新浙江专版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第2节函数的单调性与最值教师用书.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1/12新浙江专版高考数学一轮复习第2 章函数导数及其应用第2 节函数的单调性与最值教师用书 1 增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)2 单调性、单调区间的定义 若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间 3 函数的最值 前提 设函数yf(x)

2、的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M 对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M 结论 M是yf(x)的最大值 M是yf(x)的最小值 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，x1x2且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在区间D上是增函数()(2)函数y1x的单调递减区间是(，0)(0，)()(3)函数y|x|是 R 上的增函数()欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！

3、2/12(4)所有的单调函数都有最值()答案 (1)(2)(3)(4)2下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是()A y11x B ycos x C yln(x1)D y2x D 选项 A 中，y11x在(，1)和(1，)上为增函数，故y11x在(1,1)上为增函数；选项 B 中，ycos x在(1,1)上先增后减；选项 C中，yln(x1)在(1，)上为增函数，故yln(x1)在(1,1)上为增函数；选项 D 中，y2x12x在 R 上为减函数，故y2x在(1,1)上是减函数 3(教材改编)已知函数f(x)2x1，x2,6，则f(x)的最大值为_，最小值为_ 2 25 可判断函数f(x)

4、2x1在2,6上为减函数，所以f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6)25.4函数y(2k1)xb在 R 上是减函数，则k的取值范围是_.【导学号：51062019】，12 由题意知 2k10，得k12.5 f(x)x22x，x 2,3的单调增区间为_，f(x)max_.1,3 8 f(x)(x1)21，故f(x)的单调增区间为1,3，f(x)maxf(2)8.函数单调性的判断 (1)函数f(x)log2(x21)的单调递减区间为_(2)试讨论函数f(x)xkx(k0)的单调性(1)(，1)由x210 得x1 或x1，即函数f(x)的定义域为(，1)(1，)欢迎您阅读并下载本文档，本文

5、档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！3/12令tx21，因为ylog2t在t(0，)上为增函数，tx21 在x(，1)上是减函数，所以函数f(x)log2(x21)的单调递减区间为(，1)(2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)在(0，)内任取x1，x2，令 0 x1x2，那么f(x2)f(x1)x2kx2x1kx1(x2x1)k1x21x1(x2x1)x1x2kx1x2.2 分 因为 0 x1x2，所以x2x10，x1x20.故当x1，x2(k，)时，f(x1)f(x2)，即函数在(k，)上单调递增.6 分 当x1，x2(0，k)时，f(x1)f

6、(x2)，即函数在(0，k)上单调递减 考虑到函数f(x)xkx(k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(，k)上单调递增，在(k，0)上单调递减 综上，函数f(x)在(，k)和(k，)上单调递增，在(k，0)和(0，k)上单调递减.15 分 法二：f(x)1kx2.2 分 令f(x)0 得x2k，即x(，k)或x(k，)，故函数的单调增区间为(，k)和(k，).6 分 令f(x)0 得x2k，即x(k，0)或x(0，k)，故函数的单调减区间为(k，0)和(0，k).12 分 故函数f(x)在(，k)和(k，)上单调递增，在(k，0)和(0，k)上单调递减.15 分 规律

7、方法 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底 2利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确 易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)变式训练 1(1)(2017湖州二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是()A yx3 B yx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！4/12C y1x D y12x(2)函数f(x)log12(x24)的单调递增区间是()A(0，)B(，0)C(2，)D(，2)(1)C (2)D (1)选项 A，B 中函数在

8、定义域内均为单调递增函数，选项 D 为在定义域内为单调递减函数，选项 C 中，设x1x2(x1，x20)，则y2y11x21x1x1x2x1x2，因为x1x20，当x1，x2同号时x1x20，1x21x10，当x1，x2异号时x1x20，1x21x10，所以函数y1x在定义域上不是单调函数，故选 C.(2)由x24 0 得x2 或x2，所以函数f(x)的定义域为(，2)(2，)，因为ylog12t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24 的单调递减区间，可知所求区间为(，2)利用函数的单调性求最值 已知f(x)x22xax，x1，)，且a1.(1)当a12时，求函数f(

9、x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数a的取值范围 思路点拨 (1)先判断函数f(x)在1，)上的单调性，再求最小值；(2)根据f(x)min0 求a的范围，而求f(x)min应对a分类讨论 解(1)当a12时，f(x)x12x2，f(x)112x20，x1，)，即f(x)在1，)上是增函数，f(x)minf(1)1121272.4 分(2)f(x)xax2，x1，)法一：当a0 时，f(x)在1，)内为增函数 f(x)minf(1)a3.要使f(x)0 在x1，)上恒成立，只需a3 0，3 a0.7 分 当 0a1 时，f(x)在1，)内为增函数，f(x)minf

10、(1)a3，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！5/12a3 0，a3，0a1.综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3,1.15分 法二：f(x)xax20，x1，x22xa0，8 分 a(x22x)，而(x22x)在x1 时取得最大值3，3 a1，即a的取值范围为(3,1.15分 规律方法 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f(x)在闭区间a，b 上是增函数，则f(x)在a，b 上的最大值为f(b)，最小值为f(a)请思考，若函数f(x)在闭区间a，b 上是减函数呢？变式训练 2 函数f(x)xx

11、1(x2)的最大值为_ 2 法一：f(x)1x2，x2 时，f(x)0 恒成立，f(x)在2，)上单调递减，f(x)在2，)上的最大值为f(2)2.法二：f(x)xx1x11x111x1，f(x)的图象是将y1x的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到的y1x在2，)上单调递减，f(x)在2，)上单调递减，故f(x)在2，)上的最大值为f(2)2.法三：由题意可得f(x)11x1.x2，x11，01x11，111x12，即 1xx12.故f(x)在2，)上的最大值为 2.函数单调性的应用 角度 1 比较大小 (2017浙江冲刺卷四)定义在 R 上的奇函数f(x)满足f(x2)f(

12、x)，且在区间0,1上是增函数，则()A f54f53f52 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！6/12B f53f52f54 C f52f54f53 D f52f53130，所以f34f13f(0)0，即有f54f530，又f12f(0)0，则f52f120，从而有f52f531时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.3分(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则x1x21，当x1 时，f(x)0，fx1x20，5 分 即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数.9 分(3)f(x)在(0，)上是单调递减函数，f(x)在2,9上的最小值为f(9)由fx1x2f(x1)f(x2)，得f93f(9)f(3)，12 分 而f(3)1，f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.15分