y=2(2x+3y)48,当且仅当 2x=3y 时,等号成立.2x 3y,x 6,由解得xy 24,y 4.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小.方法二:由 xy=24，得 x=24y.l=4x+6y=16169616+6y=6(+y)62y=48,当且仅当=y，即 y=4 时，等号成立，此时 x=6.yyyy故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时，可使钢筋总长最小.绿色通道：绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x

13、,y 都是正数；（2）积 xy（或 x+y）为定值；（3）x 与 y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池(平面图如图 3-4-2 所示),由于地形限制,长、宽都不能超过 16 米,如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中间两道隔墙建造单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图 3-4-2思路分析：思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单

14、调性进行求解.200200米(0 x16,016),12.5x16.xx200200于是总造价 Q(x)=400(2x+2)+2482+80200.xx324324=800(x+)+16 0008002x+16 000=44 800,xx324当且仅当 x=(x0),即 x=18 时等号成立,而 1812.5,16,Q(x)44 800.x解：设污水处理池的长为 x 米,则宽为下面研究 Q(x)在12.5,16上的单调性.对任意 12.5x1x216,则 x2-x10,x1x2162324.Q(x2)-Q(x1)=800(x2-x1)+324(11x2x1)=800(x2 x1)(x1x232

15、4)0,x1x2Q(x2)Q(x1).Q(x)在12.5,16上是减函数.Q(x)Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为 16 米,宽为 12.5 米时,总造价最低,最低造价为 45 000 元.问题探究问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第 n 层楼时,上下楼造成的不满意度为 n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第 n 层楼时,环境不满意程度为8.则此人应选第几楼,会n有一个最佳满意度.导思：导思：本问题实际是求 n 为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.探究：探究：设此人应选第 n 层楼,此时的不满意程度为 y.8.n884 2,n+2nnn8当且仅当 n=,即 n=2 2时取等号.n由题意知 y=n+但考虑到 nN N*,n21.414=2.8283,即此人应选 3 楼,不满意度最低.