高中一轮数学练习第六章第六节直接证明与间接证明.pdf

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1、第六章第六章第六节第六节直接证明与间接证明直接证明与间接证明题组一题组一综合法的应用综合法的应用1 1a ab b2 2abab1.(2010XX1.(2010XX 模拟模拟)已知函数已知函数f f(x x)()x x，a a，b bRR，A Af f()，B Bf f(abab)，C Cf f()，2 22 2a ab b则则A A、B B、C C的大小关系为的大小关系为()A AA AB BC C B BA AC CB BC CB BC CA A D DC CB BA A解解 析析：a ab b2 2abab2 2abab1 1，又又f f(x x)()x x在在R R上上 是是 单单 调

2、调 减减 函函 数数，a ab b2 2f f(a ab b2 2)f f(abab)f f(2 2abab)a ab b答案：答案：A A2 2函数函数y yf f(x x)在在(0,2)(0,2)上是增函数，函数上是增函数，函数y yf f(x x2)2)是偶数，则是偶数，则f f(1)(1)，f f(2.5)(2.5)，f f(3.5)(3.5)的的大小关系是大小关系是()A Af f(2.5)(2.5)f f(1)(1)(2.5)f f(1)(1)f f(3.5)(3.5)C Cf f(3.5)(3.5)f f(2.5)(2.5)f f(1)(1)D Df f(1)(1)f f(3.5

3、)(3.5)f f(2.5)(2.5)解析：因为函数解析：因为函数y yf f(x x)在在(0,2)(0,2)上是增函数，函数上是增函数，函数y yf f(x x2)2)是偶函数，所以是偶函数，所以x x2 2 是是对称轴，在对称轴，在(2,4)(2,4)上为减函数，由图象知上为减函数，由图象知f f(2.5)(2.5)f f(1)(1)f f(3.5)(3.5)答案：答案：B B1 11 13 33 3在在ABCABC中，中，三个内角三个内角A A、B B、C C的对边分别为的对边分别为a a、b b、c c，若若，a ab bb bc ca ab bc c试问试问A A、B B、C C是

4、否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由若成等差数列，请是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由若成等差数列，请给出证明给出证明证明：证明：A A、B B、C C成等差数列，下面用综合法给出证明：成等差数列，下面用综合法给出证明：1 11 13 3，a ab bb bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc c3 3，a ab bb bc cc ca ab ba ab bc c1 1，c c(b bc c)a a(a ab b)(a ab b)()(b bc c)，b b2 2a a2 2c c2 2acac.在在ABCABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得coscosB

5、 Ba a2 2c c2 2b b2 2acac1 12 2acac2 2acac2 2，00B B180180B B60.60.A AC C2 2B B120，120，A A、B B、C C成等差数列成等差数列题组二题组二分析法的应用分析法的应用若若P Pa aa a7 7，QQa a3 3a a4(4(a a0)，则0)，则P P、Q Q的大小关系是的大小关系是(A AP PQQB BP PQQC CP PQQ D D由由a a的取值确定的取值确定解析：要证解析：要证P PQQ，只要证，只要证P P2 2QQ2 2，只要证：只要证：2 2a a7 72 2a a(a a7)7)2 2a a

6、7 72 2(a a3)(3)(a a4)4)，只要证：只要证：a a2 27 7a aa a2 27 7a a1212，只要证：只要证：0 01212，001212 成立，成立，P PQQ成立成立答案：答案：C C设设a a，b b均为正数，且均为正数，且a ab b，求证：，求证：a a3 3b b3 3a a2 2b babab2 2.证明：法一：证明：法一：(分析法分析法)要证要证a a3 3b b3 3a a2 2b babab2 2成立，成立，只需证只需证(a ab b)()(a a2 2ababb b2 2)abab(a ab b)成立成立又因为又因为a ab b0 0，只需证只

7、需证a a2 2ababb b2 2abab成立成立又需证又需证a a2 22 2ababb b2 20 0 成立，成立，即需证即需证(a ab b)2 20 0 成立成立而依题设而依题设a ab b，则，则(a ab b)2 20 0 显然成立，由此命题得证显然成立，由此命题得证法二：法二：(综合法综合法)4.4.5 5a ab ba ab b00(a ab b)2 20 0a a2 22 2ababb b2 20 0a a2 2ababb b2 2abab.(*).(*)而而a a，b b均为正数，均为正数，a ab b0 0，由由(*)(*)式即得式即得(a ab b)()(a a2 2

8、ababb b2 2)abab(a ab b)，a a3 3b b3 3a a2 2b babab2 2.题组三题组三反证法的应用反证法的应用6.6.用反证法证明：用反证法证明：若整系数一元二次方程若整系数一元二次方程axax2 2bxbxc c0(0(a a0)有有理数根，0)有有理数根，那么那么a a、b b、c c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是中至少有一个偶数时，下列假设正确的是()A A假设假设a a、b b、c c都是偶数都是偶数B B假设假设a a、b b、c c都不是偶数都不是偶数C C假设假设a a、b b、c c至多有一个偶数至多有一个偶数D D假设假设a a、b b、

9、c c至多有两个偶数至多有两个偶数解析：“至少有一个”的否定“都不是”解析：“至少有一个”的否定“都不是”答案：答案：B B1 11 11 17 7设设a a，b b，c c(，(，0)0)，则，则a a，b b，c c()b bc ca aA A都不大于都不大于2 2B B都不小于都不小于2 2C C至少有一个不大于至少有一个不大于2 2D D至少有一个不小于至少有一个不小于2 21 11 11 1解析：假设解析：假设a a，b b，c c 都小于或等于都小于或等于2 2，b bc ca a1 11 11 1即即a a 2 2，b b 2 2，c c 2 2，b bc ca a1 11 11

10、 1将三式相加，得将三式相加，得a a b b c c 6 6，b bc ca a1 11 11 1又因为又因为a a 2 2，b b 2 2，c c 2 2，a ab bc c1 11 11 1三式相加，得三式相加，得a a b b c c 6 6，b bc ca a1 11 11 1所以所以a a b b c c 6 6 成立成立b bc ca a答案：答案：C C8 8某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f f(x x)在在0,10,1上有意义，且上有意义，且f f(0)(0)f f(1)(1)，1 1如果对于不同的如果对于不同的x x1 1，

11、x x2 20,1，0,1，都有都有|f f(x x1 1)f f(x x2 2)|)|x x1 1x x2 2|，求证：求证：|f f(x x1 1)f f(x x2 2)|)|.2 2那么他的反设应该是那么他的反设应该是_解析：该命题为全称命题，其否定为特称命题解析：该命题为全称命题，其否定为特称命题1 1答案：“存在答案：“存在x x1 1，x x2 20,1，使得0,1，使得|f f(x x1 1)f f(x x2 2)|)|x x1 1x x2 2|且且|f f(x x1 1)f f(x x2 2)|)|”2 29 9已知已知a a，b b，c c是互不相等的实数是互不相等的实数求证

12、：由求证：由y yaxax2 22 2bxbxc c，y ybxbx2 22 2cxcxa a和和y ycxcx2 22 2axaxb b确定的三条抛物确定的三条抛物线至少有一条与线至少有一条与x x轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x x轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点(即任何一即任何一条抛物线与条抛物线与x x轴没有两个不同的交点轴没有两个不同的交点)，由由y yaxax2 22 2bxbxc c，y ybxbx2 22 2cxcxa a，y ycxcx2 22 2axaxb b，得得 1 1(2

13、(2b b)2 24 4acac0，0，2 2(2(2c c)2 24 4abab0，0，3 3(2(2a a)2 24 4bcbc0.0.上述三个同向不等式相加得，上述三个同向不等式相加得，4 4b b2 24 4c c2 24 4a a2 24 4acac4 4abab4 4bcbc0，0，22a a2 22 2b b2 22 2c c2 22 2abab2 2bcbc2 2caca0，0，(a ab b)2 2(b bc c)2 2(c ca a)2 20，0，a ab bc c，这与题设，这与题设a a，b b，c c互不相等矛盾，互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证因此假设不成

14、立，从而命题得证题组四题组四直接证明与间接证明的综合应用直接证明与间接证明的综合应用10.10.设设a a，b b，c c，d d(0，)，若(0，)，若a ad db bc c且且|a ad d|b bc c|，则有，则有()A Aadadbcbc B Badad bcbc D Dadadbcbc解析：解析：|a ad d|b bc c|(a ad d)2 2(b bc c)2 2a a2 2d d2 22 2adad b b2 2c c2 22 2bc,bc,又又a ad db bc c(a ad d)2 2(b bc c)2 2a a2 2d d2 22 2adadb b2 2c c2 22 2bcbc，4 4adad bcbc.答案：答案：C C1 19 91111已知已知a a，b b，(0，)且(0，)且 1 1，则使得，则使得a ab b 恒成立的恒成立的 的取值的取值 X X 围是围是a ab b_1 19 9解析：解析：a a，b b(0，)且(0，)且 1 1，a ab bb b1 19 99 9a ab ba ab b(a ab b)()()1010()10)102 29 91616，a ab b的最小值为的最小值为 16.16.a ab ba a要使要使a ab b 恒成立，需恒成立，需 1616，0，0 16.16.答案：答案：(0,16(0,16