2023届高考数学9高分突破智取压轴小题09 复杂数列的通项公式求解问题含答案.doc

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1、2023届高考数学9高分突破，智取压轴小题09 复杂数列的通项公式求解问题一方法综述 数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.二解题策略来源:学科网ZXXK类型一 数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题【例1】（2020江西九江模拟）将一些数排成倒三角形如图所示，其

2、中第一行各数依次为1，2，3，2018，从第二行起，每一个数都等于他“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M（ ）A201822015B201922016C201822016D201922017【答案】B【解析】【分析】记第行的第一个数为，由规律可总结得到，构造出，可知为等差数列，从而可求得，根据共行，知，代入可求得结果.【详解】记第行的第一个数为，则，即是以为首项，为公差的等差数列 又每行比上一行的数字少个 最后一行为第行,故选：【点睛】本题考查由数列中的项求解通项公式的问题，关键是能够通过每一行首个数字所呈现出的规律，总结出递推关系式，利用构造的方式得到等差数列，从而求得数列的通项

3、公式.【举一反三】5以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角”:该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为ABCD【答案】B【解析】观察每一行第一个数的规律：第一行的第一个数为，第二行的第一个数为，第三行的第一个数为，第四行的第一个数为，第行的第一个数为，表中一共2018行，第2018行的第一个数即，故选B2（2020河南省实验中学）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近

4、的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（ ）A3972B3974C3991D3993【答案】D【解析】【分析】根据题意知，每次涂成红色的数字成等差数列，并且第n次染色时所染的最后一个数是n(2n-1)，可以求出2019个数是在第45次染色的倒数第7个数，因此可求得结果【详解】第1此染色的数为1=1 ，共染色1个，第2次染色的最后一个数为6=2，共染色3个，第3次染色的最后一个数为15=3，共染色5个

5、，第4次染色的最后一个数为28=4，共染色7个，第5次染色的最后一个数为45=5，共染色9个，第n次染色的最后一个数为n，共染色2n-1个，经过n次染色后被染色的数共有1+3+5+（2n-1）=n2个，而2019，第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为45，且相邻两个数相差2，2019453993故选D3.（2020南充模拟）如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为_【答案】12【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列的通项公式，再把第一行的数当成首项

6、，再次根据等差数列这一性质求出第数列组成的数列，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标进行表示，其中代表行，代表列.例如：表示第行第列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列.类型二 函数问题中涉及到的数列通项公式问题【例2】已知

7、，又函数是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）ABCD【答案】C【解析】在R上为奇函数，故,代入得: 当时,.令,则,上式即为:.当为偶数时:.当为奇数时:.综上所述,.所以C选项是正确的.【举一反三】（2020上海中学高三期中）对函数设，则函数的零点个数的通项公式为_；【答案】【解析】计算易知：，则当时，得到即，对应数列为；当时，得到即，（舍去），继续迭代得到 即当时：方程的解的个数为，；当时：方程的解的个数为，；当时：方程的解的个数为，.综上所述：2.（2020河北省石家庄市模拟）定义在正实数上的函数，其中表示不小于x的最小整数，如，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则=_.【答案

8、】【解析】易知：当n=1时，因为x（0，1，所以x=1，所以xx=1，所以.当n=2时，因为x（1，2，所以x=2，所以xx（2，4，所以.当n=3时，因为x（2，3，所以x=3，所以xx=3x（6，9，；当n=4时，因为x（3，4，所以x=4，所以xx=4x（12，16，所以；当n=5时，因为x（4，5，所以x=5，所以xx=5x（20，25，所以.由此类推：.故 .【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知

9、识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.3.已知是上的奇函数， ，则数列的通项公式为 【答案】【解析】是奇函数，令， ，令， ，学科&网令，令，同理可得，类型三 由复杂递推公式求解数列通项公式问题【例3】（2020天津市第一百中学高三）已知数列满足，若，则数列的通项（ ）ABCD【答案】B【解析】 , ,则 ,数列是首项为2，公比为2的等比数列， ，利用叠加法， ， ，则.选B.【举一反三】1（2020安

10、徽高考模拟）已知首项为的正项数列满足，若，则实数的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】已知关系式可得：，令，可得；利用对数法可证得为等比数列，从而可求得，进而得到，表示出后与已知条件对应，则可求得的值.【详解】由题意得：令，则，两边取对数得：又，则数列是首项为，公比为的等比数列 ，即 又 ,本题正确选项：2已知数列满足，则_【答案】【解析】，设，则，两边取对数， ， ，所以是首项，公比的等比数列， ， ， 故答案为：类型四 两边夹问题中的数列通项公式问题【例4】（2020安徽六安一中）已知数列满足，且，则（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】由题意得出，由，得出，再利用累加法得出的值

11、。【详解】，又，则，于是得到，上述所有等式全部相加得，因此，故选：B。【点睛】本题考查数列项的计算，考查累加法的应用，解题的关键就是根据题中条件构造出等式，考查分析问题的能力和计算能力。【举一反三】1（2020浙江模拟）对任意的nN*，数列an满足且，则an等于（）ABCD【答案】A【解析】且，即，故选A.2.设数列满足，且对任意的，满足， ,则_【答案】【指点迷津】解题的关键是要通过所给的不等关系找到数列的项的特征，即，然后经过恰当的变形，将求的问题转化为数列求和的问题去处理，对于求和问题要把握准数列的公比和数列的项数，这是比较容易出现错误的地方.3（2020四川树德中学）设定义在上的函数，

12、且对任意，满足，则（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】先把转化成，与进行加法运算，依次推倒，得到，再根据条件，得到，然后根据等式关系，用累加法计算得到结果.【详解】，（1）（2）（1）+（2）得=，即（3）（1）+（3）得=，即，= + +322+320=2008+ +322+320=.三强化训练1（2020福建高三期末（理）已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】当时，求得，当时，得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，求出的通项公式，即可得解.【详解】解：，当时，解得，当时，减得，,则是以为首项，为公比的等比数列，,故选：2（2020天津静海一中）在

13、数列中，则（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】利用累加法先求出,进而求得即可【详解】由题,则,所以由累加法可得,即,则,所以,故选：D3已知函数的定义域为，当时，；对任意的，成立.若数列满足，且，则的值为（ ）ABCD【来源】海南省海南中学2021届高三第五次月考数学试题【答案】C【解析】当时，在上任取两数，且，令，则，即在上是单调增函数令，则，解得而数列满足，则，数列是公比为，首项为的等比数列，得：，故.故选：C4（2020上海市建平中学高三）数列为1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、.，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，然后再复制前面的所有项1、

14、1、2，再添加2的后继数4，于是，接下来再复制前面的所有项1、1、2、1、1、2、4，再添加8，.，如此继续，则（ ）A16B4C2D1【答案】D【解析】【分析】利用已知条件，推出，及时，有，再求解的值即可【详解】由数列的构造方法可知，可得，所以数首次出现于第项，所以当时，有，故5（2020山东高三期末）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题中定义可得，即，即，等式两边同时除以，得，且，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，因此，.故选：B.6已知数列各项均不为零，且，若，则（ ）A1

15、9B20C22D23【来源】河南省驻马店市新蔡县2020-2021学年高三上学期四校联考理数试题【答案】A【解析】由得，则.令，则数列是公差为1，首项为t+1的等差数列，所以，所以.所以当n=1时，也符合上式，所以；所以公差,解得,所以，所以，故选A.7（2015上海师大附中高三期中（理）若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是1，2，则数列是0，1，2，已知对任意的，则ABCD【答案】D【解析】对任意的，则，猜想故选：8.（2020浙江省湖州三校）已知数列满足，则使的正整数的最小值是（ ）A2018B2019C2020D2021【答案】

16、C【解析】令,则,所以，从而，因为,所以数列单调递增，设当时, 当时,所以当时，从而,因此,选C.9（2020山西模拟）黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自然界最美的鬼斧神工。就是在一个黄金矩形（宽除以长约等于0.6的矩形）先以宽为边长做一个正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长做一个正方形，以此循环做下去，最后在所形成的每个正方形里面画出1/4圆，把圆弧线顺序连接，得到的这条弧线就是“黄金螺旋曲线了。著名的“蒙娜丽莎”便是符合这个比例，现把每一段黄金螺旋线与其每段所在的正方形所围成的扇形面积设为，每扇形的半径设为满足，若将的每一项按照上图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的

17、对应正方形格子的面积之和为，则下列结论错误的是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意得为以为长和宽矩形的面积，即；又，故正确；因为，所以D错误,选D.10（2020浙江高三）已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】考察函数，则先根据单调性可得，再利用单调性可得.【详解】考察函数，由可得在单调递增，由可得在单调递减且，可得，数列为单调递增数列，如图所示：且，图象可得，所以，故选B.11数列中，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由，故，记，则，两边取倒数，得，所以是以为公差的等差数列，又，所以，所以，故.故选：C.12已知数列满足，则（ ）ABCD【答案】B【解析

18、】，令，当时，故当时，即，又，所以.故选：B13已知数列满足，且(其中为数列前项和)，是定义在上的奇函数，且满足，则_.【来源】上海市虹口区2021届高三上学期一模数学试题【答案】【解析】因为是定义在上的奇函数，且满足所以，所以的最小正周期为又因为数列满足，且；当时，；减得，所以，所以以为首项，为公比的等比数列，所以，即所以又所以被除余所以故答案为：014数列满足，若时，则的取值范围是_【答案】【解析】,故填.15设是定义在上且周期为6的周期函数，若函数的图象关于点对称，函数在区间（其中）上的零点的个数的最小值为，则_【答案】，或（表示不超过的最大整数）【解析】将的图象向左平移1个单位，得到的

19、图象，因为函数的图象关于点对称，即有的图象关于原点对称，即为定义在上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得可令，则，即，可得，当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有，可得即，或（表示不超过的最大整数）故答案为：，或（表示不超过的最大整数）16随着科学技术的不断发展，人类通过计算机已找到了630万位的最大质数陈成在学习中发现由41，43，47，53，61，71，83，97组成的数列中每一个数都是质数，他根据这列数的一个通项公式，得出了数列的后几项，发现它们也是质数于是他断言：根据这个通项公式写出的数均为质数请你写出这个通项公式 ，从这个通项公式举出一个反例，说明陈成

20、的说法是错误的： .【答案】见解析【详解】解，令n=41，得不是质数17.定义运算：，若数列满足且()，则数列的通项公式_.【答案】4n2【解析】由题意可得，以，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列，所以.18.（2020河北省衡水市第二中学）数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）4,4,434,43,4 4,43,4 , 4 【答案】【解析】由图可知，第n行是4为首项，以3为公比的等比数列的前n项，和为，设满足的最小正整数为，项在图中排在第行第列（且），所以有，则，即图中从第行第

21、列开始，和大于.因为前行共有项，所以最小正整数的值为，19（2020北京高三（理）已知数列对任意的nN*，都有N*，且=当=8时，_若存在mN*，当nm且为奇数时，恒为常数P，则P=_【答案】 【解析】，则 故从第二项开始形成周期为的数列，故 当为奇数时，为偶数，故若为奇数，则，故，不满足；若为偶数，则，直到为奇数，即故，当时满足条件，此时，即20.已知等差数列，等比数列的公比为，设， 的前项和分别为，若，则_【答案】【解析】， ，因为，所以，这是关于的恒等式，所以，解得，所以【指点迷津】本题要求等差数列的通项公式，既没有首项也没有公差，有的只是等差数列与等比数列的一个关系，这是一个关于正整数

22、的恒等式，因此我们可把等差数列与等比数列的前项用基本量表示，并化已知等式为的恒等式，利用恒等式的知识求解21.等差数列和等比数列的各项均为正整数，且的前项和为，数列是公比为16的等比数列，.则的通项公式_.【答案】22.在直角坐标平面中，已知点列，其中是正整数.连接的直线与轴交于点，连接的直线与轴交于点，连接的直线与轴交于点，.则数列的通项公式为_.【答案】 【解析】直线的斜率为，所以，.23（2020江苏省扬中高级中学）已知数列的前项和为，且，则_.【答案】【解析】【分析】利用立方差公式化简已知条件，利用累加法求得的通项公式，进而求得的通项公式.【详解】由，化简得，即.当时，.所以，即.又满

23、足，故所以.所以.24（2020湖北高三模拟）在正项数列中，且，若，则_.【答案】【解析】【分析】将递推式变形可得到，两边同时取常用对数可得是等比数列，利用等比数列的通项公式求解即可.【详解】因为，所以，所以.因为，所以，两边同时取对数可得，是以为首项，以为公比的等比数列，则，即；复杂数列的求和问题一方法综述 数列的求和问题是数列高考中的热点问题， 数列的求和问题会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求

24、和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.二解题策略类型一 数列求和中的新定义问题【例1】（2020银川一中模拟）对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，数列an的“差数列”的通项为an2n，则数列an的前n项和Sn()A2 B2n C2n12 D2n12【答案】C【解析】因为an1an2n，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n，所以Sn2n12.【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还

25、需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2.解决此类问题的一些技巧：（1）抓住“新信息”的特点，找到突破口；（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的

26、联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.【举一反三】1.（2020湖南师范大学附属中学高三）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ）A2022 B1011 C2020 D1010【答案】B【解析】由，得， ，-得，即，所以.故选B.2.已知数列的前项和为，定义为数列前项的叠加和，若2016项数列的叠加和为2017，则2017项数列的叠加和为( )A. 2017 B. 2018 C. D. 【答案】A类型二 子数列中的求和问题【例2】（2020贵阳模拟）已知有穷数列中， ，且，从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为首项，-3为

27、公比的等比数列，记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（ ）A. B. C. D. 与的大小关系不确定【答案】A【解析】因为， ，所以，当时， 是中第365项，符合题意，所以,所以，选A. 学科*网【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法.【举一反三】1（2020四川高考模拟）定义在上的函数满足：当时，；当时，.记函数的极大值点从小到大依次记为并记相应的极大值为则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】确定函数极大值点及极大值求得.，再求和即可【详解】由题当当时，极大值点为1，极大值为1当时，.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，

28、极大值形成首项为1公比为3 的等比数列故.,故设S=3S=两式相减得-2S=1+2()-S=，故选A2.已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B=S1+S2+S3+Sn=+则 的最小正整数为13 类型三 奇偶性在数列求和中的应用【例3】（2020河北衡水中学高考模拟）已知数列，且，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由递推公式可得：当 为奇数时， ，数列 是首项为1，公差为4的等差数列，当 为偶数时， ，数列 是首项为2，公差为0的等差数列， 【指点迷津】数列求和中遇到，都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求

29、和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如 ）及符号型（如 ）【举一反三】1.（2020福建省高三模拟）记函数在区间内的零点个数为，则数列的前20项的和是（ ）A430B840C1250D1660【答案】A【解析】令，得或由得，令，得，故共有n个解，由得，令，得，令，得当n为偶数时，有个解，有个解，故有n个解，故当n为奇数时，有个解，有个解，故有n+1个解，故令故故选：A2（2020山东高考模拟（文）设数列的前n项和为，已知，且，记，则数列的前10项和为_【答案】200【解析】【分析】由已知求，利用递推公式可得数列的奇

30、数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，从而可求，即可求和.【详解】，且，时，两式相减可得，（）即时，即，数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，则数列，则的前10项和为 故答案为200类型四 周期性在数列求和中的应用【例4】（2020江苏高考模拟）对于实数，定义：，已知数列满足，设表示数列的前和，若，则的值为_.【答案】118【解析】【分析】对a分类讨论，利用递推关系可得周期性，进而得出所求结果.【详解】当时，因为，可得： ，同理可得： 故可知，数列是周期为5的周期数列，所以，解得或，不合题意舍去.当时，因为，可得：，同理可得： 故可知，数列是周期为5的周期数列，所以，解得或（舍去）

31、所以，, ,所以，故填118.【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题. 来源:学+科+网【举一反三】1.数列满足，则数列的前100项和为_【答案】51002.已知数列2008，2009，1，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和_【答案】4018【解析】数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，可得2008，2009，1，2008，2009，1，即有数列的最小正周期为6，可得一个周期的和为0，由，可得故答案为：4018类型五 数列

32、求和的综合问题【例5】（2020河南高考模拟（理）已知数列的前项和为，若对于任意，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为_ .【答案】【解析】试题分析：，两式相减得又，因此为以2首项，3 为公比的等比数列，即，叠加法得，从而，因此对恒成立，即解得考点：和项求通项，等比数列定义，不等式恒成立【举一反三】1.已知数列和的前项和分别为和，且，（），若对任意的，恒成立，则的最小值为_.【答案】【解析】，可得，解得，当时， ，化为 ，由，可得，即有，即有 ，对任意的，恒成立，可得，即的最小值为.故答案为：.2.（2020上海市青浦区模拟）等差数列,满足，则（ ）A的最大值为50B的最小值为50C的最大值

33、为51D的最小值为51【答案】A【解析】时，满足条件，所以满足条件，即最小值为2，舍去B,D.要使得取最大值，则项数为偶数，设，等差数列的公差为，首项为，不妨设，则，且，由可得，所以,因为，所以，所以，而，所以，故.故选A【指点迷津】先根据题意可知中的项有正有负，不妨设，根据题意可求得，根据，去绝对值求和，即可求出结果.三强化训练1（2020湖南师大附中高考模拟（理）设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（ ）A290BCD【答案】C【解析】【分析】由得为等差数列，求得，得利用裂项相消求解即可【详解】由得，当时，整理得，所以是公差为4的等差数列，又，所以，从而，所以，数列的前10项的和

34、.故选.2（2020北京人大附中高考模拟）已知数列和的前项和分别为和，且，,，若对任意的 ,恒成立，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.3（2020四川高考模拟（理）我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是（ ）ABCD【答案】B【解析】，而，即，当n=8时，左边=，右边=，显然不适合；当n=9时，左边=，右边=，显然适合，故最小正整数的值94（2020吉林高考模拟）已知正项数列的前项和为，满足，则（ ）ABCD【答案】A【解析】当时

35、，解得；当时，两式相减可得， ，可得，所以，. ，所以.故选A.5（2020沭阳县修远中学高考模拟）已知数列满足，且，其前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ）A5B6C7D8【答案】C【解析】对3an+1+an=4 变形得：3（an+11）=（an1）即：故可以分析得到数列bn=an1为首项为8公比为的等比数列所以bn=an1=8 ，an=8+1所以 |Snn6|= 解得最小的正整数n=76（2020江西师大附中高考模拟）数列中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，依此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（）ABCD【答案】B【解

36、析】【分析】根据规律可总结出第行的和为，利用分组求和的方法可求得前行和，经验证，从而可得结论.【详解】第一行为，其和为，可以变形为：；第二行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为：；第三行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为；依此类推：第行的和：；则前行共：个数前行和为：满足而第六行的第个数为：，则满足的最小正整数的值为：本题正确选项：7（2020贵州高考模拟）设，点，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.【详解】由题意知sin，随n的增大而增大，,，即，又f(t)=在t上单增，f(2)

37、= -10，正整数的最小值为3.8（2020山东高考模拟）对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如.已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（ ）A305B306C315D316【答案】D【解析】【分析】由题意，求解得图象，即可求解前项和，即可求解满足的最小整数的值【详解】由题意，当时，可得，（1项）当时，可得，（2项）当时，可得，（4项）当时，可得，（8项）当时，可得，（16项） 当时，可得，（项）则前项和为 ，两式相减得 ，所以，此时，当时，对应的项为，即，故选D9（2020广东高考模拟）已知数列满足，设数列满足：,数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD【

38、答案】D【解析】【分析】先求出的通项，再求出的通项，从而可求，利用参变分离可求的取值范围.【详解】因为，所以，故即，其中.而令，则，故，.，故，故恒成立等价于即恒成立，化简得到，因为，故.故选D.10（2019湖南长沙一中高考模拟）已知是函数的极值点，数列满足，记，若表示不超过的最大整数，则（ ）A2017B2018C2019D2020【答案】A【解析】由题意可得，是函数的极值点，即，以上各式累加可得=选A11.我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是 【答案】9【解析】，而，即，当n=8时，左边=，右边=，显然不适合；当n=9时

39、，左边=，右边=，显然适合，故最小正整数的值912.（2020安徽省合肥市模拟）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为 【答案】10【解析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，第层货物总价为万元，设这堆货物总价为万元,则，两式相减得，则,解得，

40、 13.已知数列满足，且，设数列的前项和为，则_（用表示）.【答案】【解析】当是奇数时，所以，是首项为1，公差为6的等差数列，因此；当是偶数时，所以，是首项为4，公比为3的等比数列，因此.综上，所以，即 .14.（2020湖北省宜昌市模拟）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.若，则数列的前项和_【答案】【解析】由题意可知：，解得，得，所以，整理得故答案为：15（2020湖南长沙一中高考模拟）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推那么该数列的前50项和为 【答案】1044【解析】【分析】将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，第三组：，第k组：，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：，第二组：，第三组：，第k组：，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：，每项含有的项数为：1，2，3，k，总共的项数为，当时，故该数列的前50项和为16（2020福建高考模拟）已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对任意恒成立，则实