上海市虹口区2021-2022学年九年级上学期期末中考一模数学试卷含详解.pdf

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1、 第1页（共20页）2021-2022 学年上海市虹口区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确项的代号并填入答题纸的相应位置。1（4 分）下列选项中的两个图形一定相似的是（）A两个等腰三角形 B两个矩形 C两个菱形 D两个正方形 2（4 分）在 RtABC 中，C90，BC12，AC5，那么 cotB 等于（）A B C D 3（4 分）已知 7，下列说法中不正确的是（）A 7 0 B 与 方向相同 C D|7|4（4 分）下列函数中，属于二次函数的是（）Ay By（xl）2x2 C

2、y5x2 Dy 5（4 分）在ABC 中，点 E、D、F 分别在边 AB、BC、AC 上，联结 DE、DF，如果 DEAC，DFAB，AE：EB3：2，那么 AF：FC 的值是（）A B C D 6（4 分）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面 AB 宽为 20 米，拱桥的最高点 O 到水面 AB 的距离为 4 米如果此时水位上升 3 米就达到警戒水位 CD，那么 CD 宽为（）A4米 B10 米 C4米 D12 米 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）请将结果直接填入答题纸的相应位置 7（4 分）如果，那么 8（4 分）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割

3、点，APPB若 AB2，则 AP 9（4 分）如果向量、满足（+），那么 （用向量、表示）10（4 分）二次函数 y（m1）x2+x+m21 的图象经过原点，则 m 的值为 11（4 分）如果抛物线 y（2a）x2+2 开口向下，那么 a 的取值范围是 12（4 分）如果抛物线过点（2，3），且与 y 轴的交点是（0，3），那么抛物线的对称轴是直线 第2页（共20页）13（4 分）已知点 A（x1，y1）、B（x2，y2）为函数 y2（x1）2+3 的图象上的两点，若 x1x20，则 y1 y2（填“”、“”或“”），14（4 分）如果一个斜坡的坡度 i1：，那么该斜坡的坡角为 度 15（4

4、分）已知 RtABC 的两直角边之比为 3：4，若DEF 与ABC 相似，且DEF 最长的边长为 20，则DEF的周长为 16（4 分）如图，过ABC 的重心 G 作上 EDAB 分别交边 AC、BC 于点 E、D，联结 AD，如果 AD 平分BAC，AB6，那么 EC 17（4 分）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”如图，在 44的网格中，ABC 是一个格点三角形，如果DEF 也是该网格中的一个格点三角形，它与ABC 相似且面积最大，那么DEF 与ABC 相似比的值是 18（4 分）如图，在ABC 中，ABAC15，sinA点 D、E 分别在 AB

5、和 AC 边上，AD2DB，把ADE沿着直线 DE 翻折得DEF，如果射线 EFBC，那么 AE 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19（10 分）计算：20（10 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表：x 2 1 0 1 2 y 3 4 3 0 5 （1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线 yax2+bx+c 沿 x 轴向右平移 m（m0）个单位，使得新抛物线经过原点 O，求 m 的值以及新抛物线的表达式 21（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，延长 BC 到点 E，使 CEBC，联结 AE 交 DC 于点 F，设

6、，第3页（共20页）（1）用向量、表示；（2）求作：向量分别在、方向上的分向量（不要求写作法，但要写明结论）22（10 分）图 1 是一款平板电脑文架，由托板、支撑板和底座构成工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上图 2 是其侧面结构示意图，已知托板 AB 长 200mm，支撑板 CB 长 80mm，当ABC130，BCD70时，求托板顶点 A 到底座 CD 所在平面的距离（结果精确到 1mm）（参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75，1.41，1.73）23（12 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABC90，ADBC，BC2AD，对角线 AC 与 B

7、D 交于点 E点 F 是线段 EC 上一点，且BDFBAC（1）求证：EB2EFEC；（2）如果 BC6，sinBAC，求 FC 的长 24（12 分）已知开口向上的抛物线 yax24ax+3 与 y 轴的交点为 A，顶点为 B，点 A 与点 C 关于对称轴对称，直线 AB 与 OC 交于点 D（1）求点 C 的坐标，并用含 a 的代数式表示点 B 的坐标；（2）当ABC90时，求抛物线 yax24ax+3 的表达式；（3）当ABC2BCD时，求OD的 第4页（共20页）长 25（14 分）已知：如图，在ABC 中，ACB90，AB10，tanB，点 D 是边 BC 延长线上的点，在射线AB

8、上取一点 E，使得ADEABC过点 A 作 AFDE 于点 F（1）当点 E 在线段 AB 上时，求证：；（2）在（1）题的条件下，设 CDx，DEy，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）记 DE 交射线 AC 于点 G，当AEFAGF 时，求 CD 的长 第5页（共20页）2021-2022 学年上海市虹口区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确项的代号并填入答题纸的相应位置。1（4 分）下列选项中的两个图形一定相似的是（）A两个等腰三

9、角形 B两个矩形 C两个菱形 D两个正方形【分析】形状相同的图形称为相似图形结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可【解答】解：A任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；B任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；C任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；D任意两个正方形的对应角对应相等、对应边的比相等，故一定相似，本选项符合题意；故选：D 2（4 分）在 RtABC 中，C90，BC12，AC5，那么 cotB 等于（）A B C D【分析】直接利用余切的定义求解【解答】解：C90，BC12，AC5，

10、cotB 故选：C 3（4 分）已知 7，下列说法中不正确的是（）A 7 0 B 与 方向相同 C D|7|【分析】根据平面向量的定理逐一判断即可【解答】解：7，；与 方向相同；|7|，故 A 不正确；B、C、D 正确，故选：A 4（4 分）下列函数中，属于二次函数的是（）Ay By（xl）2x2 Cy5x2 Dy【分析】一般地，形如 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）的函数，叫做二次函数根据定义进行判断即可 【解答】解：Ay是二次根式形式，不是二次函数，故不符合题意；第6页（共20页）By（xl）2x2x22x+1x22x+1，是一次函数，故不符合题意；Cy5x2，是二次函数，故

11、符合题意；Dyx2，不是二次函数，故不符合题意；故选：C 5（4 分）在ABC 中，点 E、D、F 分别在边 AB、BC、AC 上，联结 DE、DF，如果 DEAC，DFAB，AE：EB3：2，那么 AF：FC 的值是（）A B C D【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可【解答】解：如图：DEAC，AE：EB3：2，DFAB，故选：B 6（4 分）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面 AB 宽为 20 米，拱桥的最高点 O 到水面 AB 的距离为 4 米如果此时水位上升 3 米就达到警戒水位 CD，那么 CD 宽为（）A4米 B10 米 C4米 D1

12、2 米【分析】以 O 点为坐标原点，AB 的垂直平分线为 y 轴，过 O 点作 y 轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为 yax2，由此可得 A（10，4），B（10，4），即可求函数解析式为 yx2，再将 y1 代入解析式，求出 C、D 点的横坐标即可求 CD 的长【解答】解：以 O 点为坐标原点，AB 的垂直平分线为 y 轴，过 O 点作 y 轴的垂线，建立直角坐标系，第7页（共20页）设抛物线的解析式为 yax2，O 点到水面 AB 的距离为 4 米，A、B 点的纵坐标为4，水面 AB 宽为 20 米，A（10，4），B（10，4），将 A 代入 yax2，4100a，a，yx2

13、，水位上升 3 米就达到警戒水位 CD，C 点的纵坐标为1，1x2，x5，CD10，故选：B 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）请将结果直接填入答题纸的相应位置 7（4 分）如果，那么 【分析】根据比例的性质设 m5k，n6k，再代入计算求解即可【解答】解：设 m5k，n6k，故答案为：8（4 分）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，APPB若 AB2，则 AP 【分析】根据黄金分割点的定义，知 AP 是较长线段；则 APAB，代入数据即可得出 AP 的长【解答】解：由于 P 为线段 AB2 的黄金分割点，且 AP 是较长线段；则 AP21 9（4 分）如果向量

14、、满足（+），那么 （用向量、表示）【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可【解答】解：（+），第8页（共20页），故答案为：10（4 分）二次函数 y（m1）x2+x+m21 的图象经过原点，则 m 的值为 1 【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求 m 即可【解答】解：点（0，0）在抛物线 y（m1）x2+x+m21 上，m210，解得 m11 或 m21，m1 不合题意，m1 故答案为：1 11（4 分）如果抛物线 y（2a）x2+2 开口向下，那么 a 的取值范围是 a2 【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数 2a0【解答】解：抛物线 y（

15、2a）x2+2 开口向下，2a0，即 a2，故答案为：a2 12（4 分）如果抛物线过点（2，3），且与 y 轴的交点是（0，3），那么抛物线的对称轴是直线 x1 【分析】根据点（2，3）和（0，3）即可确定抛物线的对称轴【解答】解：当 x2 和 x0 时，y 的值都是 3，该抛物线的对称轴为直线 x，故答案为：x1 13（4 分）已知点 A（x1，y1）、B（x2，y2）为函数 y2（x1）2+3 的图象上的两点，若 x1x20，则 y1 y2（填“”、“”或“”），【分析】根据二次函数的增减性即可得出结论【解答】解：y2（x1）2+3，抛物线 y2（x1）2+3 的开口向下，对称轴为 x1

16、，在 x1 时，y 随 x 的增大而增大，x1x20，y1y2 故答案为：14（4 分）如果一个斜坡的坡度 i1：，那么该斜坡的坡角为 60 度【分析】坡度坡角的正切值，据此直接解答 第9页（共20页）【解答】解：tan，60，故答案为：60 15（4 分）已知 RtABC 的两直角边之比为 3：4，若DEF 与ABC 相似，且DEF 最长的边长为 20，则DEF的周长为 48 【分析】根据相似三角形的性质得到DEF 是直角三角形，且两直角边之比为 3：4，根据勾股定理计算，得到答案【解答】解：RtABC 的两直角边之比为 3：4，DEF 与ABC 相似，DEF 是直角三角形，且两直角边之比为

17、 3：4，设一条直角边为 3x，则另一条直角边为 4x，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2202，解得：x14，x24（舍去），DEF 的一条直角边为 12，则另一条直角边为 16，DEF 的周长12+16+2048，故答案为：48 16（4 分）如图，过ABC 的重心 G 作上 EDAB 分别交边 AC、BC 于点 E、D，联结 AD，如果 AD 平分BAC，AB6，那么 EC 8 【分析】连接 CG 并延长，交 AB 于 F根据三角形重心的定义及性质可得，AFBFAB3，CG：GF2：1，即根据平行线分线段成比例定理得出，求出 DGEG2，那么 DE4利用角平分线定义及平行线的性质得出A

18、DEDAC，那么 AEDE4再根据平行线分线段成比例定理即可求出 CE8【解答】解：如图，连接 CG 并延长，交 AB 于 F G 为ABC 的重心，AFBFAB63，CG：GF2：1，即 EDAB，即，解得 DGEG2，DEDG+EG2+24 AD 平分BAC，BADDAC，第10页（共20页）DEAB，ADEBAD，ADEDAC，AEDE4 EDAB，即，解得 CE8 故答案为：8 17（4 分）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”如图，在 44的网格中，ABC 是一个格点三角形，如果DEF 也是该网格中的一个格点三角形，它与ABC 相似且面积最大，

19、那么DEF 与ABC 相似比的值是 【分析】根据表格求出 AB，BC，AC 的长，由题意画出DEF 与ABC 相似，且面积最大，求出相似比即可【解答】解：由表格可得：AB，BC2，AC，如图所示：作DEF，DE2，DF2，EF2，DEFABC，则DEF 与ABC 相似比的值是 故答案为：18（4 分）如图，在ABC 中，ABAC15，sinA点 D、E 分别在 AB 和 AC 边上，AD2DB，把ADE沿着直线 DE 翻折得DEF，如果射线 EFBC，那么 AE 30（2）第11页（共20页）【分析】过点 C 作 CPAB 于点 P，sinA和勾股定理可得 AP 的长，进而可得 tanB2，根

20、据题意把ADE 沿着直线 DE 翻折得DEF，AEEF，根据等腰三角形可得 tanCtanB2，所以2，设 FCx，则 EF2x，根据 AEEF 列出方程 15x2x，解得 x 的值进而可以解决问题【解答】解：如图，过点 C 作 CPAB 于点 P，sinA ABAC15，PC12，AP9，PBABAP1596，tanB2，如图，根据题意把ADE 沿着直线 DE 翻折得DEF，AEEF，EFBC，EFC90，ABAC，CB，tanCtanB2，2，设 FCx，则 EF2x，第12页（共20页）ECx，AEACEC15x，AEEF，15x2x，解得 x15（2），AE30（2）故答案为：30（2

21、）三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19（10 分）计算：【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可【解答】解：3+20（10 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表：x 2 1 0 1 2 y 3 4 3 0 5 （1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线 yax2+bx+c 沿 x 轴向右平移 m（m0）个单位，使得新抛物线经过原点 O，求 m 的值以及新抛物线的表达式【分析】（1）利用抛物线的对称性得到抛物线的顶点坐标为（1，4），则可设顶点式 ya（x+1）2+4，然后把（0，3）代入求出 a 即可；（2）根据平移的规律

22、得到 y（x+1m）2+4，把原点代入即可求得 m 的值，从而求得平移后的抛物线的不等式【解答】解：（1）x2，y3；x0，y3，抛物线的对称轴为直线 x1，则抛物线的顶点坐标为（1，4），设抛物线解析式为 ya（x+1）2+4，把（0，3）代入得 a（0+1）2+43，解得 a1，抛物线解析式为 y（x+1）2+4；（2）将抛物线 yax2+bx+c 沿 x 轴向右平移 m（m0）个单位，得到 y（x+1m）2+4，第13页（共20页）经过原点，0（0+1m）2+4，解得 m13，m21（舍去），m3，新抛物线的表达式为 y（x2）2+4 21（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，延

23、长 BC 到点 E，使 CEBC，联结 AE 交 DC 于点 F，设，（1）用向量、表示；（2）求作：向量分别在、方向上的分向量（不要求写作法，但要写明结论）【分析】（1）利用三角形法则解决问题即可；（2）利用平行四边形法则解决问题即可【解答】解：（1）四边形 ABCD 时平行四边形，ADBC，ABCD，ADBC，ABCD，CEBC，+；（2）如图，过点 F 作 FMAD 交 AB 于点 M，即为向量分别在、方向上的分向量 22（10 分）图 1 是一款平板电脑文架，由托板、支撑板和底座构成工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上图 2 是其侧面结构示意图，已知托板 AB 长 200

24、mm，支撑板 CB 长 80mm，当ABC130，BCD70时，求托板顶点 A 到底座 CD 所在平面的距离（结果精确到 1mm）（参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75，1.41，1.73）第14页（共20页）【分析】作 BHCD 于 H，作 BFCD 且 AFFB，根据三角函数求出 AF+BH 即为所求【解答】解：如下图，作 BHCD 于 H，作 BFCD 且 AFFB，FBCC，ABFABCFBCABCC1307060，AB200mm，CB80mm，BHBCsinC800.9475（mm），AFABsinABF2001.732173（mm），173+7524

25、8（mm），托板顶点 A 到底座 CD 所在平面的距离为 248mm 23（12 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABC90，ADBC，BC2AD，对角线 AC 与 BD 交于点 E点 F 是线段 EC 上一点，且BDFBAC（1）求证：EB2EFEC；（2）如果 BC6，sinBAC，求 FC 的长 【分析】（1）先由 ADBC 得到EADECB，从而得到，然后由BDFBAC、AEBDEF得证EABEDF，进而得到，最后得到结果；（2）先利用条件得到 AC、AB 的长，然后利用 BC2AD 得到 AD、BD 的长，再结合相似三角形的性质得到 EB、EC 的长，进而得到 EF 的长和 FC 的

26、长 第15页（共20页）【解答】（1）证明：ADBC，EADECB，即，BDFBAC，AEBDEF，EABEDF，EB2EFEC（2）解：BC6，sinBAC，BC2AD AC9，AD3，ABC90，ADBC，BAD90，AB3，BD3，EADECB，ECAC96，EBBD32，EB2EFEC，即（2）26EF，EF4，FCECEF642 24（12 分）已知开口向上的抛物线 yax24ax+3 与 y 轴的交点为 A，顶点为 B，点 A 与点 C 关于对称轴对称，直线 AB 与 OC 交于点 D（1）求点 C 的坐标，并用含 a 的代数式表示点 B 的坐标；（2）当ABC90时，求抛物线 y

27、ax24ax+3 的表达式；（3）当ABC2BCD时，求OD的 第16页（共20页）长【分析】（1）由函数的对称轴为直线 x2，结合函数的对称性即可求点的坐标；（2）过点 B 作 BGy 轴交于点 G，则可知 AGBG2，从而求出 B（2，1），可求 a 的值；（3）过点 B 作 BHOC 交于点 H，连接 AC，求出 tanAOCtanHNB，设 HB4x，则 HN3x，再求出 tanHCB，根据OCBNBCABN，可得，即可求 a1，再由AODBND，得到等式，从而求出 OD【解答】解：（1）令 x0，则 y3，A（0，3），yax24ax+3a（x2）2+34a，对称轴为直线 x2，点

28、A 与点 C 关于对称轴对称，C（4，3），B（2，34a）；（2）如图 1，过点 B 作 BGy 轴交于点 G，ABC90，OAB45，AGBG2，B（2，1），34a1，a，yx22x+3；（3）如图 2，过点 B 作 BHOC 交于点 H，连接 AC，ABC2BCD，NBCCNB，ONB2OCB，第17页（共20页）NBy 轴，AOCONB，AC4，AO3，tanAOC，tanHNB，设 HB4x，则 HN3x，NB5x，NBCN5x，CH8x，tanHCB，OCBNBCABN，a1，yx24x+3，B（2，1），N 是 OC 的中点，N（2，），BN，ON，AOBN，AODBND，即，

29、OD 第18页（共20页）25（14 分）已知：如图，在ABC 中，ACB90，AB10，tanB，点 D 是边 BC 延长线上的点，在射线AB 上取一点 E，使得ADEABC过点 A 作 AFDE 于点 F（1）当点 E 在线段 AB 上时，求证：；（2）在（1）题的条件下，设 CDx，DEy，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）记 DE 交射线 AC 于点 G，当AEFAGF 时，求 CD 的长 【分析】（1）证明ADEABD 及ADFABC，进而命题得证（2）根据ADEABD 得出，进而得出 y 与 x 的关系式，当 x0 时，求得此时 DE 长，进而求得 x的

30、范围；（3）当 G 在线段 AC 上时，延长 AF 交 BC 于 M，作 MNAB 于 N，可推出 CMCD，根据 AM 平分BAC，推出 MNCM，根据面积法求得 CM，从而得出 CD，G 点在 AC 的延长线上不存在【解答】（1）证明：ADEABC，DAEBAD，ADEABD，AFDE，AFDACB90，ADFABC，；（2）解：ACB90，tanB，第19页（共20页）tanB，设 AC3a，BC4a，AC2+BC2AB2，（3a）2+（4a）2102，a2，AC6，BC8，AD，由（1）得，y，当 x0 时，此时 DEAB，由 SABC得，10DE68，DE，x；（3）解：如图 1，当 G 在线段 AC 上时，延长 AF 交 BC 于 M，作 MNAB 于 N，AEFAGF，AEFAGF，AFAG，EAFGAF，DAFBAC，DACGAF，ACBD，AMCACD，第20页（共20页）AMAD，CMCD，AM 平分BAC，MNCM，由 SABCSABM+SACM得，16CM48，CM3，CD3 如图 2，当 G 点在 AC 的延长线上时，AEFAGF，AEFAGF，AGF 是AEF 的外角，AGFAEF，这种情形不存在，CD3