2018-2022高考真题立体几何解答题全集(学生版解析版).pdf

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1、第1页（共102页）2018-2022 高考真题 立体几何 解答题全集（学生版 解析版）一解答题（共 60 小题）1（2022天津）直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1ABAC2，AA1AB，ACAB，D 为A1B1中点，E 为 AA1中点，F 为 CD 中点（1）求证：EF平面 ABC；（2）求直线 BE 与平面 CC1D 的正弦值；（3）求平面 A1CD 与平面 CC1D 夹角的余弦值2（2022上海）如图所示三棱锥，底面为等边ABC，O 为 AC 边中点，且 PO底面 ABC，APAC2（1）求三棱锥体积 VPABC；（2）若 M 为 BC 中点，求 PM 与面 PAC 所成角大小3（

2、2022浙江）如图，已知 ABCD 和 CDEF 都是直角梯形，ABDC，DCEF，AB5，DC3，EF1，BADCDE60，二面角 FDCB 的平面角为 60设 M，N分别为 AE，BC 的中点（）证明：FNAD；（）求直线 BM 与平面 ADE 所成角的正弦值第2页（共102页）4（2022甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒 包装盒如图所示：底面 ABCD 是边长为 8（单位：cm）的正方形，EAB，FBC，GCD，HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 ABCD 垂直（1）证明：EF平面 ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）5（2022甲卷

3、）在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，CDAB，ADDCCB1，AB2，DP=3（1）证明：BDPA；（2）求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值第3页（共102页）6（2022北京）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1为正方形，平面 BCC1B1平面 ABB1A1，ABBC2，M，N 分别为 A1B1，AC 的中点（）求证：MN平面 BCC1B1；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AB 与平面 BMN 所成角的正弦值条件：ABMN；条件：BMMN注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分7（2022新高考）如图，PO 是三棱锥 P

4、ABC 的高，PAPB，ABAC，E 为 PB 的中点（1）证明：OE平面 PAC；（2）若ABOCBO30，PO3，PA5，求二面角 CAEB 的正弦值8（2022乙卷）如图，四面体 ABCD 中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E 为 AC的中点（1）证明：平面 BED平面 ACD；（2）设 ABBD2，ACB60，点 F 在 BD 上，当AFC 的面积最小时，求三棱锥 FABC 的体积第4页（共102页）9（2022新高考）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 4，A1BC 的面积为22（1）求 A 到平面 A1BC 的距离；（2）设 D 为 A1C 的中点，AA1AB，平面 A

5、1BC平面 ABB1A1，求二面角 ABDC的正弦值10（2022乙卷）如图，四面体 ABCD 中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E 为 AC的中点（1）证明：平面 BED平面 ACD；（2）设 ABBD2，ACB60，点 F 在 BD 上，当AFC 的面积最小时，求 CF 与平面 ABD 所成的角的正弦值11（2022上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为 O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为 1（1）若 AA14，M 为 AA1的中点，求直线 MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过 OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积第5页（共102页）1

6、2（2021天津）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为棱 BC，CD 的中点（1）求证：D1F平面 A1EC1；（2）求直线 AC1与平面 A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角 AA1C1E 的正弦值13（2021新高考）在四棱锥 QABCD 中，底面 ABCD 是正方形，若 AD2，QDQA=5，QC3（）求证：平面 QAD平面 ABCD；（）求二面角 BQDA 的平面角的余弦值14（2021上海）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 ABBC2，AA13（1）若 P 是棱 A1D1上的动点，求三棱锥 CPAD 的体积；（2）求直线 AB1

7、与平面 ACC1A1的夹角大小第6页（共102页）15（2021北京）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1，E 为 A1D1的中点，B1C1交平面 CDE交于点 F（）求证：F 为 B1C1的中点；（）若点 M 是棱 A1B1上一点，且二面角 MFCE 的余弦值为53，求111的值16（2021甲卷）已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 AA1B1B 为正方形，ABBC2，E，F 分别为 AC 和 CC1的中点，BFA1B1（1）求三棱锥 FEBC 的体积；（2）已知 D 为棱 A1B1上的点，证明：BFDE17（2021乙卷）如图，四棱锥 PABCD 的底面是矩形，PD底面 ABCD

8、，PDDC1，M 为 BC 中点，且 PBAM（1）求 BC；（2）求二面角 APMB 的正弦值第7页（共102页）18（2021浙江）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，ABC120，AB1，BC4，PA=15，M，N 分别为 BC，PC 的中点，PDDC，PMMD（）证明：ABPM；（）求直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值19（2021甲卷）已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 AA1B1B 为正方形，ABBC2，E，F 分别为 AC 和 CC1的中点，D 为棱 A1B1上的点，BFA1B1（1）证明：BFDE；（2）当 B1D 为何值时，面 BB1C

9、1C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小？20（2021乙卷）如图，四棱锥 PABCD 的底面是矩形，PD底面 ABCD，M 为 BC 的中点，且 PBAM（1）证明：平面 PAM平面 PBD；第8页（共102页）（2）若 PDDC1，求四棱锥 PABCD 的体积21（2021新高考）如图，在三棱锥 ABCD 中，平面 ABD平面 BCD，ABAD，O为 BD 的中点（1）证明：OACD；（2）若OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上，DE2EA，且二面角 EBCD 的大小为 45，求三棱锥 ABCD 的体积22（2021上海）四棱锥 PABCD，底面为正方形 ABCD

10、，边长为 4，E 为 AB 中点，PE平面 ABCD（1）若PAB 为等边三角形，求四棱锥 PABCD 的体积；（2）若 CD 的中点为 F，PF 与平面 ABCD 所成角为 45，求 PC 与 AD 所成角的大小23（2020海南）如图，四棱锥 PABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面 PAD与平面 PBC 的交线为 l第9页（共102页）（1）证明：l平面 PDC；（2）已知 PDAD1，Q 为 l 上的点，QB=2，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值24（2020上海）已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，正方形 ABCD 绕 AB 旋转形成一个圆柱（1）求该圆柱的表

11、面积；（2）正方形 ABCD 绕 AB 逆时针旋转2至 ABC1D1，求线段 CD1与平面 ABCD 所成的角25（2020天津）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，ACBC，ACBC2，CC13，点 D，E 分别在棱 AA1和棱 CC1上，且 AD1，CE2，M 为棱 A1B1的中点（）求证：C1MB1D；（）求二面角 BB1ED 的正弦值；（）求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值26（2020北京）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 BB1的中点第10页（共102页）（）求证：BC1平面 AD1E；（）求直线 AA1与平面 AD1E 所成角的

12、正弦值27（2020山东）如图，四棱锥 PABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面 PAD与平面 PBC 的交线为 l（1）证明：l平面 PDC；（2）已知 PDAD1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值28（2020江苏）在三棱锥 ABCD 中，已知 CBCD=5，BD2，O 为 BD 的中点，AO平面 BCD，AO2，E 为 AC 中点（1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF=14BC，设二面角 FDEC 的大小为，求 sin 的值29（2020浙江）如图，在三棱台 ABCDEF 中，平面 ACFD平

13、面 ABC，ACBACD第11页（共102页）45，DC2BC（）证明：EFDB；（）求直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值30（2020江苏）在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点（1）求证：EF平面 AB1C1；（2）求证：平面 AB1C平面 ABB131（2020新课标）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别在棱 DD1，BB1上，且 2DEED1，BF2FB1证明：（1）当 ABBC 时，EFAC；（2）点 C1在平面 AEF 内第12页（共102页）32（2020新课标）如图，D 为圆锥的顶点，O

14、 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AEADABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，PO=66DO（1）证明：PA平面 PBC；（2）求二面角 BPCE 的余弦值33（2020新课标）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，APC90（1）证明：平面 PAB平面 PAC；（2）设 DO=2，圆锥的侧面积为3，求三棱锥 PABC 的体积34（2020新课标）如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C第13页（共102页）是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1的中点，P 为 AM 上一点过 B1C

15、1和 P 的平面交 AB 于E，交 AC 于 F（1）证明：AA1MN，且平面 A1AMN平面 EB1C1F；（2）设 O 为A1B1C1的中心若 AOAB6，AO平面 EB1C1F，且MPN=3，求四棱锥 BEB1C1F 的体积35（2020新课标）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别在棱 DD1，BB1上，且 2DEED1，BF2FB1（1）证明：点 C1在平面 AEF 内；（2）若 AB2，AD1，AA13，求二面角 AEFA1的正弦值36（2020新课标）如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C是矩形，M，N 分别为 BC，B1C

16、1的中点，P 为 AM 上一点过 B1C1和 P 的平面交 AB 于E，交 AC 于 F（1）证明：AA1MN，且平面 A1AMN平面 EB1C1F；（2）设 O 为A1B1C1的中心若 AO平面 EB1C1F，且 AOAB，求直线 B1E 与平面A1AMN 所成角的正弦值第14页（共102页）37（2020上海）已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为正方形，边长为 3，PD平面 ABCD（1）若 PC5，求四棱锥 PABCD 的体积；（2）若直线 AD 与 BP 的夹角为 60，求 PD 的长38（2019天津）如图，AE平面 ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC

17、2（）求证：BF平面 ADE；（）求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值；（）若二面角 EBDF 的余弦值为13，求线段 CF 的长39（2019上海）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 BB1上一点，已知 BM2，CD3，AD4，AA15（1）求直线 A1C 和平面 ABCD 的夹角；（2）求点 A 到平面 A1MC 的距离第15页（共102页）40（2019新课标）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱AA1上，BEEC1（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AEA1E，求二面角 BECC1的正弦值41（2019新课标）图

18、 1 是由矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB1，BEBF2，FBC60将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的四边形 ACGD 的面积42（2019新课标）图 1 是由矩形 ADEB、RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，第16页（共102页）其中 AB1，BEBF2，FBC60将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面

19、ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的二面角 BCGA 的大小43（2019天津）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面 PAC平面 PCD，PACD，CD2，AD3（）设 G，H 分别为 PB，AC 的中点，求证：GH平面 PAD；（）求证：PA平面 PCD；（）求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值44（2019新课标）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离第17页（

20、共102页）45（2019浙江）如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1，平面 A1ACC1平面 ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F 分别是 AC，A1B1的中点（）证明：EFBC；（）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值46（2019北京）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD2，BC3E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且=13（）求证：CD平面 PAD；（）求二面角 FAEP 的余弦值；（）设点 G 在 PB 上，且=23判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由47（2019江苏）如图，在直三棱柱

21、ABCA1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB第18页（共102页）BC求证：（1）A1B1平面 DEC1；（2）BEC1E48（2019新课标）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱AA1上，BEEC1（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AEA1E，AB3，求四棱锥 EBB1C1C 的体积49（2019北京）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，E为 CD 的中点（）求证：BD平面 PAC；（）若ABC60，求证：平面 PAB平面 PAE；（）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PA

22、E？说明理由第19页（共102页）50（2019新课标）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求二面角 AMA1N 的正弦值51（2019上海）如图，在正三棱锥 PABC 中，=2，=3（1）若 PB 的中点为 M，BC 的中点为 N，求 AC 与 MN 的夹角；（2）求 PABC 的体积52（2018新课标）如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC22，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点（1）证明：PO平面 ABC；第20页（共102页）（2）若点 M 在棱

23、 BC 上，且 MC2MB，求点 C 到平面 POM 的距离53（2018新课标）如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PFBF（1）证明：平面 PEF平面 ABFD；（2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值54（2018新课标）如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧所在平面垂直，M 是上异于 C，D 的点（1）证明：平面 AMD平面 BMC；（2）在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由55（2018新课标）如图，在平行四边形 ABCM 中，ABAC3，ACM90，

24、以 AC为折痕将ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA（1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BPDQ=23DA，求三棱锥 QABP的体积第21页（共102页）56（2018新课标）如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC22，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点（1）证明：PO平面 ABC；（2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值57（2018新课标）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M 是上异于 C，D 的点（1）

25、证明：平面 AMD平面 BMC；（2）当三棱锥 MABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值58（2018浙江）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2（）证明：AB1平面 A1B1C1；第22页（共102页）（）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值59（2018上海）已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2（1）设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积；（2）设 PO4，OA、OB 是底面半径，且AOB90，M 为线段 AB 的中点，如图，求异面直线 PM 与 O

26、B 所成的角的大小60（2018北京）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，D，E，F，G 分别为 AA1，AC，A1C1，BB1的中点，ABBC=5，ACAA12（）求证：AC平面 BEF；（）求二面角 BCDC1的余弦值；（）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交第23页（共102页）2018-2022 高考真题 立体几何 解答题全集（学生版 解析版）参考答案与试题解析一解答题（共 60 小题）1（2022天津）直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1ABAC2，AA1AB，ACAB，D 为A1B1中点，E 为 AA1中点，F 为 CD 中点（1）求证：EF平面 ABC；

27、（2）求直线 BE 与平面 CC1D 的正弦值；（3）求平面 A1CD 与平面 CC1D 夹角的余弦值【解答】解：（1）证明：取 BB1的中点 G，连接 FG，EG，连接 AD 交 EG 于 K，再连接 FK，EKA1B1，且 E 是 AA1的中点，则 K 是 AD 的中点，FKAC，EGAB，又 FK平面 ABC，AC平面 ABC，FK平面 ABC，同理可得，EG平面 ABC，又 FKEGK，平面 EFG平面 ABC，EF平面 ABC，（2）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACAB，则可建立如图所示的空间直角坐标系，、又 AA1ABAC2，D 为 A1B1中点，E 为 AA1中点，F 为

28、CD 中点故 B（2，2，0），E（1，0，0），C（2，0，2），C1（0，0，2），D（0，1，0），则=（1，2，0），1=（2，0，0），=（2，1，2），设=（x，y，z）是平面CC1D的法向量，则有：1=0，=0，即2=02+2=0，第24页（共102页）令 z1，则 x0，y2，所以=(0，2，1)，设直线 BE 与平面 CC1D 的夹角为，则 sin|cos，|2255|=45，（3）A1（0，0，0），则1=（2，0，2），1=（0，1，0），设平面 A1CD 的法向量为=（x，y，z），则有 1=0，1=0，即2+2=0=0，令 x1，则 y0，z1，故=(1，0，1)，设

29、平面 A1CD 与平面 CC1D 的夹角为，所以 cos|cos，|1152|=10102（2022上海）如图所示三棱锥，底面为等边ABC，O 为 AC 边中点，且 PO底面 ABC，APAC2（1）求三棱锥体积 VPABC；（2）若 M 为 BC 中点，求 PM 与面 PAC 所成角大小【解答】解：（1）在三棱锥 PABC 中，因为 PO底面 ABC，所以 POAC，又 O 为 AC 边中点，所以PAC 为等腰三角形，又 APAC2所以PAC 是边长为 2 的为等边三角形，第25页（共102页）PO=3，三棱锥体积 VPABC=13 =1334 22 3=1，（2）以 O 为坐标原点，OB

30、为 x 轴，OC 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 P（0，0，3），B（3，0，0），C（0，1，0），M（32，12，0），=（32，12，3），平面 PAC 的法向量=（3，0，0），设直线 PM 与平面 PAC 所成角为，则直线 PM 与平面 PAC 所成角的正弦值为 sin|=3232=34，所以 PM 与面 PAC 所成角大小为 arcsin343（2022浙江）如图，已知 ABCD 和 CDEF 都是直角梯形，ABDC，DCEF，AB5，DC3，EF1，BADCDE60，二面角 FDCB 的平面角为 60设 M，N分别为 AE，BC 的中点（）证明：FNAD；

31、（）求直线 BM 与平面 ADE 所成角的正弦值【解答】证明：（I）由于 CDCB，CDCF，平面 ABCD平面 CDEFCD，CF平面 CDEF，CB平面 ABCD，所以FCB 为二面角 FDCB 的平面角，第26页（共102页）则FCB60，CD平面 CBF，则 CDFN又=3()=23，=3()=23，则BCF 是等边三角形，则 CBFN，因为 DCFC，DCBC，FCBCC，FC平面 FCB，BC平面 FCB，所以 DC平面 FCB，因为 FN平面 FCB，所以 DCFN，又因为 DCCBC，DC平面 ABCD，CB平面 ABCD，所以 FN平面 ABCD，因为 AD平面 ABCD，故

32、 FNAD；解：（）由于 FN平面 ABCD，如图建系：于 是(0，3，0)，(5，3，0)，(0，0，3)，(1，0，3)，(3，3，0)，则(3，32，32)，=(3，32，32)，=(2，23，0)，=(2，3，3)，设平面 ADE 的法向量=（x，y，z），则=0=0，2+23=02+3+3=0，令 x=3，则 y1，z=3，平面 ADE 的法向量=(3，1，3)，设 BM 与平面 ADE 所成角为，则=|=57144（2022甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒 包装盒如图所示：底面 ABCD 是边长为 8（单位：cm）的正方形，EAB，FBC，GCD，HDA 均为

33、正三角形，且它们所在的平面都与平面 ABCD 垂直（1）证明：EF平面 ABCD；第27页（共102页）（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）【解答】（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，做 EEAB 于点 E，做 FFBC 于点 F，由于底面为正方形，ABE，BCF 均为等边三角形，故等边三角形的高相等，即 EEFF，由面面垂直的性质可知 EE，FF均与底面垂直，则 EEFF，四边形 EEFF 为平行四边形，则 EFEF，由于 EF 不在平面 ABCD 内，EF在平面 ABCD 内，由线面平行的判断定理可得 EF平面 ABCD（2）解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱

34、锥的体积，第28页（共102页）其中长方体的高1=43，长方体的体积1=8 8 43=25633，一个三棱锥的体积2=13(12 4 4)43=32333，则包装盒的容积为=1 42=2563 4 3233=6403335（2022甲卷）在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，CDAB，ADDCCB1，AB2，DP=3（1）证明：BDPA；（2）求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值【解答】解：（1）证明：PD底面 ABCD，BD面 ABCD，PDBD，取 AB 中点 E，连接 DE，ADDCCB1，AB2，DAB60，又AE=12ABAD1，DE1，DE=12，ABD 为直角三角形

35、，且 AB 为斜边，BDAD，又 PDADD，PD面 PAD，AD面 PAD，BD面 PAD，又 PA面 PAD，BDPA；（2）由（1）知，PD，AD，BD 两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，第29页（共102页）=2 2=3，则(0，0，0)，(1，0，0)，(0，3，0)，(0，0，3)，=(0，0，3)，=(1，0，3)，=(1，3，0)，设平面 PAB 的一个法向量为=(，)，则=3=0=+3=0，则可取=(3，1，1)，设 PD 与平面 PAB 所成的角为，则=|，|=|=55，PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值为556（2022北京）如图，在三棱柱 ABCA1B1

36、C1中，侧面 BCC1B1为正方形，平面 BCC1B1平面 ABB1A1，ABBC2，M，N 分别为 A1B1，AC 的中点（）求证：MN平面 BCC1B1；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AB 与平面 BMN 所成角的正弦值条件：ABMN；条件：BMMN注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分第30页（共102页）【解答】解：（I）证明：取 AB 中点 K，连接 NK，MK，M 为 A1B1的中点B1MBK，且 B1MBK，四边形 BKMB1是平行四边形，故 MKBB1，MK平面 BCC1B1；BB1平面 BCC1B1，MK平面 BCC1B1，K 是 AB 中

37、点，N 是 AC 的点，NKBC，NK平面 BCC1B1；BC平面 BCC1B1，NK平面 BCC1B1，又 NKMKK，平面 NMK平面 BCC1B1，又 MN平面 NMK，MN平面 BCC1B1；（II）侧面 BCC1B1为正方形，平面 BCC1B1平面 ABB1A1，平面 BCC1B1平面 ABB1A1BB1，CB平面 ABB1A1，CBAB，又 NKBC，ABNK，若选：ABMN；又 MNNKN，AB平面 MNK，又 MK平面 MNK，ABMK，又 MKBB1，ABBB1，BC，BA，BB1两两垂直，若选：CB平面 ABB1A1，NKBC，NK平面 ABB1A1，KM平面 ABB1A1

38、，MKNK，又 BMMN，NK=12BC，BK=12AB，BKMNKM，BKMNKM90，ABMK，又 MKBB1，ABBB1，BC，BA，BB1两两垂直，以 B 为坐标原点，BC，BA，BB1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，第31页（共102页）则 B（0，0，0），N（1，1，0），M（0，1，2），A（0，2，0），=（0，1，2），=（1，1，0），设平面 BMN 的一个法向量为=（x，y，z），则=+2=0=+=0，令 z1，则 y2，x2，平面 BMN 的一个法向量为=（2，2，1），又=（0，2，0），设直线 AB 与平面 BMN 所成角为，sin|cos，|=|=44+4

39、+12=23 直线 AB 与平面 BMN 所成角的正弦值为23 7（2022新高考）如图，PO 是三棱锥 PABC 的高，PAPB，ABAC，E 为 PB 的中点（1）证明：OE平面 PAC；（2）若ABOCBO30，PO3，PA5，求二面角 CAEB 的正弦值 第32页（共102页）【解答】解：（1）证明：连接 OA，OB，依题意，OP平面 ABC，又 OA平面 ABC，OB平面 ABC，则 OPOA，OPOB，POAPOB90，又 PAPB，OPOP，则POAPOB，OAOB，延长 BO 交 AC 于点 F，又 ABAC，则在 RtABF 中，O 为 BF 中点，连接 PF，在PBF 中，

40、O，E 分别为 BF，BP 的中点，则 OEPF，OE平面 PAC，PF平面 PAC，OE平面 PAC；（2）过点 A 作 AMOP，以 AB，AC，AF 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于 PO3，PA5，由（1）知 OAOB4，又ABOCBO30，则=43，(23，2，3)，(43，0，0)，(0，0，0)，(33，1，32)，又 ACABtan6012，即 C（0，12，0），设平面AEB的一个法向量为=(，)，又=(43，0，0)，=(33，1，32)，则=43=0=33+32=0，则可取=(0，3，2)，设平面 AEC 的一个法向量为=(，)，又=(0，

41、12，0)，=(33，1，32)，则=12=0=33+32=0，则可取=(3，0，6)，设锐二面角 CAEB 的平面角为，则=|，|=|=4313，=1 2=1113，即二面角 CAEB 正弦值为1113 第33页（共102页）8（2022乙卷）如图，四面体 ABCD 中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E 为 AC的中点（1）证明：平面 BED平面 ACD；（2）设 ABBD2，ACB60，点 F 在 BD 上，当AFC 的面积最小时，求三棱锥 FABC 的体积 【解答】证明：（1）ADCD，ADBBDC，BDBD，ADBCDB，ABBC，又E 为 AC 的中点 ACBE，ADCD，E 为

42、 AC 的中点 ACDE，又BEDEE，AC平面 BED，又AC平面 ACD，平面 BED平面 ACD；解：（2）由（1）可知 ABBC，ABBC2，ACB60，ABC 是等边三角形，边长为 2，BE=3，AC2，ADCD=2，DE1，DE2+BE2BD2，DEBE，又DEAC，ACBEE，第34页（共102页）DE平面 ABC，由（1）知ADBCDB，AFCF，连接 EF，则 EFAC，SAFC=12 =EF，当 EFBD 时，EF 最短，此时AFC 的面积最小，过点 F 作 FGBE 于点 G，则 FGDE，FG平面 ABC，EF=32，BF=2 2=32，FG=34，三棱锥 FABC 的

43、体积 V=13 =1334 2234=34 9（2022新高考）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 4，A1BC 的面积为22（1）求 A 到平面 A1BC 的距离；（2）设 D 为 A1C 的中点，AA1AB，平面 A1BC平面 ABB1A1，求二面角 ABDC的正弦值 【解答】解：（1）由直三棱柱 ABCA1B1C1的体积为4，可得 V1=13V111=43，设 A 到平面 A1BC 的距离为 d，由 V1=V1，13S1d=43，1322d=43，解得 d=2（2）连接 AB1交 A1B 于点 E，AA1AB，四边形为正方形，AB1A1B，又平面 A1BC平面 ABB1A1，平面

44、 A1BC平面 ABB1A1A1B，第35页（共102页）AB1平面 A1BC，AB1BC，由直三棱柱 ABCA1B1C1知 BB1平面 ABC，BB1BC，又 AB1BB1B1，BC平面 ABB1A1，BCAB，以 B 为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，AA1AB，BC 2AB12=22，又12ABBCAA14，解得 ABBCAA12，则 B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），则=（0，2，0），=（1，1，1），=（2，0，0），设平面 ABD 的一个法向量为=（x，y，z），则=2=0=+=0

45、，令 x1，则 y0，z1，平面 ABD 的一个法向量为=（1，0，1），设平面 BCD 的一个法向量为=（a，b，c），=2=0=+=0，令 b1，则 a0，c1，平面 BCD 的一个法向量为=（0，1，1），cos，=122=12，二面角 ABDC 的正弦值为1 (12)2=32 10（2022乙卷）如图，四面体 ABCD 中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E 为 AC的中点（1）证明：平面 BED平面 ACD；（2）设 ABBD2，ACB60，点 F 在 BD 上，当AFC 的面积最小时，求 CF 与平面 ABD 所成的角的正弦值 第36页（共102页）【解答】（1）证明：ADCD，

46、E 为 AC 的中点DEAC，又ADCD，ADBBDC，BDBD，ABDCBD，ABBC，又E 为 AC 的中点EBAC，又 BEDEE，BE平面 BED，DE平面 BED，AC平面 BED，又 AC平面 ACD，平面 BED平面 ACD；（2）解：连接 EF，由（1）知 ACEF，SAFC=12ACEF，故 EF 最小时，AFC 的面积最小，EFBD 时，AFC 的面积最小，又 AC平面 BED，BD平面 BED，ACBD，又 ACEFE，AC平面 AFC，EF平面 AFC，BD平面 AFC，又 BD平面 ABD，平面 ABD平面 AFC，过 C 作 CMAF 于点 M，则 CM平面 ABD

47、，故CFM，即CFA 为直线 CF 与平面 ABD 所成的角，由 ABBD2，ACB60，知BAC 是 2 为边长的等边三角形，故 AC2，由已知可得 DE1，BE=3，又 BD2，BD2ED2+EB2，BED90，所以 EF=32，CF=12+34=72，AF=72，在ACF 中，由余弦定理得 cosAFC=74+74427272=17，sinAFC=437 故 CF 与平面 ABD 所成的角的正弦值为437 第37页（共102页）11（2022上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为 O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为 1（1）若 AA14，M 为 AA1的中点，求直线 MO1与

48、上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过 OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积 【解答】解：（1）因为 AA1为圆柱的母线，所以 AA1垂直于上底面，所以MO1A1是直线 MO1与上底面所成角，tanMO1A1=111=21=2，所以MO1A1arctan2（2）因为圆柱过 OO1的截面为正方形，所以 AA12，所以圆柱的体积为 Vr2h1222，圆柱的侧面积为 S2rh2124 12（2021天津）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为棱 BC，CD 的中点（1）求证：D1F平面 A1EC1；（2）求直线 AC1与平面 A1EC1所

49、成角的正弦值；（3）求二面角 AA1C1E 的正弦值 第38页（共102页）【解答】（1）证明：以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 A1（0，0，2），E（2，1，0），C1（2，2，2），故11=(2，2，0)，1=(0，1，2)，设平面 A1EC1的法向量为=(，)，则 11=0 1=0，即+=0+2=0，令 z1，则 x2，y2，故=(2，2，1)，又 F（1，2，0），D1（0，2，2），所以1=(1，0，2)，则 1=0，又 D1F平面 A1EC1，故 D1F平面 A1EC1；（2）解：由（1）可知，1=(2，2，2)，则|，1|=|1|1|=2323=39，故直线

50、 AC1与平面 A1EC1所成角的正弦值为39；（3）解：由（1）可知，1=(0，0，2)，设平面 AA1C1的法向量为=(，)，则 1=0 11=0，即=0+=0，令 a1，则 b1，故=(1，1，0)，第39页（共102页）所以|，|=|=432=223，故二面角 AA1C1E 的正弦值为1 (223)2=13 13（2021新高考）在四棱锥 QABCD 中，底面 ABCD 是正方形，若 AD2，QDQA=5，QC3（）求证：平面 QAD平面 ABCD；（）求二面角 BQDA 的平面角的余弦值 【解答】（）证明：QCD 中，CDAD2，QD=5，QC3，所以 CD2+QD2QC2，所以 C