2023届数学二轮复习讲练测r思想03 运用函数与方程的思想方法解题（精讲精练）含解析.docx

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1、2023届数学二轮复习讲练测思想03 运用函数与方程的思想方法解题 【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等【核心考点目录】核心考点一：运用函数的思想研究问题核心考点

2、二：运用方程的思想研究问题核心考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题核心考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题【真题回归】1（2022全国统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若，则C的方程为（）ABCD2（2022全国统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为_3（2022全国统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程_4（2021全国统考高考真题）曲线在点处的切线方程为_5（2022全国统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为_，_【方法技巧与总结】 1、函数与方程是紧密相联、可

3、以相互转化的在研究方程解的存在性、方程解的个数、方程解的分布等问题时，一般利用方程的性质，对方程进行同解变形，进而构造函数，利用函数的图象与性质求解方程问题例如，方程解的个数可以转化为函数的图象与轴交点的个数，也可以参变分离，转化为水平直线与函数图象交点的个数，也可以部分分离，转化为斜线与函数图象交点的个数，也可以构造两个熟悉函数，转化为两个函数图象交点的个数2、在研究函数问题时，运用方程的思想，设出未知数，通过题目中的等量关系，建立方程（组），进而求解方程（组），或者将方程变形，构造新函数，更易于研究其图象和性质例如，在研究曲线的切线问题时，设出切点横坐标，得到切线斜率，切线方程为 ， 从而

4、将函数中的切线问题转化为关于切点横坐标的方程问题3、函数、方程、不等式三位一体，常常相互转化在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有解、不等式的证明等问题时，最重要的思想方法就是函数与方程思想，构造适当的函数，分析、 转化不等式问题例如，不等式或恒成立，可以转化为或也可以考虑参变分离再求函数的最值4、函数与方程的思想贯穿高中数学的多个模块，在数列、解析几何、三角形、立体几何等内容中都有广泛的运用函数思想体现的是运动与变化的观念，通过分析问题中的数量关系，建构函数，再运用函数的图象与性质分析转化问题，进而解决问题方程思想体现的是“动中求静”，寻求变化过程中保持不变的等量关系，建构方程（组），通

5、过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决【核心考点】核心考点一：运用函数的思想研究问题【典型例题】例1（2023全国高三专题练习）已知，设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是_例2（2023全国高三专题练习）已知函数（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；（2）若在上最小值为，求实数的值；（3）若在上只有一个零点，求实数的取值范围例3（2023全国高三专题练习）已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求的值核心考点二：运用方程的思想研究问题【典型例题】例4（2023全国高三专题练习）已知，其中（1）请利用的导函数推出导函数，并求函

6、数的递增区间；（2）若曲线在点处的切线与曲线在点的切线平行，求（化简为只含的代数式）；（3）证明：当时，存在直线，使得既是的一条切线，也是的一条切线例5（2023春安徽滁州高三校考阶段练习）已知函数（）不需证明，直接写出的奇偶性：（）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点：（）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线例6（2023吉林白山抚松县第一中学校考一模）若直线是曲线的切线，也是的切线，则（）ABCD例7（2023全国高三专题练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（）A2B4C D 核心考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题【典型例题】例8（2023春广西高三期末）已知

7、函数（1）当时，求的最小值；（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围例9（2023全国高三专题练习）已知函数，若，求的取值范围（）ABCD例10（2023福建厦门高三厦门双十中学校考阶段练习）已知函数，若时，求a的取值范围（）ABCD核心考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题【典型例题】例11（2023春重庆九龙坡高三重庆市育才中学校考开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，（1）求A和a的大小；（2）若为锐角三角形，求的面积S的取值范围例12（2023春河北张家口高三张家口市第一中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，其中一个焦点在直线上（1）求椭圆的方程；

8、（2）若直线与椭圆交于两点，试求三角形面积的最大值例13（2023春陕西咸阳高三陕西咸阳中学校考期中）已知数列是各项均为正数的等差数列（1）若，且，成等比数列，求数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，数列的前n项和为，设，若对任意的，不等式恒成立，求实数k的最小值例14（2023春北京高三校考期中）已知函数（1）函数的值域是_（2）若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围是_-【新题速递】一、单选题1（2023广东茂名高三统考）已知三棱柱的顶点都在球O的表面上，且，若三棱柱的侧面积为，则球O的表面积的最小值是（）ABCD2（2023重庆万州高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已

9、知函数，若存在三个零点，则实数a的取值范围是（）ABCD3（2023春河北沧州高三阶段练习）已知数列满足：，则下列说法正确的是（）A若，则数列是单调递减数列B若，则数列是单调递增数列C时，D时，二、多选题4（2023浙江嘉兴高一统考期末）已知平面向量，满足，则下列结论正确的是（）A对任意，B对任意，的最小值为C的最大值为D的最小值为5（2023春福建泉州高三福建省永春第一中学校考阶段练习）已知圆 ，直线，则（）A直线恒过定点B当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1C直线与圆有一个交点D若圆与圆 恰有三条公切线，则6（2023春山东日照高三统考）下列命题中是真命题的有（）A有四个实数解B设a、b

10、、c是实数，若二次方程无实根，则C若，则D若，则函数的最小值为27（2023春黑龙江哈尔滨高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（）AB若，则的最小值为C取到最大值时，D设，则数列的最小项为8（2023春福建泉州高三泉州五中校考）数列满足，则下列说法正确的是（）A当时，B当时，C当时，D当时，数列单调递增，数列单调递减三、填空题9（2023春四川绵阳高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若函数在定义域内存在非零实数，使得，则称函数为“壹函数”，则下列函数是“壹函数”的是_；10（2023春四川成都高一校联考）已知函数 满足，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_四

11、、解答题11（2023春安徽淮北高一淮北一中校考阶段练习）已知函数，且函数的值域为（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程有三个不同的实数根，求实数k的取值范围12（2023春上海浦东新高一华师大二附中校考）已知函数，函数的值域为（1）若不等式的解集为，求m的值；（2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数k的取值范围；（3）若关于x的不等式的解集为，求实数c的值13（2023春江苏南通高三阶段练习）已知函数、（1）当cb时，解关于x的不等式1；（2）若的值域为1，），关于x的不等式的解集为（m，m4），求实数a的值；（3）若对，恒成立，函数，

12、且的最大值为1，求的取值范围14（2023春河北邯郸高三校考）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且（1）求抛物线的方程；（2）过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于和四点，求四边形面积的最小值15（2023春内蒙古高三赤峰二中校考阶段练习）已知椭圆的左右两个焦点分别为，以坐标原点为圆心，过，的圆的内接正三角形的面积为，以为焦点的抛物线的准线与椭圆C的一个公共点为P，且（1）求椭圆C和抛物线M的方程；（2）过作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆C于A，B两点，另一条交抛物线M于G，H两点，求四边形面积的最小值16（2023春江苏苏州高一苏州市苏州高新区第一中学校考

13、阶段练习）定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数（1）若，（0，），试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；（3）若，（1，），其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值17（2023春江苏南京高三校联考阶段练习）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，的面积为S，已知_（1）求角C的大小；（2）求的取值范围思想03 运用函数与方程的思想方法解题 【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、

14、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等【核心考点目录】核心考点一：运用函数的思想研究问题核心考点二：运用方程的思想研究问题核心考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题核心考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题【真题回归】1（2022全国统考高考真题）已知椭圆的离心率为，

15、分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若，则C的方程为（）ABCD【答案】B【解析】因为离心率，解得，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为故选：B2（2022全国统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为_【答案】【解析】方法一：弦中点问题：点差法令的中点为，设，利用点差法得到，设直线，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；令的中点为，因为，所以，设，则，所以，即所以，即，设直线，令得，令得，即，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：方法二：直线与圆

16、锥曲线相交的常规方法由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，设，设直线，则，因为，所以联立直线AB与椭圆方程得消掉y得其中，AB中点E的横坐标，又，又，解得m=2所以直线，即方法三：令的中点为，因为，所以，设，则，所以，即所以，即，设直线，令得，令得，即，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：3（2022全国统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程_【答案】或或【解析】方法一：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故，于是或，再结合解得或或，所以直线方程有三条，分别为，填一条即可方法二：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切

17、，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可方法三：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或4（2021全国统考高考真题）曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】由题，当时，故点在曲线上求导得：，所以故切线方程为

18、故答案为：5（2022全国统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为_，_【答案】 【解析】方法一：化为分段函数，分段求分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；方法二：根据函数的对称性，数形结合当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为

19、是偶函数，图象为：所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可方法三：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；【方法技巧与总结】 1、函数与方程是紧密相联、可以相互转化的在研究方程解的存在性、方程解的个数、方程解的分布等问题时，一般利用方程的性质，对方程进行同解变形，进而构造函数，利用函数的图象与性质求解方程问题例如，方程解的个数可以转化为函数的图象与轴交点的个数，也可以参变分离，转化为水平直线与函数图象交点的个数，也可以部分分离，

20、转化为斜线与函数图象交点的个数，也可以构造两个熟悉函数，转化为两个函数图象交点的个数2、在研究函数问题时，运用方程的思想，设出未知数，通过题目中的等量关系，建立方程（组），进而求解方程（组），或者将方程变形，构造新函数，更易于研究其图象和性质例如，在研究曲线的切线问题时，设出切点横坐标，得到切线斜率，切线方程为 ， 从而将函数中的切线问题转化为关于切点横坐标的方程问题3、函数、方程、不等式三位一体，常常相互转化在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有解、不等式的证明等问题时，最重要的思想方法就是函数与方程思想，构造适当的函数，分析、 转化不等式问题例如，不等式或恒成立，可以转化为或也可以考虑

21、参变分离再求函数的最值4、函数与方程的思想贯穿高中数学的多个模块，在数列、解析几何、三角形、立体几何等内容中都有广泛的运用函数思想体现的是运动与变化的观念，通过分析问题中的数量关系，建构函数，再运用函数的图象与性质分析转化问题，进而解决问题方程思想体现的是“动中求静”，寻求变化过程中保持不变的等量关系，建构方程（组），通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决【核心考点】核心考点一：运用函数的思想研究问题【典型例题】例1（2023全国高三专题练习）已知，设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】当时，令，则，因为为增函数，所以当该方

22、程在时无实数根时，所以，时，时有一个解，所以时，有一个解，当时，是递减的，则，所以时有一个解，即当时，恰有两个互异的实数解；时，在时无解，此时，即，解得或（舍去），所以方程在时有1个解，即当时，方程只有一个实数解，时，在时无解，则时，所以，该方程要在时有2个不等的实数解，即函数在上有2个不同的零点，所以，解得，综上所述，的范围为，例2（2023全国高三专题练习）已知函数（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；（2）若在上最小值为，求实数的值；（3）若在上只有一个零点，求实数的取值范围【解析】（1）由得若在为增函数，则所以（2）令即 最小值为若则时最小若 则时最小无解若时则时最小得舍去（3）只一

23、个零点由得舍去或若有二个零点且只一个在内则即解得例3（2023全国高三专题练习）已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求的值【解析】（1）方法一：【最优解】指数找朋友当时，等价于设函数，则，所以在单调递减而，故当时，即方法二：【通性通法】直接利用导数研究函数的单调性求得最小值当时，令，令，得则函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，从而，所以函数在区间内单调递增，有方法三：【最优解】指对等价转化当时，令，函数在区间上单调递增，故，有，故当时，（2）方法一：指数找朋友设函数，在只有一个零点当且仅当在只有一个零点（i）当时，没有零点；（ii）当时，当时，；当时，所以在单调递减，在

24、单调递增故是在的最小值若，即，在没有零点；若，即，在只有一个零点；若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，所以故在有一个零点，因此在有两个零点综上，在只有一个零点时，方法二：等价转化为直线与曲线的交点个数令，得令则函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，则当时，当时，故函数在区间内只有一个零点时，方法三：等价转化为二次曲线与指数函数图象的交点个数函数在区间内只有一个零点等价于函数的图象与函数的图象在区间内只有一个公共点由与的图象可知它们在区间内必相切于y轴右侧同一点，设切点为，则，解方程组得，经验证符合题意方法四：等价转化为直线与曲线的交点个数当时，原问题转化为动直线与曲线在区间内只

25、有一个公共点由得函数在区间内单调递减，在区间内单调递增设与的切点为，则，于是函数在点P处的切线方程为由切线过原点可得，故方法五：【通性通法】含参讨论因为，当时，在区间内单调递增，又，故无零点；当时，当时，在区间内单调递增，有在区间内单调递增，又，故无零点；当时，令，得，故函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，从而单调递增又，所以无零点当时，又，所以存在，使得，则函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，则为函数的唯一零点，且满足所以，解得，则方法六：【最优解】等价变形含参讨论当时，无零点；当时，记，则；当时，函数在区间内单调递增，则有，故无零点；当时，当时，单调递诚，当时

26、，单调递增，当时，当时，故，得【整体点评】（1）方法一：根据指数找朋友，将不等式等价转化为，这样可以减少求导的次数，便于求最值，是该题的最优解；方法二：常规的直接求导，研究函数的单调性求最值，是该题的通性通法；方法三：利用指对互化，将不等式等价转化为，这样可以减少求导的次数，便于求最值，是该题的最优解（2）方法一：根据指数找朋友，原函数在只有一个零点等价于在只有一个零点，再分类讨论以及利用导数研究其单调性即可解出；方法二：利用函数零点个数与两函数图象交点个数关系，等价转化为直线与曲线的交点个数，即可解出；方法三：利用函数零点个数与两函数图象交点个数关系，等价转化为二次曲线与指数函数图象的交点个

27、数，即可解出；方法四：同方法二；方法五：直接含参讨论函数的单调性确定最值，再根据零点存在性定理判断即可解出，是该类型题的通性通法；方法六：易知当时函数无零点，只需考虑时的情况，再含参讨论函数的单调性，研究其最值即可解出，是本题的最优解核心考点二：运用方程的思想研究问题【典型例题】例4（2023全国高三专题练习）已知，其中（1）请利用的导函数推出导函数，并求函数的递增区间；（2）若曲线在点处的切线与曲线在点的切线平行，求（化简为只含的代数式）；（3）证明：当时，存在直线，使得既是的一条切线，也是的一条切线【解析】（1）对于，则，又，所以，因为，定义域为，因为，所以，所以当时，所以的单调递增区间为

28、；（2）由，可得曲线在点处的切线的斜率为由，可得曲线在点处的切线的斜率为这两条切线平行，故有，即，两边取以为底数的对数，得，；（3）证明：曲线在点处的切线，曲线在点，处的切线要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，使得与重合，即只需证明当时，方程组由得，代入得：，因此，只需证明当时，关于的方程存在实数解设函数，既要证明当时，函数存在零点，可知时，；时，单调递减，又，故存在唯一的，且，使得，即由此可得，在上单调递增，在，上单调递减，在处取得极大值 ，故下面证明存在实数，使得，令，则，所以当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以当时，有存在实数，使

29、得因此，当时，存在，使得当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线例5（2023春安徽滁州高三校考阶段练习）已知函数（）不需证明，直接写出的奇偶性：（）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点：（）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线【解析】（）定义域为，函数为奇函数（）因为，由（）知，为奇函数，且所以，在和上单调递增在上，所以在上有唯一零点，即又为奇函数，故在上有唯一零点综上，有且仅有两个零点（）因为，故点在曲线上由题设知即，连接，则直线的斜率曲线在点处切线的斜率是；曲线在点处切线的斜率也是所以曲线在点处的切线也是曲线的切线例6（2023吉林白山抚松县第一中学校考一模）若直线是

30、曲线的切线，也是的切线，则（）ABCD【答案】C【解析】设直线与和的切点分别为，则切线方程分别为，化简得，依题意上述两直线与是同一条直线，所以，解得，所以故选：C例7（2023全国高三专题练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（）A2B4C D 【答案】A【解析】对于 ，设切点为 ， ，则切线方程为 ，即 ；对于 ，设切点为 ，则切线方程为 ， ；由得： 解得 ， ；故选：A核心考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题【典型例题】例8（2023春广西高三期末）已知函数（1）当时，求的最小值；（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围【解析】（1）化简得，当时，当时等号成立，所以的最小值为

31、2；（2）由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立又因为，当且仅当时，等号成立所以，或或例9（2023全国高三专题练习）已知函数，若，求的取值范围（）ABCD【答案】D【解析】若，则，即，解得；若，则，即，解得；若，满足，综上所述，的取值范围为，故选：D例10（2023福建厦门高三厦门双十中学校考阶段练习）已知函数，若时，求a的取值范围（）ABCD【答案】B【解析】由题，得，设，则，当，单调递增；当，单调递减又，故在存在唯一零点，即在存在唯一零点由题设知，可得因为在存在唯一零点，设为，且当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减又，所以，当时，又当，时，故因此，a的取值范围是故选：B核心考点四：

32、运用函数与方程的思想研究其他问题【典型例题】例11（2023春重庆九龙坡高三重庆市育才中学校考开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，（1）求A和a的大小；（2）若为锐角三角形，求的面积S的取值范围【解析】（1）因为，由正弦定理得：所以，所以，因为中，所以，因为，所以，因为，由余弦定理得：，解得，综上，（2）由（1）知：，由正弦定理得：，因为为锐角三角形，故，得从而的面积，又，所以，从而的面积的取值范围为例12（2023春河北张家口高三张家口市第一中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，其中一个焦点在直线上（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，试求三角

33、形面积的最大值【解析】（1）椭圆的一个焦点即为直线与轴的交点，所以，又离心率为则，所以椭圆方程为；（2）联立若直线与椭圆方程得，令，得设方程的两根为，则，点到直线的距离，当且仅当，即或时取等号，而或满足，所以三角形面积的最大值为1例13（2023春陕西咸阳高三陕西咸阳中学校考期中）已知数列是各项均为正数的等差数列（1）若，且，成等比数列，求数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，数列的前n项和为，设，若对任意的，不等式恒成立，求实数k的最小值【解析】（1）依题意，设正项等差数列的公差为d，则，于是得，解得或（舍去），则，所以数列的通项公式是（2）因数列的前n项和为，则由（1）知：，即，有，则数

34、列是递减数列，因此，因对任意的，不等式恒成立，从而得，所以实数k的最小值为例14（2023春北京高三校考期中）已知函数（1）函数的值域是_（2）若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围是_-【答案】 【解析】（1）当时，；当时，所以函数的值域为（2）关于x的方程（aR）恰有两个互异的实数解，即函数的图象与直线有两个不同的交点，在平面直角坐标系内画出函数的图象和直线如图所示，当直线分别经过点和时，a的值分别为和，有图易得当时，函数的图象和直线有两个交点；当直线与函数的图象在内相切时，有，即有且仅有一个根，则有，解得（舍去）综上所述，a的取值范围是故答案为：；【新题速递】一、单选题1（2

35、023广东茂名高三统考）已知三棱柱的顶点都在球O的表面上，且，若三棱柱的侧面积为，则球O的表面积的最小值是（）ABCD【答案】C【解析】依题意可知三棱柱是直三棱柱，设其高为，设，则，由余弦定理得，即，设三角形的外接圆半径为，则，所以球的半径，当且仅当时等号成立所以球的表面积的最小值为故选：C2（2023重庆万州高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知函数，若存在三个零点，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】因为存在三个零点，所以方程存在三个实根，因为当时，即有且只有一个实根，所以当时，即有且只有2个实根，令，则，由，得，由，得，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值，又

36、时，时，由函数，的图象可知，所以实数的取值范围是故选：B3（2023春河北沧州高三阶段练习）已知数列满足：，则下列说法正确的是（）A若，则数列是单调递减数列B若，则数列是单调递增数列C时，D时，【答案】C【解析】由得，即，所以数列是以4为公差的等差数列，函数，A项，在上是单调递增函数，即数列是单调递增数列，B项，在上是单调递减函数，即数列是单调递减数列，C项，时，可知，D项，时，由C知，故选：C二、多选题4（2023浙江嘉兴高一统考期末）已知平面向量，满足，则下列结论正确的是（）A对任意，B对任意，的最小值为C的最大值为D的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以，故A正确对于D，设，

37、则，应用A的结论得，等号可以取到，故D正确对于B，因为 ，所以，故B正确对于C，故C错误，故选：ABD5（2023春福建泉州高三福建省永春第一中学校考阶段练习）已知圆 ，直线，则（）A直线恒过定点B当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1C直线与圆有一个交点D若圆与圆 恰有三条公切线，则【答案】AD【解析】对于A选项，直线 ，所以，令，解得，所以直线恒过定点，故A选项正确对于B选项，当时，直线为：，则圆心到直线的距离为，所以圆上只有2个点到直线的距离为，故B选项错误对于C选项，因为直线过定点，所以，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点故C选项错误对于D选项，由圆的方程可得，所以圆心为，半径为，因

38、为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则，解得，故D选项正确故选：AD6（2023春山东日照高三统考）下列命题中是真命题的有（）A有四个实数解B设a、b、c是实数，若二次方程无实根，则C若，则D若，则函数的最小值为2【答案】BC【解析】对：令，容易知其为偶函数，又当时，令，解得；故函数有两个零点，即，故错误；对：若二次方程无实根，故可得，即可得，故正确；对：，则，解得，且，此时一定有，故正确；对：令，则原函数等价于，根据对勾函数的单调性可知，该函数在区间上是单调增函数，故可得函数的最小值为故错误故答案为：7（2023春黑龙江哈尔滨高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知等差数列的前项和

39、为，若，则（）AB若，则的最小值为C取到最大值时，D设，则数列的最小项为【答案】AD【解析】由，可得，则等差数列的通项公式为，则选项A判断正确；若，则则（当且仅当时等号成立）又，则的最小值为不为则选项B判断错误；等差数列中，则等差数列的前项和取到最大值时，或则选项C判断错误；设，则，则则则数列的最小项为则选项D判断正确故选：AD8（2023春福建泉州高三泉州五中校考）数列满足，则下列说法正确的是（）A当时，B当时，C当时，D当时，数列单调递增，数列单调递减【答案】AB【解析】A选项，设，整理得：，所以，故，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，A正确；B选项，因为，所以，猜想：，下面用

40、数学归纳法进行证明：显然，满足要求，假设时，成立，即，则当时，因为，所以，故，B正确；C选项，由B选项知，画出与的图象，因为，且，画出蛛网图，可以看出：当为奇数时，当为偶数时，故，所以，两不等式相加得：，C错误；，因为，所以，显然，故此时为常数列，D错误故选：AB三、填空题9（2023春四川绵阳高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若函数在定义域内存在非零实数，使得，则称函数为“壹函数”，则下列函数是“壹函数”的是_；【答案】【解析】对于，的定义域为，由，得，平方得，解得，不是非零实数，则不是“壹函数”；对于，的定义域为，由，得，即，解得，则是“壹函数”；对于，的定义域为，由，得，可得，即，解得，则是“壹函数”；对于，的定义域为，由，得，解得，不是非零实数，则不是“壹函数”故答案为：10（2023春四川成都高一校联考）已知函数 满足，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】因，当时，不等式恒成立，则f（x）在R上单调递减，由知，则，当时，当时，在上单调递减，此时，解得，则，当时，因函数在上单调递减，在上单调递增，而函