2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第09讲：斜率问题一含解析.docx

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1、2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第09讲：斜率问题一（解析版）第九讲：斜率问题（一）【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线的位置关系的判断，斜率的求解；拓展目标：能够熟练应用点差法推导中点弦公式，并灵活应用中点弦和相关第三定义.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、直线与圆锥曲线的位置关系设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.（1）当时，方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；方程有两个相同的实数解

2、，即直线与圆锥曲线有一个交点；方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当时，方程为一次方程，若，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.2、圆锥曲线的中点弦问题（1）为椭圆的弦，弦中点M(x0，y0)，则所在直线的斜率为，弦的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.（2）AB为双曲线的弦，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.（3）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率.【考点剖析】考点一：位置关系（交点个数）例1已知抛物线的焦点到准线的距离为，过

3、点 的直线与抛物线只有一个公共点.(1)求抛物线的方程；(2)求直线的方程.变式训练1：已知O，F分别是抛物线的顶点和焦点，动点M与点O的距离是它与点F的距离的一半(1)求动点M的轨迹；(2)若过点的直线l与动点M的轨迹有且只有一个交点，求直线l的方程变式训练2：已知双曲线C：的焦距为4，且过点.(1)求双曲线方程；(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值.变式训练3：在平面直角坐标系中，已知点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程.（2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.考点二：中点弦公式（椭圆：点差法）例1已知椭圆的离心率为，点在上.（1）求的方程；（

4、2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.变式训练1：已知动点与平面上点，的距离之和等于.(1)求动点的轨迹方程；(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.变式训练2：已知椭圆E：的左，右焦点分别为，点在E上，且(1)求E的标准方程；(2)若直线l与E交于A，B两点，且AB中点为，求直线l的方程变式训练3：已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于点，直线与轴的交点为（1）求椭圆的离心率；（2）过点且斜率不为0的直线交椭圆于、点，线段的中点为点，求证：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值考点三：中点

5、弦公式（抛物线：点差法）例1已知抛物线的焦点为F，第四象限的一点在C上，且.(1)求C的方程和m的值；(2)若直线l交C于A,B两点，且线段AB中点的坐标为，求直线l的方程及线段AB的长.变式训练1：已知是抛物线的焦点，直线交拋物线于、两点.(1)若直线过点且，求；(2)若平分线段，求直线的方程.变式训练2：已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.(1)求C的方程；(2)过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.考点四：中点弦公式（双曲线：点差法）例1已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的

6、方程.变式训练1：已知双曲线C的渐近线方程为，且是双曲线上一点.(1)求双曲线C的标准方程及离心率；(2)过点的直线与双曲线C交于不同的两点AB，且线段AB恰好被点M平分，求直线AB的方程.变式训练2：已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为.（1）求该双曲线方程.（2）是否定存在过点的直线与该双曲线交于、两点，且点是线段的中点若存在，请求出直线的方程，若不存在，说明理由.变式训练3：已知双曲线：(，)与有相同的渐近线，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值.考点五：椭圆的第三定义（推导公式）例1已知椭圆C：（）的离心率为

7、，并且经过点，(1)求椭圆C的方程；(2)设点关于坐标原点的对称点为，点为椭圆C上任意一点，直线的斜率分别为，求证：为定值变式训练1：已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证为定值变式训练2：已知椭圆：的离心率为，其右焦点到直线的距离为(1)求椭圆的标准方程；(2)直线交椭圆于，两点，椭圆右顶点为，求证：直线，的斜率乘积为定值，并求出该定值变式训练3：已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定

8、值.【当堂小结】1、知识清单：（1）直线与椭圆，双曲线，抛物线的位置关系；（2）圆锥曲线的中点弦问题；2、易错点：点差法的计算；3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等(1)求曲线的方程；(2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程2已知椭圆：的左、右焦点分别为，点E在椭圆C上，且，.(1)求椭圆C的方程：(2)直线l过点，交椭圆于点A，B，且点P恰为线段AB的中点，求直线l的方程.3已知的周长为且点的坐标分别是，动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)直线过点，交曲线于两点，且为的中点，

9、求直线的方程.4已知椭圆C的焦点为，过的直线与椭圆C交于A，B两点.若的周长为.（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆中以为中点的弦所在直线方程.5双曲线的离心率为2，经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.(1)求C的方程；(2)设A，B是C上两点，线段AB的中点为，求直线AB的方程.6已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为.(1)求C的方程；(2)经过点的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程.7双曲线 ，离心率 ，虚轴长为 2 (1)求双曲线的标准方程；(2)经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程8已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆上异于点P

10、且关于原点对称的两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证为定值9在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离之比为.动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程，并说明曲线是什么图形；(2)已知曲线与轴的交点分别为，点是曲线上异于的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.10已知椭圆过点，其右焦点为.(1)求椭圆的方程；(2)设为椭圆上一动点（不在轴上），为中点，过原点作的平行线，与直线交于点. 问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.第九讲：斜率问题（一）【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物

11、线的位置关系的判断，斜率的求解；拓展目标：能够熟练应用点差法推导中点弦公式，并灵活应用中点弦和相关第三定义.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、直线与圆锥曲线的位置关系设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.（1）当时，方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当时，方程为一次方程，若，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点

12、.2、圆锥曲线的中点弦问题（1）为椭圆的弦，弦中点M(x0，y0)，则所在直线的斜率为，弦的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.（2）AB为双曲线的弦，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.（3）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率.【考点剖析】考点一：位置关系（交点个数）例1已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点 的直线与抛物线只有一个公共点.(1)求抛物线的方程；(2)求直线的方程.【答案】(1)；(2)或或.解析：(1)因抛物线的焦点到准线的距离为，于是得，所以抛物线的方程为.(2)当直

13、线的斜率存在时，设直线为，由消去y并整理得：，当时，点是直线与抛物线唯一公共点，因此，直线方程为，当时，此时直线与抛物线相切，直线方程为，当直线的斜率不存在时，y轴与抛物线有唯一公共点，直线方程为，所以直线方程为为或或.变式训练1：已知O，F分别是抛物线的顶点和焦点，动点M与点O的距离是它与点F的距离的一半(1)求动点M的轨迹；(2)若过点的直线l与动点M的轨迹有且只有一个交点，求直线l的方程【答案】(1)点M的轨迹是以为圆心，半径为2的圆；(2)或.解析：(1)设，依题意，由得：，化简得，即，所以，点M的轨迹是以为圆心，半径为2的圆.(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，因直线l与动点

14、M的轨迹有且只有一个交点，由(1)知，即直线l与圆N相切，由圆心到直线l的距离等于半径2得：，解得，直线l的方程为，当直线l的斜率不存在时，其方程为，显然与圆N相切，所以直线l的方程为或.变式训练2：已知双曲线C：的焦距为4，且过点.(1)求双曲线方程；(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值.【答案】(1)；(2)，解析：（1）由题意可知双曲线的焦点为和，根据定义有，又，所以，所求双曲线的方程为（2）因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；由，消去整理得当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； 当即时，由，解得，此时直线双曲线相切于一个公共点，符

15、合题意 综上所述：符合题意的的所有取值为，变式训练3：在平面直角坐标系中，已知点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程.（2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.解析：（1）由己知得由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，焦距长，长轴长的椭圆.所以，所以曲线的方程是.（2）由得.，因为直线与曲线有公共点，所以，即，解得，或.故实数的取值范围是.考点二：中点弦公式（椭圆：点差法）例1已知椭圆的离心率为，点在上.（1）求的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【答案】（1）（2）.解

16、析：（）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.（）设直线,把代入得故，于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线的斜率乘积为定值.变式训练1：已知动点与平面上点，的距离之和等于.(1)求动点的轨迹方程；(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.【答案】(1)；(2)解析：（1）设点的坐标为，由椭圆定义可知，点轨迹是以，为焦点的椭圆，动点的轨迹的方程为（2）解：显然直线的斜率存在且不等于，设，则，又、在椭圆上，所以，两式相减得，即所以，即，即，所以直线的方程为，即；变式训练2：已知椭圆E：的左，右焦点分别为，点在E上，且(1)求E的标准方程；(2)若直线l与E交于A，B两

17、点，且AB中点为，求直线l的方程【答案】(1)；(2)解析：(1)由，可得，解得，所以椭圆方程为：，又点在E上，则有，解得，所以椭圆E的标准方程为：.(2)设，代入椭圆方程中有，变形有，因为AB中点为，所以，所以，所以直线l的方程为：，即为.变式训练3：已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于点，直线与轴的交点为（1）求椭圆的离心率；（2）过点且斜率不为0的直线交椭圆于、点，线段的中点为点，求证：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值【答案】（1）；（2）证明见解析.解析：（1）设点，把代入椭圆方程，又有，可得点，或（舍）因为轴且为线段的中点，则，即，所以离心率（2）设点，中点，直线

18、的斜率为，直线斜率为.由（1）知，则椭圆方程为（*）.方法一：直线的方程为代入椭圆方程（*），整理得则，所以，代入，可得，则中点所以直线斜率为，因此.方法二：把点，点分别代入椭圆方程（*），得，（1）（2）得也就是即，又，因此考点三：中点弦公式（抛物线：点差法）例1已知抛物线的焦点为F，第四象限的一点在C上，且.(1)求C的方程和m的值；(2)若直线l交C于A,B两点，且线段AB中点的坐标为，求直线l的方程及线段AB的长.【答案】(1)，；(2)，解析：(1)抛物线的准线方程为，由抛物线定义得，解得，所以抛物线C的方程为.将代入C的方程得，解得，因为点P在第四象限，所以.(2)由题意易知直线l

19、的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，则有两式作差得，则，因为线段AB中点的坐标为，所以，所以，所以直线l的方程为，即，联立得，则，所以.变式训练1：已知是抛物线的焦点，直线交拋物线于、两点.(1)若直线过点且，求；(2)若平分线段，求直线的方程.【答案】(1)；(2).解析：(1)设点、，则直线的倾斜角为，易知点，直线的方程为，联立，可得，由题意可知，则，因此，.(2)设、，若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在，因为、在抛物线上，则，两式相减得，又因为为的中点，则，所以，直线的斜率为，此时，直线的方程为，即.变式训练2：已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.(1)求C的方程

20、；(2)过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.【答案】(1)；(2)解析：(1)由抛物线的定义可知：，解得：，C的方程为；(2)设，则，两式作差得，直线l的斜率，为的中点，直线l的方程为，即（经检验，所求直线符合条件）.考点四：中点弦公式（双曲线：点差法）例1已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.【答案】(1)；(2)解析：（1）双曲线的渐近线为，即，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，所以双曲线方程为（2）设，直线的斜率为，则，所以，两式相减得，即即，所以，解得，所以直

21、线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.变式训练1：已知双曲线C的渐近线方程为，且是双曲线上一点.(1)求双曲线C的标准方程及离心率；(2)过点的直线与双曲线C交于不同的两点AB，且线段AB恰好被点M平分，求直线AB的方程.【答案】(1)，；(2)解析：(1)因为双曲线C的渐近线方程为，所以设双曲线C的方程为：，又因为双曲线经过点，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为：；(2)设，因为点为线段AB的中点，所以有，所以所以，又因为AB的中点M在双曲线内部，所以符合题意所以直线AB的方程为：，即：.变式训练2：已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为.（

22、1）求该双曲线方程.（2）是否定存在过点的直线与该双曲线交于、两点，且点是线段的中点若存在，请求出直线的方程，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.解析：（1）设双曲线方程为：由离心率，焦距为，则，则双曲线方程为：；（2）假设存在过点的直线与该双曲线交于，两点，且点是线段的中点设过的直线方程为：，两点的坐标为，则，相减可得，由为的中点，则，则，即有直线的方程：，即有，代入双曲线方程，可得，检验判别式为，方程无解故不存在过点的直线与该双曲线交于，两点，且点是线段的中点变式训练3：已知双曲线：(，)与有相同的渐近线，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于

23、不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值.【答案】（1）；（2）.解析：（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，所以双曲线的方程为：（2）由得设，则，所以则中点坐标为，代入圆得，所以.考点五：椭圆的第三定义（推导公式）例1已知椭圆C：（）的离心率为，并且经过点，(1)求椭圆C的方程；(2)设点关于坐标原点的对称点为，点为椭圆C上任意一点，直线的斜率分别为，求证：为定值【答案】(1)；(2)证明见解析解析：(1)由题意解得，.所以椭圆C的方程为.(2)因为点关于坐标原点的对称点为，所以的坐标为.，所以，又因为点为椭圆C上的点，所以.变式训练1：已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆

24、上异于点P且关于原点对称的两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证为定值【答案】(1)；(2)证明见解析解析：(1)由题意知，根据得：，故：椭圆C的标准方程为(2)依据题意可设，则，因此，又因为在椭圆C上，满足，即，所以：，得证变式训练2：已知椭圆：的离心率为，其右焦点到直线的距离为(1)求椭圆的标准方程；(2)直线交椭圆于，两点，椭圆右顶点为，求证：直线，的斜率乘积为定值，并求出该定值【答案】(1)；(2)证明见解析，定值解析：(1)由题意，右焦点，椭圆的标准方程；(2)由（1）可得椭圆右顶点，由题意，直线和直线的斜率存在且不为，直线与椭圆联立，可得，不妨设，直线和直线的斜率的积为，直线和直

25、线的斜率乘积为定值变式训练3：已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析解析：(1)由题知：由双曲线的定义知：，又因为，所以，所以所以，双曲线C的标准方程为(2)设，则因为，所以，所以【当堂小结】1、知识清单：（1）直线与椭圆，双曲线，抛物线的位置关系；（2）圆锥曲线的中点弦问题；2、易错点：点差法的计算；3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1已知曲线上任一点与点的距离与

26、它到直线的距离相等(1)求曲线的方程；(2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程【答案】(1)；(2)，解析：(1)所题意曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以抛物线方程是；(2)易知直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线相切了，只有一个公共点，设直线与抛物线相切，切线方程为，所以所求直线方程为：，2已知椭圆：的左、右焦点分别为，点E在椭圆C上，且，.(1)求椭圆C的方程：(2)直线l过点，交椭圆于点A，B，且点P恰为线段AB的中点，求直线l的方程.【答案】(1)；(2)解析：(1)点E在椭圆C上，即.在中，椭圆的半焦距.，椭圆的方程为.(2)设，若直线的斜率不存在，显然不符合题意.

27、从而可设过点的直线的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，得，则.P为线段AB的中点，解得.故直线的方程为，即（经检验，所求直线方程符合题意）.3已知的周长为且点的坐标分别是，动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)直线过点，交曲线于两点，且为的中点，求直线的方程.【答案】(1)；(2).解析：(1)，又周长为，点轨迹，即曲线是以为焦点的椭圆（不包含椭圆与轴的交点），设曲线方程为，解得：，曲线的方程为；(2)设，则，即直线斜率，直线方程为，即.4已知椭圆C的焦点为，过的直线与椭圆C交于A，B两点.若的周长为.（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆中以为中点的弦所在直线方程.【答案】（1）；（2）.

28、解析：（1）由已知得，则，又由，可得，所以椭圆方程为（2）根据题意得中点弦的斜率存在，且在椭圆内，设，所以，两式作差，得，所以，所以，所以，所以中点弦的方程为，所求的直线方程5双曲线的离心率为2，经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.(1)求C的方程；(2)设A，B是C上两点，线段AB的中点为，求直线AB的方程.【答案】(1)；(2)解析：(1)因为C的离心率为2，所以，可得.将代入可得，由题设.解得，所以C的方程为.(2)设，则，.因此，即.因为线段AB的中点为，所以，从而，于是直线AB的方程是.6已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为.(1)求C的方程；(2)经过点的直线l交C

29、于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程.【答案】(1)；(2).解析：(1)双曲线C的渐近线方程为，则，且，解得，.所以C的方程为.(2)设，直线l的斜率为k，则，两式相减，得，即，所以，即.直线l的方程为，即.经检验，直线与双曲线C有两个交点，满足条件，所以，直线l的方程为.7双曲线 ，离心率 ，虚轴长为 2 (1)求双曲线的标准方程；(2)经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程【答案】(1)；(2)解析：（1），双曲线的标准方程为；（2）设以定点为中点的弦的端点坐标为，可得，由在双曲线上，可得：，两式相减可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为：则以定点为中点的弦所在

30、的直线方程为，即为，联立方程得：，符合，直线的方程为：.8已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证为定值【答案】(1)；(2)证明见解析解析：(1)由题意知，根据得：，故：椭圆C的标准方程为(2)依据题意可设，则，因此，又因为在椭圆C上，满足，即，所以：，得证9在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离之比为.动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程，并说明曲线是什么图形；(2)已知曲线与轴的交点分别为，点是曲线上异于的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.【答案】(1)，曲线是以为焦点的椭圆；(2)证明见解析.解析：(1)设点坐标为，根据题意，得，左右同时平方，得，整理得，即，所以曲线的方程是，曲线是以为焦点的椭圆.(2)由题意得，设的坐标是，因为点在曲线上，所以，因为，所以，所以为定值.10已知椭圆过点，其右焦点为.(1)求椭圆的方程；(2)设为椭圆上一动点（不在轴上），为中点，过原点作的平行线，与直线交于点. 问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.【答案】(1)；(2)是定值，解析：(1)因为椭圆过点，其右焦点为所以，即，所以，所以椭圆方程为(2)设，则，所以，所以过原点与的平行的线的方程为，所以，所以，所以，因为，故，所以，所以直线与斜率的乘积是为定值.