2023学年黑龙江省大兴安岭漠河县高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析.pdf

《2023学年黑龙江省大兴安岭漠河县高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023学年黑龙江省大兴安岭漠河县高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析.pdf（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知ABC为等腰直角三角形，2A，2 2BC，M为ABC所在平面内一点，且11

2、42CMCBCA，则MB MA（）A2 24 B72 C52 D12 2设 a=log73，13blog 7，c=30.7，则 a，b，c 的大小关系是（）Aabc Bcba Cbca Dbac 3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若22coscosbAaBc，3b，3cos1A，则a（）A5 B3 C10 D4 4已知集合2|1Ax x,2|log1Bxx，则 A|02ABxx B|2ABx x C|2ABx x D|12ABxx 5如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰直角三角形，2AB，2BADCBD，且二面角ABDC的大小为23，若四面体ABCD的顶点都在球O

3、上，则球O的表面积为（）A223 B283 C2 D23 6若直线 不平行于平面，且，则（）A 内所有直线与 异面 B 内只存在有限条直线与 共面 C 内存在唯一的直线与 平行 D 内存在无数条直线与 相交 7已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A3 B103 C113 D83 8某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为 120，并在扇形弧上正面等距安装 7 个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为 30 厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（）A58 厘米 B63 厘米 C69 厘米 D76 厘米 9过点6(2 6)2P

4、，的直线l与曲线213yx交于AB，两点，若25PAAB，则直线l的斜率为()A23 B23 C23或23 D23或31 10已知 m 为实数，直线1l：10mxy，2l：3220mxmy，则“1m”是“12/ll”的（）A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 11已知 ab0，c1，则下列各式成立的是（）Asinasinb Bcacb Cacbc D11ccba 12下列函数中，值域为R的偶函数是（）A21yx Bxxyee Clgyx D2yx 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知等比数列 na的前n项和为nS，1352aa，

5、且2454aa，则66=Sa_.14在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，120ABC，ABC的平分线交AC于点 D，且1BD，则4ac的最小值为 _ 15数据1,3,5,7,9的标准差为_ 16抛物线24yx上到其焦点F距离为 5 的点有_个 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）设实数,x y满足3xy.（1）若32xx y，求x的取值范围；（2）若0 x，0y，求证：1111xy.18（12 分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了200人进行问卷调查调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：满意 不满意 男 4

6、0 40 女 80 40 1是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？2若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了6人发放价值100元的购物券若在获得了100元购物券的6人中随机抽取2人赠其纪念品，求获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率 附表及公式：22n adbcKabcdacbd 20P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19（12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2:20E ypx p的焦点为F，准线为l，P是抛物线

7、上E上一点，且点P的横坐标为2，3PF.（1）求抛物线E的方程；（2）过点F的直线m与抛物线E交于A、B两点，过点F且与直线m垂直的直线n与准线l交于点M，设AB的中点为N，若O、MN、F四点共圆，求直线m的方程.20（12 分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从,A B C D E五所高校中任选 2 所（1）求甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率；（2）若已知甲同学特别喜欢A高校，他必选A校，另在,B C D E四校中再随机选 1 所；而同学乙和丙对五所高校没有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选 2 所（i）求甲同学选D高校且乙、丙都未选D高校的概率；（ii

8、）记X为甲、乙、丙三名同学中选D高校的人数，求随机变量X的分布列及数学期望 21（12 分）已知变换T将平面上的点11,2，(0,1)分别变换为点9,24，3,42设变换T对应的矩阵为M （1）求矩阵M；（2）求矩阵M的特征值 22（10 分）如图，在正四棱锥PABCD中，2AB，3APC，M为PB上的四等分点，即14BMBP （1）证明：平面AMC 平面PBC；（2）求平面PDC与平面AMC所成锐二面角的余弦值 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】以 AB,AC 分别为 x 轴和 y 轴建立坐

9、标系，结合向量的坐标运算，可求得点M的坐标，进而求得,MB MA，由平面向量的数量积可得答案.【详解】如图建系，则0,0A，2,0B，0,2C，由1142CMCBCA，易得1 1,2 2M，则31111,22222MB MA .故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2D【解析】71log 30a，13log 70b，0.731c 得解【详解】71log 30a，13log 70b，0.731c，所以bac，故选 D【点睛】比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法 3B【解析】由正弦定理及条件可得

10、2 sincossincossinBAABcC，即2sin2sinsinABCcC.sin0C，2c，由余弦定理得2222212cos232 2 393abcbcA 。3a.选 B。4D【解析】因为2|1|11Ax xxx,2|log1|02Bxxxx,所以|01ABxx,|12ABxx,故选 D 5B【解析】分别取BD、CD的中点M、N，连接AM、MN、AN，利用二面角的定义转化二面角ABDC的平面角为23AMN，然后分别过点M作平面ABD的垂线与过点N作平面BCD的垂线交于点O，在Rt OMN中计算出OM，再利用勾股定理计算出OA，即可得出球O的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案【详

11、解】如下图所示，分别取BD、CD的中点M、N，连接AM、MN、AN，由于ABD是以BAD为直角等腰直角三角形，M为BD的中点，AMBD，2CBD，且M、N分别为BD、CD的中点，所以，/MN BC，所以，MNBD，所以二面角ABDC的平面角为23AMN，2ABAD，则222BDABAD，且2BC，所以，112AMBD，112MNBC，ABD是以BAD为直角的等腰直角三角形，所以，ABD的外心为点M，同理可知，BCD的外心为点N，分别过点M作平面ABD的垂线与过点N作平面BCD的垂线交于点O，则点O在平面AMN内，如下图所示，由图形可知，2326OMNAMNAMO，在Rt OMN中，3cos2M

12、NOMNOM，2 3332MNOM，所以，22213OAOMAM，所以，球O的半径为213R，因此，球O的表面积为2221284433R.故选：B.【点睛】本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题 6D【解析】通过条件判断直线 与平面 相交，于是可以判断 ABCD 的正误.【详解】根据直线 不平行于平面，且可知直线 与平面 相交，于是 ABC 错误，故选 D.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.7B【解析】由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：直三棱柱的体积为1 2 2 242 ，

13、消去的三棱锥的体积为112 2 1 2323 ，几何体的体积210433V，故选 B.点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.8B【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为弧长比较短的情况下分成 6 等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，故导线长度约为23020363(厘米).故选：B.【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.9A【解析

14、】利用切割线定理求得,PAAB，利用勾股定理求得圆心到弦AB的距离，从而求得30APO，结合45POx，求得直线l的倾斜角为15，进而求得l的斜率.【详解】曲线213yx为圆2213xy的上半部分，圆心为0,0，半径为13.设PQ与曲线213yx相切于点Q，则2PQPAPBPAPAAB2225375PAPOOQ 所以5,2PAAB，O到弦AB的距离为13 12 3，2 32 31sin22 62OPAPO，所以30APO，由于45POx，所以直线l的倾斜角为453015，斜率为tan 45tan30tan15tan 4530231tan 45tan30.故选：A 【点睛】本小题主要考查直线和圆

15、的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.10A【解析】根据直线平行的等价条件，求出 m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】当 m=1 时，两直线方程分别为直线 l1：x+y1=0，l2：x+y2=0 满足 l1l2，即充分性成立，当 m=0 时，两直线方程分别为 y1=0，和2x2=0，不满足条件 当 m0 时，则 l1l232211mmm，由321mmm得 m23m+2=0 得 m=1 或 m=2，由211m得 m2，则 m=1，即“m=1”是“l1l2”的充要条件，故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对

16、这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a xb yc和直线2220a xb yc平行，则1 22 10a ba b且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.11B【解析】根据函数单调性逐项判断即可【详解】对 A,由正弦函数的单调性知 sina 与 sinb 大小不确定，故错误；对 B,因为 ycx为增函数，且 ab，所以 cacb，正确 对 C,因为 yxc为增函数,故ccab，错误；对 D,因为1cyx在0,为减函数，故11ccba，错误 故选 B【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题 12C【解析】试题分

17、析：A 中，函数为偶函数，但1y，不满足条件；B 中，函数为奇函数，不满足条件；C 中，函数为偶函数且yR，满足条件；D 中，函数为偶函数，但0y，不满足条件，故选 C 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1363【解析】由题意知241312aaqaa，继而利用等比数列 na的前n项和为nS的公式代入求值即可.【详解】解：由题意知241312aaqaa，所以6166655661(1)11()112631(1)()2aqSqqaa qqq.故答案为：63.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题.149【解析】分析

18、：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABCABDBCDSSS,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201 sin601 sin60222acac ，化简得11,1acacac，因此11444(4)()5529,cacaacacacacac 当且仅当23ca时取等号，则4ac的最小值为9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.152 2【解析】先计算平均数再求解方差与标准差即可.【

19、详解】解：样本的平均数1 357955x ,这组数据的方差是22222211 5355575955S 28,S 标准差2 2S,故答案为：2 2【点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.162【解析】设符合条件的点00(,)P xy,由抛物线的定义可得015PFx,即可求解.【详解】设符合条件的点00(,)P xy,则00015,4,4PFxxy,所以符合条件的点有 2 个.故答案为:2【点睛】本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）3,（2）证明见解析【解析】（1）依题意可得31xxx，考虑到0 x，则

20、有31xxx 再分类讨论可得；（2）要证明1111xy，即证11xyxy，即证14xy.利用基本不等式即可得证；【详解】解：（1）由32xx y及3xy，得31xxx，考虑到0 x，则有31xxx，它可化为 01,31,xxxx或1,31.xxx x 即201,30,xx 或21,230.xxx 前者无解，后者的解集为3x x，综上，x的取值范围是3,.（2）要证明1111xy，即证11xyxy，由3xy，得14xy，即证14xy.因为22141422xyxy（当且仅当1x，2y 时取等号）.所以14xy成立，故1111xy成立.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，基本不等式的应用，属于

21、中档题.18 1有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；2815.【解析】1由题得2505.5565.0249K，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为1A，2A；女顾客有4人，记为1B，2B，3B，4B从中随机抽取2人，所有基本事件有15个，其中仅有 1 人是女顾客的基本事件有8个，进而求出获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率.【详解】解析：1由题得22200 40 4080 40505.5565.024120 80 80 1209K 所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关 2获得了100元购物券的

22、6人中男顾客有2人，记为1A，2A；女顾客有4人，记为1B，2B，3B，4B 从中随机抽取2人，所有基本事件有：12,A A，11,A B，12,A B，13,A B，14,A B，21,A B，22,A B，23,A B，24,A B，12,B B，13,B B，14,B B，23,B B，24,B B，34,B B，共15个 其中仅有 1 人是女顾客的基本事件有：11,A B，12,A B，13,A B，14,A B，21,A B，22,A B，23,A B，24,A B，共8个 所以获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率815P【点睛】本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，

23、考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题 19（1）24yx（2）21yx 【解析】（1）由抛物线的定义可得22pPF，即可求出p，从而得到抛物线方程；（2）设直线m的方程为1xty，代入24yx，得2440yty.设11,A x y，22,B x y，列出韦达定理，表示出中点N的坐标，若O、M、N、F四点共圆，再结合FNFM，得OMON，则0OM ON即可求出参数t，从而得解；【详解】解：（1）由抛物线定义，得232pPF，解得2p，所以抛物线E的方程为24yx.（2）设直线m的方程为1xty，代入24yx，得2440yty.设11,A x y，22,B x y，则124

24、yyt，124y y .由2114yx，2224yx，得 22222121212122424424444yyy ytyyxxt，所以221,2Ntt.因为直线m的斜率为1t，所以直线n的斜率为t，则直线n的方程为1yt x.由1,1,xyt x 解得1,2Mt.若O、M、N、F四点共圆，再结合FNFM，得OMON，则2212122210OM ONtttt ，解得22t ，所以直线m的方程为21yx.【点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.20（1）8125（2）（i）9100（ii）分布列见解析，21()20E X 【解析】（1）先计算甲、乙、丙同学分别选择

25、 D 高校的概率，利用事件的独立性即得解；（2）（i）分别计算每个事件的概率，再利用事件的独立性即得解；（ii）0,1,2,3X，利用事件的独立性，分别计算对应的概率，列出分布列，计算数学期望即得解.【详解】（1）甲从,A B C D E五所高校中任选 2 所，共有,AB AC AD AE BC BD,BE CD CE DE共 10 种情况，甲、乙、丙同学都选D高校，共有,AD BD CD DE四种情况，甲同学选D高校的概率为42105，因此乙、丙两同学选D高校的概率为25,因为每位同学彼此独立，所以甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率为3285125（2）（i）甲同学必选A校且选D高校的概率为

26、14，乙未选D高校的概率为63105，丙未选D高校的概率为63105，因为每位同学彼此独立，所以甲同学选D高校且乙、丙都未选D高校的概率为1339455100（ii）0,1,2,3X，因此33327(0),(1)455100P XP X13332392,45545520 1231323226(2)45545545525P X，1221(3)45525P X 即X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27100 920 625 125 因此数学期望为 2796121()012310020252520E X 【点睛】本题考查了事件独立性的应用和随机变量的分布列和期望，考查了学生综合分析，概念理解，实

27、际应用，数学运算的能力，属于中档题.21（1）33244M（2）1 或 6【解析】（1）设abMcd，根据变换可得关于a b c d,的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案；【详解】（1）设abMcd，则194122abcd ，30214abcd ，即1924122324abcdbd ，解得33244abcd ，则33244M（2）设矩阵M的特征多项式为()f，可得233()(3)(24)676244f，令()0f，可得1或6【点睛】本题考查矩阵的求解、矩阵M的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.22（1）答案见解析（2）217【解析】

28、（1）根据题意可得2 2PBPDPAPC，在PAM中，利用余弦定理可得AMPB，然后同理可得CMPB，利用面面垂直的判定定理即可求解.（2）以D为原点建立直角坐标系，求出面PDC的法向量为1n，AMC的法向量为2n，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）由22 2ABAC 由2 23APCPAPCAC 因为是正四棱锥，故2 2PBPDPAPC 于是22BM，322PM 由余弦定理，在PAB中，设APB 2223cos24PAPBABPA PB 再用余弦定理，在PAM中，2222cosAMPAPMPA PM72 22271422AMMBAB AMB是直角，AMPB 同理CMPB，而PB在平面PBC上，平面AMC 平面PBC（2）以D为原点建立直角坐标系，如图：则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,1,6),(2,2,0)DCAPB 设面PDC的法向量为1n，AMC的法向量为2n 则1(0,2 6,2)nPDDC 2nPB，取2(1,1,6)nPB 于是，二面角的余弦值为：121221cos7|n nnn【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角，属于基础题.