2023年上海高一下学期数学同步讲义第3讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式含详解.pdf

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1、 第 3 讲 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 知识梳理 两角和与差的三角函数 sinsincoscos)cos(；sincoscossin)sin(tantantan()1tantan。例题解析 一、两角和与差的正余弦公式 例 1（2019上海市行知中学高一月考）已知sinsincoscosba.（1）求cos；（2）若1,0ba，求cos()cos；（3）求,sincos.例 2（2019上海市青浦高级中学高一月考）在平面直角坐标系xOy中,先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角，再将OP的长度伸长为原来的0 倍,得到1OP，我们把这个过程称为对点P进行一次T,，变换得到点1P，例如对点P

2、 10，进行一次32T，变换,得到点103.P，(1)试求对点13A，进行一次13T，变换后得到点1A的坐标；(2)已知对点8 6B，进行一次T，换后得到点13 24 2B，求对点1B再进行一次T，变换后得到点2B的坐标.巩固练习 1.利用两角和与差的余弦公式证明sin()sincoscossin.2.对任意的锐角,，下列不等关系中正确的是（）A.sin()sinsin B.sin()coscos C.cos()coscos D.cos()sinsin 3.已知锐角,满足10103cos,55sin，求 4.已知,0coscoscos,0sinsinsin且、均为钝角，求角的值.5.已知，12

3、cos13，3sin5，求：sin2、sin2.6.化简:sin2sin3sin5sin32sin5sin7AAAAAA 7.证明：22sincossin()axbxabx，其中tanba.324 8.已知 cos6+sin=354,则 sin67的值是 .9利用特殊角的值求cos105.10在ABC中，如果coscossinsinABAB，则ABC为（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.锐角或直角三角形 11下列四个命题中假命题是（）A.存在这样的,，使得cos()coscossinsin B.不存在无穷多个,，使得cos()coscossinsin C.对于任意的,，co

4、s()coscossinsin D.不存在这样的,，使得cos()coscossinsin 12求sin3cos1212的值为_.13如果),2(，且54sin，那么)cos(22)4sin(（）A52 B522 C52 D522 14已知2sinsin2，则coscos的取值范围是_.15.已知114 3cos(2),sin(2),0,147424 且求cos()的值.16.2cos10sin20sin70的值是 ()A.12 B.32 C.3 D.2 17.若02，则下列各式中，不正确的是（）Asincos1 Bsincos1 Csin()sin()Dcos()cos()18.已知 A、B

5、 均为钝角，且 sinA55，sinB1010，则 AB 等于 ()A.54 B.74 C.54或74 D.94 19.已知11coscos,sinsin23，则cos()_.20已知33350,cos(),sin()4445413，求sin()的值.21已知：实数a、b满足22111abba，求证：221ab。22函数)23sin(5)62sin(12xxy的最大值是()A.2356 B.17 C.13 D.12 23已知23cos(),(,)41024xx(1)求sinx的值；(2)求sin(2)3x的值 二、两角和与差的正切公式 例 1.利用两角和与差的正弦余弦公式证明 tan（）tan

6、tan1tantan 例2.求值0000tan35tan 253 tan35tan 25_ 例 3.如果tan,tan是方程2330 xx的两根,则)cos()sin(_.例 4.设2tan()5，41tan()4则4tan()的值是（）A.138 B.322 C.1318 D.1322 例 5.在ABC中，求证：tanAtanBtanCtanAtan BtanC 【巩固训练】1若tan、tan为方程01532 xx的两根，则)tan(=.2已知54sin,tan(+)=1,且是第二象限角,那么 tan的值等于_.3已知12tan,tan()25，则tan(2)的值为 _ 4已知6，且,满足关

7、系式3(tantan)2tan3tan0b，则tan=_.5.oo15tan3115tan3_ _ 6.已知实数 a,b 均不为零,tansincoscossinbaba,且6,则ab等于（）A.3 B.33 C.3 D.33 7.若1cos()2，3cos()5，则tantan_ 8.已知ABC不是直角三角形，45C，则(1tan)(1tan)AB_ 9、设角，满足(2tan1)(12tan)5，则tan()的值为_ 10、已知tantanm，cos()n，则cos()a_ 11、若tantantan()3，则tantan_ 12已知,A B为锐角，证明：4 BA的充要条件是(1tan)(1

8、tan)2AB 13.已知,(0,)，且11tan(),tan27，求2的值.14.已知31tan,55cos,(0,)(1)求tan()的值;(2)求函数()2sin()cos()f xxx的最大值.15.已知tan,tan是一元二次方程0432 xx的 2 个根,求2sin2sin2cos2cos的值。反思总结 公式联系记忆：coscoscossinsin coscoscossinsin sinsincoscossin sinsincoscossin tantantan1tantan tantantan1tantan 使用公式的时候注意把什么看成，什么看成，初学需要圈注一下 利用和差配所求

9、角难度比较大，需要耐心观察 第 3 讲 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 知识梳理 两角和与差的三角函数 sinsincoscos)cos(；sincoscossin)sin(tantantan()1tantan。例题解析 一、两角和与差的正余弦公式 例 1（2019上海市行知中学高一月考）已知sinsincoscosba.（1）求cos；（2）若1,0ba，求cos()cos；（3）求,sincos.【答案】（1）2211122ab；（2）12；（3）222sinabab,2222cosbaab【分析】（1）将sinsina和coscosb分别求平方后求和,即可求解；（2）整理方程组可得到s

10、in1 sincoscos ,由22sincos1,可解得1sin2,进一步求得222sin,cos,cos代入求解即可；（3）先利用二倍角公式,可得221cos22ab,再利用和差化积公式和二倍角公式求解即可【详解】（1）由题,2222sinsinsinsin2sinsinb,2222coscoscoscos2coscosa,则 222222sinsincoscossincossincos2 sinsincoscos 221 12cosba ,则2211cos122ab（2）由（1）可得,当1,0ba时,即sinsin1coscos0 则sin1 sincoscos ,所以2222sinco

11、s1 sincos,即22112sinsincos,则1 2sin0,所以1sin2 所以11sin1 sin122 ,故222213sinsin,coscos44 因为 cos()coscoscossinsincoscossinsin 2222coscossinsin,所以33111cos()cos44442（3）由（1）可得22211cos2cos11222ab,则221cos22ab 因为sinsin2sincos22coscos2coscos22 当221cos22ab时,222212sin2212cos22abaabb ,则2222sin2cos2aabbab,所以2222222si

12、n2sincos222ababababab,22222222cos2cos1212bbaabab 当221cos22ab 时,222212sin2212cos22abaabb ,则2222sin2cos2aabbab ,所以 2222222sin2sincos222ababababab ,22222222cos2cos1212bbaabab ,综上,222sinabab,2222cosbaab【点睛】本题考查同角的平方关系,考查和角公式与倍角公式的应用,考查和差化积公式的应用,考查运算能力 例 2（2019上海市青浦高级中学高一月考）在平面直角坐标系xOy中,先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋

13、转角，再将OP的长度伸长为原来的0 倍,得到1OP，我们把这个过程称为对点P进行一次T,，变换得到点1P，例如对点P 10，进行一次32T，变换,得到点103.P，(1)试求对点13A，进行一次13T，变换后得到点1A的坐标；(2)已知对点8 6B，进行一次T，换后得到点13 24 2B，求对点1B再进行一次T，变换后得到点2B的坐标.【答案】（1）11,3A；（2）244 117(,)2525B.【分析】（1）由已知得将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转角3，再将OA的长度伸长为原来的1倍,得到1OA，可得1A的坐标；（2）计算出110,5 2OBOB，求得22，从而得所以25OB，再可求得7

14、tan24，根据点的位置得32，得724sin,cos2525 ，从而求得44cos125，117sin125，可求得2B的坐标.【详解】（1）由已知得13T，变换是将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转角3，再将OA的长度伸长为原来的1倍,得到1OA，所以1A的坐标是11,3A；（2）因为对点8 6B，进行一次T，换后得到点13 24 2B，所以 222218610,3 24 25 2OBOB，所以5 22102，所以2125 252OBOB，设OB与x轴的正方向的夹角为，则343sin,cos,tan,554 并且344sin,cos,tan,553 根据43tantan734tantan43

15、1tantan24134，因为32，所以724sin,cos2525 ，所以 3244744coscoscossincos525525125 ，42437117sinsincoscossin525525125 ，所以2441175,5125125B，所以2B的坐标为244 117,2525B.【点睛】本题考查根据新定义解决实际问题的能力，关键在于理解新定义的含义，并能根据定义解决问题，在本题中求出和是关键，属于难度题.巩固练习 1.利用两角和与差的余弦公式证明sin()sincoscossin.【难度】【答案】证明：sin()cos()2 cos()cos()cossin()sinsincos

16、cossin222 2.对任意的锐角,，下列不等关系中正确的是（）A.sin()sinsin B.sin()coscos C.cos()coscos D.cos()sinsin【难度】【答案】C 3.已知锐角,满足10103cos,55sin，求【难度】【答案】4【解析】,为锐角且10103cos,55sin 2212 5cos1 sin155910sin1 cos110102 5 3 105102cos()coscossinsin5105102 由02，02得 0 又cos()0 为锐角 4 4.已知,0coscoscos,0sinsinsin且、均为钝角，求角的值.【难度】【答案】43【解

17、析】由已知，.coscoscos,sinsinsin 2+2.cossincoscoscos2cossinsinsin2sin222222,2,2 .34,2 5.已知，12cos13，3sin5，求：sin2、sin2.【难度】【答案】5665；1665【解析】，04，32 又12cos13，3sin5，5sin13，4cos5 sin 2sin 56sincoscossin65 324324 sin2sin16sincoscossin65 6.化简:sin2sin3sin5sin32sin5sin7AAAAAA【难度】【答案】sin3sin5AA【解析】原式sinsin52sin32sin

18、3 cos22sin3sin3sin72sin52sin5 cos22sin5AAAAAAAAAAAA 2sin3(cos21)sin32sin5(cos21)sin5AAAAAA 7.证明：22sincossin()axbxabx，其中tanba.【难度】【答案】证明：（如图）222222sincos(sincos)abaxbxabxxabab 22(sincoscos sin)abxx22sin()abx.8.已知 cos6+sin=354,则 sin67的值是 .【难度】【答案】54 9利用特殊角的值求cos105.【难度】【答案】264【解析】cos105cos(6045)cos60

19、cos 45sin 60 sin 45 122232222464264.10在ABC中，如果coscossinsinABAB，则ABC为（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.锐角或直角三角形【难度】【答案】A 11下列四个命题中假命题是（）A.存在这样的,，使得cos()coscossinsin B.不存在无穷多个,，使得cos()coscossinsin C.对于任意的,，cos()coscossinsin D.不存在这样的,，使得cos()coscossinsin【难度】【答案】B 12求sin3cos1212的值为_.【难度】【答案】2 13如果),2(，且54sin，

20、那么)cos(22)4sin(（）A52 B522 C52 D522【难度】【答案】A 14已知2sinsin2，则coscos的取值范围是_.【难度】【答案】1414,22【解析】令coscost，22sinsin，由2+2，得)cos(22212t.23)cos(22t-2,2.1414,22t 15.已知114 3cos(2),sin(2),0,147424 且求cos()的值.【难度】【答案】1cos()cos(2)(2)2 16.2cos10sin20sin70的值是 ()A.12 B.32 C.3 D.2【难度】【答案】C【解析】原式2cos(3020)sin20sin702(co

21、s30cos20sin30sin20)sin20sin70 3cos20cos20 3.17.若02，则下列各式中，不正确的是（）Asincos1 Bsincos1 Csin()sin()Dcos()cos()【难度】【答案】D 18.已知 A、B 均为钝角，且 sinA55，sinB1010，则 AB 等于 ()A.54 B.74 C.54或74 D.94【难度】【答案】B 19.已知11coscos,sinsin23，则cos()_.【难度】【答案】5972 20已知33350,cos(),sin()4445413，求sin()的值.【难度】【答案】5665 21已知：实数a、b满足221

22、11abba，求证：221ab。【难度】【答案】证明：210b，1b，同理1a.设sinb，,22 ；sina，,22 代入22111abba，得sincoscossin1，即：sin1,22 ，,22 ，,因此2 22222222sinsinsinsincossin12ab.22函数)23sin(5)62sin(12xxy的最大值是()A.2356 B.17 C.13 D.12【难度】【答案】C【解析】)23(2cos5)62sin(12xxy)62sin(13x.最大值为 13.23已知23cos(),(,)41024xx(1)求sinx的值；(2)求sin(2)3x的值【难度】【答案】（

23、1）45；（2）247 350【解析】(1)法一：因为3(,)24x，所以(,)44 2x，27 2sin()1 cos()4410 xx sinsin()44sin()coscos()sin44447 222241021025xxxx 法二：由题设得222cossin2210 xx 即1cossin5xx 又22cossin1xx，从而225sinsin120 xx 解得4sin5x 或3sin5x 因为3(,)24x，所以4sin5x (2)因为3(,)24x 故2243cos1 sin1()55xx 24sin22cos sin25xxx，27cos22cos125xx 所以247 3s

24、in(2)sin2 cos3350 xx 二、两角和与差的正切公式 例 1.利用两角和与差的正弦余弦公式证明 tan（）tantan1tantan 【难度】【答案】证明：tan（）sin()cos()sincoscossincoscossinsintantan1tantan.例2.求值0000tan35tan 253 tan35tan 25_【难度】【答案】3 例 3.如果tan,tan是方程2330 xx的两根,则)cos()sin(_.【难度】【答案】23【解析】tantan3,tantan3 则sinsincoscossincoscossin)cos()sin(23313tantan1t

25、antan.例 4.设2tan()5，41tan()4则4tan()的值是（）A.138 B.322 C.1318 D.1322【难度】【答案】B 例 5.在ABC中，求证：tanAtanBtanCtanAtan BtanC【难度】【答案】证明：tantantan(tantan1)ABCAB,tantantantantan1ABCAB tantantantantantantantantan(tantan)tantan1tantan1tantantantantantantantantan1ABABABCABABABABABABABCAB【巩固训练】1若tan、tan为方程01532 xx的两根，

26、则)tan(=.【难度】【答案】5-4 2已知54sin,tan(+)=1,且是第二象限角,那么 tan的值等于_.【难度】【答案】-7【解析】54sin,是第二象限角,53cos.34tan.tan=tan(+)-7341341tan)tan(1tan)tan(.3已知12tan,tan()25，则tan(2)的值为 _【难度】【答案】121 4已知6，且,满足关系式3(tantan)2tan3tan0b，则tan=_.【难度】【答案】3(1)b 5.oo15tan3115tan3_ _【难度】【答案】1 6.已知实数 a,b 均不为零,tansincoscossinbaba,且6,则ab等

27、于（）A.3 B.33 C.3 D.33【难度】【答案】B【解析】)6tan(tantan33133tan6tantan16tantan tan1tansincoscossinababbaba 33ab故选 B.7.若1cos()2，3cos()5，则tantan_【难度】答案：11 8.已知ABC不是直角三角形，45C，则(1tan)(1tan)AB_【难度】答案：2 9、设角，满足(2tan1)(12tan)5，则tan()的值为_【难度】答案：2 10、已知tantanm，cos()n，则cos()a_【难度】答案：(1)1nmm 11、若tantantan()3，则tantan_【难度

28、】答案：2 12已知,A B为锐角，证明：4 BA的充要条件是(1tan)(1tan)2AB【难度】【答案】证明：(先证充分性)由(1tan)(1tan)2AB即1(tantan)tantan2ABAB 得tan()(1tantan)1tantanABABAB tan()1AB 又0AB 4AB (再证必要性)由.1tantan1tantan4BABABA得整理得(1tan)(1tan)2AB 说明：可类似地证明以下命题：(1)若34，则(1tan)(1tan)2；(2)若54，则(1tan)(1tan)2；(3)若74，则(1tan)(1tan)2 13.已知,(0,)，且11tan(),t

29、an27，求2的值.【难度】【答案】34【解析】1tantan(),tan(2)tan()13 11tan1,0,tan,3472 320,24 14.已知31tan,55cos,(0,)(1)求tan()的值;(2)求函数()2sin()cos()f xxx的最大值.【难度】【答案】（1）1；（2）5【解析】(1)由55cos,(0,)得tan2，552sin,所以1tantan1tantan)tan(.(2)因为31tan，(0,)所以101sin,103cos,xxxxxxfsin5sin552cos55cos55sin553)(.所以()f x的最大值为5.15.已知tan,tan是一

30、元二次方程0432 xx的 2 个根,求2sin2sin2cos2cos的值。【难度】【答案】53【解析】因为 tan,tan是一元二次方程0432 xx的 2 个根 所以3tantan,tantan4 cos2cos22cos()cos()cot()sin2sin22sin()cos()11tantantan()tantan1(4)533 反思总结 公式联系记忆：coscoscossinsin coscoscossinsin sinsincoscossin sinsincoscossin tantantan1tantan tantantan1tantan 使用公式的时候注意把什么看成，什么看成，初学需要圈注一下 利用和差配所求角难度比较大，需要耐心观察