2020年全国高中数学联赛试题(A卷).pdf

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1、试卷第 1 页，共 2 页 2020 年全国高中数学联赛试题（A 卷）学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、填空题 1在等比数列 na中，91313,1aa，则1log 13a的值为_ 2在椭圆中，A为长轴的一个端点，B为短轴的一个端点，12,F F为两个焦点若12120AF AFBF BF，则12|ABF F的值为_ 3设0a，函数100()f xxx在区间(0,a上的最小值为1m，在区间,)a 上的最小值为2m，若122020m m，则 a 的值为_ 4设 z 为复数若2zzi为实数（i为虚数单位），则|3|z 的最小值为_ 5在ABC中，6,4ABBC，边AC上的中线长为10，则66si

2、ncos22AA的值为_ 6正三棱锥PABC的所有棱长均为 1，L，M，N 分别为棱,PA PB PC的中点，则该正三棱锥的外接球被平面LMN所截的截面面积为_ 7设,0a b，满足：关于 x 的方程|xxab恰有三个不同的实数解123,x xx，且123xxxb，则ab的值为_ 8现有 10 张卡片，每张卡片上写有 1，2，3，4，5 中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同将这 10 张卡片放入标号为 1，2，3，4，5 的五个盒子中，规定写有 i，j的卡片只能放在 i号或 j号盒子中一种放法称为“好的”，如果 1 号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数则“好的”放法共有_种 二

3、、解答题 9在ABC中，2sin2A 求cos2cosBC的取值范围 10对正整数 n 及实数(0)xxn，定义 1(,)(1 )C Cxxnnf n xxx，其中 x表示不超过实数 x 的最大整数，xxx若整数,2m n 满足121,123mnfmfmfmnnn，求121,mnfnfnfnmmm的值 11在平面直角坐标系中，点 A，B，C 在双曲线1xy 上，满足ABC为等腰直角三角试卷第 2 页，共 2 页 形求ABC的面积的最小值 12如图，在等腰ABC中，ABBC，I 为内心，M为BI的中点，P 为边AC上一点，满足3APPC，PI延长线上一点 H满足MHPH，Q 为ABC的外接圆上劣

4、弧AB的中点证明：BHQH 13给定整数3n设122122,nna aab bb是4n个非负实数，满足1221220nnaaabbb，且对任意1,2,2in，有21iiiia abb（这里211222211,nnnaa aa bb）求122naaa的最小值 14设12121,2,2,3,4,nnnaaaaan证明：对整数5n，na，必有一个模 4 余1 的素因子 15给定凸 20 边形 P用 P的 17 条在内部不相交的对角线将 P分割成 18 个三角形，所得图形称为 P的一个三角剖分图对 P的任意一个三角剖分图 T，P 的 20 条边以及添加的 17 条对角线均称为 T的边T的任意 10 条

5、两两无公共端点的边的集合称为 T的一个完美匹配当 T 取遍 P 的所有三角剖分图时，求 T的完美匹配个数的最大值 答案第 1 页，共 13 页 参考答案：113【分析】首先利用等比数列的性质，结合已知条件，列出等量关系式，求得1a的值，之后利用对数运算求得结果.【详解】由等比数列的性质知219913aaaa，故339121313aaa所以11log 133a 故答案为：13.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关等比数列与对数运算的问题，正确解题的关键是熟练掌握等比数列的性质以及对数运算法则.222【分析】结合题意计算出ac、的数量关系，然后即可计算出答案.【详解】解：不妨设的方程为22221(

6、0)xyabab，(,0),(0,)A aBb，1(,0)Fc，2(,0)F c，其中22cab由条件知 222221212()()20AFAFBF BFca cacbabc 所以22212|22222ABabcFFcc 故答案为：22.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是对已知条件向量的计算，可以得到ac、的数量关系，即可得到结果.31 或 100【分析】根据对勾函数的性质得出 f x在区间0，10上单调递减，在10，上单调递增，从而可得最小值 f a、10f，相乘即可求解.【详解】注意到()f x在(0,10上单调减，在10,)上单调增 当(0,10a时，12(),(10)mf a mf；

7、当10,)a时，12(10),()mfmf a 因此总有12()(10)2020f a fm m，答案第 2 页，共 13 页 即100202010120aa，解得1a 或100a 故答案为：1 或 100【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对勾函数在某个区间上的最小值的问题，正确解题的关键是要明确对勾函数的单调区间.45【分析】设(,)zabi a bR，由已知条件计算出ab、的数量关系，然后运用不等式求解出结果；【详解】设(,)zabi a bR，由条件知 22222(2)i(2)(1)22ImIm0i(1)i(1)(1)zababababzababab，故22ab从而 22225|3|1

8、2(3)|(3)2|5zabab，即|3|5z 当2,2ab 时，|3|z 取到最小值5 故答案为：5【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是紧扣已知条件，计算出满足条件的数量关系，继而可以求出结果.5211256【分析】由中线长公式计算出AC的长度，然后运用余弦定理计算出cos A的值，化简后即可求出结果.【详解】记 M为AC的中点，由中线长公式得 222242BMACABBC，可222 644 108AC 由余弦定理得2222228647cos22 8 68CAABBCACA AB，所以 66224224sincossincossinsincoscos22222222AAAAAAAA 2222

9、2sincos3sincos2222AAAA 答案第 3 页，共 13 页 231sin4A 213211cos44256A 故答案为：211256【点睛】关键点点睛：解答本题关键是能够熟练运用中线长公式、余弦定理、倍角公式等进行计算，考查综合能力.63【分析】结合已知条件计算出正三棱锥外接球球心的位置，得到球心到两个面的距离相等，即可计算出截面面积.【详解】解：由条件知平面LMN与平面ABC平行，且点 P 到平面,LMN ABC的距离之比为1:2设H为正三棱锥PABC的面ABC的中心，PH与平面LMN交于点 K，则PH 平面ABC，PK 平面LMN，故12PKPH 正三棱锥PABC可视为正四

10、面体，设 O为其中心（即外接球球心），则 O在PH上，且由正四面体的性质知14OHPH结合12PKPH可知OKOH，即点 O 到平面,LMN ABC等距这表明正三棱锥的外接球被平面,LMN ABC所截得的截面圆大小相等从而所求截面的面积等于ABC的外接圆面积，即233AB 故答案为：3【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是确定正三棱锥外接球的球心位置，在解答此类题目时要注意几何体的特征，还可以考虑一些特殊位置等.7144【分析】令2atx，将方程根的问题转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行计算，即可得到结果.【详解】解：令2atx，则关于 t的方程22aattb恰有三个不同的实数解(1,

11、2,3)2iiatxi 由于()22aaf ttt为偶函数，故方程()f tb的三个实数解关于数轴原点对称分布，答案第 4 页，共 13 页 从而必有(0)2bfa以下求方程()2f ta的实数解 当|2at 时，224222aaf tttaata，等号成立当且仅当0t；当2at 时，()f t单调增，且当58at 时()2f ta；当2at 时，()f t单调减，且当58at 时()2f ta 从而方程()2f ta恰有三个实数解12355,0,88ta tta 由条件知3328aabxt，结合2ba得128a 于是91448aab 故答案为：144【点睛】关键点点睛：要求解方程的根，关键是

12、转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行求解，考查转化能力.8120【分析】结合题意，对满足情况进行分类，运用组合的相关知识进行求解.【详解】解：用,i j表示写有 i，j的卡片易知这 10 张卡片恰为,(15)i jij 考虑“好的”卡片放法五个盒子一共放有 10 张卡片，故 1 号盒至少有 3 张卡片，能放入 1号盒的卡片仅有1,2,1,3,1,4,1,5 情况一：这 4 张卡片都在 1 号盒中，此时其余每个盒中已经不可能达到 4 张卡片，故剩下 6张卡片无论怎样放都符合要求，有6264种好的放法 情况二：这 4 张卡片恰有 3 张在 1 号盒中，且其余每盒最多仅有 2 张卡片 考虑1

13、,2,1,3,1,4在 1 号盒，且1,5在 5 号盒的放法数 N 卡片2,3,2,4,3,4的放法有 8 种可能，其中 6 种是在 2，3，4 号的某个盒中放两张，其余 2 种则是在 2，3，4 号盒中各放一张 若2,3,2,4,3,4有两张在一个盒中，不妨设2,3,2,4在 2 号盒，则2,5只能在 5 号盒，这样 5 号盒已有1,5,2,5，故3,5,4,5分别在 3 号与 4 号盒，即2,5,3,5,4,5的放法唯一；若2,3,2,4,3,4在 2，3，4 号盒中各一张，则 2，3，4 号盒均至多有 2 张卡片，仅需再使 5 号盒中不超过 2 张卡片，即2,5,3,5,4,5有 0 张

14、或 1 张在 5 号盒中，对应0133CC4种放法 答案第 5 页，共 13 页 因此6 12414N 由对称性，在情况二下有456N 种好的放法 综上，好的放法共有6456120种【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是结合题意进行分类讨论，需要考虑全面，不要漏掉情况，要求综合能力较强.9(0,1(2,5【分析】由已知条件得到角A的值，分类讨论两种情况，然后结合两角和的正弦公式逆用求得取值范围.【详解】解：记cos2 cosfBC 由条件知4A或34A 当4A时，34BC，其中304C，此时 322cos2cossincossin(0,14224fCCCCC 当34A时，4BC，其中04C，此时

15、 23 2cos2cossincos5sin()422fCCCCC，其中arctan 3 注意到,42，函数()5sin()g xx在0,2上单调增，在,24上单调减，又3 2(0)2,5242ggg，故(2,5f 综上所述，cos2 cosfBC的取值范围是(0,1(2,5【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是熟练运用两角和正弦公式，需要注意对角A的分类讨论.1074.【分析】根据题中所给的条件，对k的取值进行分析，结合条件，列出等式，整理求得21124mn，从而得到21m是124的约数，分析得到5m，4n，进而求得式子的值.【详解】对0,1,1km，答案第 6 页，共 13 页 有11111

16、1111,C1C(C2)Cnnnkkkkmmmmiiiiiinfm knnn 所以111101121,C,mmnjmjkimnifmfmfmfm knnnn 11100122CC2mmmkkmmkkn 12221212112mmmmnn 同理得121,211nmnfnfnfnmmmm 由条件知211123mn，即21124mn，故21m是124的约数 又2m，所以213,7,15,31,63,127,m，仅当5m 时，2131m 为 124 的约数，进而有124431n 进而求得4121,21 5 174mnfnfnfnmmm 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关新定义的问题，正确解题的关键是

17、认真分析题中条件，合理转化，利用好相关公式.113 3【分析】首先设出三角形的顶点，利用等腰直角的条件，列出等量关系式，结合点在曲线上点的坐标满足曲线方程，对式子进行整理变形，结合基本不等式求得最值，之后再验证结果是可以取到的，得到结果.【详解】不妨设等腰直角ABC的顶点 A，B，C 逆时针排列，A 为直角顶点 设(,)ABs t，则(,)ACt s，且ABC的面积2221|22ABCstSAB，答案第 7 页，共 13 页 注意到 A 在双曲线1xy 上，设1,A aa，则11,B astC atsaa 由 B，C 在双曲线1xy 上，可知11()()1astatsaa，这等价于satsta

18、，tassta 由、相加，得()0sta tsa，即2tsats 由、相乘，并利用，得2 222221sts tatasaststaaa 2222224tstsstststststtstsst 22222stst 所以由基本不等式得 42222 22222 22 2221224sts tsts ts tst 3262 22 2222222143108s ts tstst，故221086 3st 以下取一组满足条件的实数(,)s t a，使得226 3st（进而由,s t a可确定一个满足条件的答案第 8 页，共 13 页 ABC，使得223 32ABCstS）考虑的取等条件，有22 2222s

19、 tst，即2223st 不妨要求0st，结合226 3st，得3(31),3(31)st 由知0a，故由得tsats，其中3131312tss，从而有312312a 综上，ABC的面积的最小值为3 3【点睛】思路点睛：该题考查的是有关顶点在双曲线上的等腰直角三角形的面积最小值的求解问题，解题思路如下：（1）先设出三角形顶点坐标；（2）根据题意，结合等腰直角三角形的条件，利用垂直和等距，得到等量关系式；（3）写出三角形的面积，利用基本不等式求得最值；（4）利用基本不等式中等号成立的条件，验证其是可取的，最后求得结果.12证明见解析.【分析】取AC的中点N，结合已知条件证得/QMCN，再由三角形

20、边之间的比例关系证得三角形相似，可得四点共圆，即得证.【详解】证明：取AC的中点 N连接QB、QM，由3APPC，可知 P为NC的中点易知 B，I，N共线，90INC 由 I 为ABC的内心，可知CI经过点 Q，且 QIBIBCICBABIACQABIABQQBI ，又 M为BI的中点，所以QMBI进而/QMCN 考虑HMQ与HIB由于MHPH，故90HMQHMIHIB 又90IHMINP，故HMNPHINI，于是1122HMNPNCMQMQHININIMIIB 所以HMQHIB，得HQMHBI 答案第 9 页，共 13 页 从而 H，M，B，Q四点共圆于是有90BHQBMQ，即BHQH【点睛

21、】关键点点睛：解答本题的关键是结合已知条件证得三角形相似，可以得到四点共圆，需要较强的图形解题综合能力.13当3n时，S的最小值为 12；当4n 时，S 的最小值为 16【分析】根据题意，设122122nnSaaabbb，13212nSTaaa，当3n时，得到23322121212113334kkkkkkSTaabbS，得到12S，当4n 时，分n 为偶数和 n为奇数两种情况说明，得到16S，进而求得结果.【详解】记122122nnSaaabbb 不失一般性，设13212nSTaaa 当3n时，因为32222212113355111302kkkTaaaaaaaa，故结合条件可知23322121

22、212113334kkkkkkSTaabbS 又0S，所以12S 当2(16)iiabi 时，S取到最小值 12 当4n 时，一方面有212121211nnkkkkkkaabbS 另一方面，若 n 为偶数，则221211523372114nkknnkTaaaaaaaa，其中第一个不等式是因为15233721nnaaaaaa展开后每一项均非负，且包含2121(1)kkaakn这些项，第二个不等式利用了基本不等式 若 n为奇数，不妨设13aa，则 12121212121311nnkkkknkkaaaaaa 2152137234nnTaaaaaa 从而总有2221211416nkkkTSSaa又0S

23、，所以16S 当1234124,0(52),0,16,0(32)iiaaaaain bbbin 时，S 取到最小值 16 答案第 10 页，共 13 页 综上，当3n时，S 的最小值为 12；当4n 时，S 的最小值为 16【点睛】关键点点睛：该题是一道高中数学联赛题，考查的是有关与数列相关的最值问题，正确解题的关键是要明确题意，注意分类讨论思想的应用.14证明见解析.【分析】不妨记12,12 ，由递推式及数学归纳法得到na有奇素因子 p，然后对正整数进行讨论，证明也存在模 4 余 1 的素因子.【详解】证明：记12,12 ，则易求得nnna 记2nnnb，则数列 nb满足 122(3)nnn

24、bbbn 因121,3bb均为整数，故由及数学归纳法，可知 nb每项均为整数 由222()22nnnnn，可知222(1)(1)nnnban 当1n 为奇数时，由于1a为奇数，故由 na的递推式及数学归纳法，可知na为大于 1 的奇数，所以na有奇素因子 p由得21(mod)nbp，故112(1)(mod)ppnbp 又上式表明,1np b，故由费马小定理得11(mod)pnbp，从而12(1)1(mod)pp 因2p，故必须12(1)1p，因此1(mod4)p 另一方面，对正整数 m，n，若|m n，设nkm，则(1)(2)(2)(1)nnmmkmkmmmkmkmna 0(21 2)(21

25、2)10(22)(22)1()(),2=()(),21iimli mli mmlilmimli mli mmlaklakl 因2sssb为整数（对正整数 s），1 为整数，答案第 11 页，共 13 页 故由上式知na等于ma与一个整数的乘积，从而|mna a 因此，若n有大于1的奇因子m，则由前面已证得的结论知ma有素因子1(mod4)p，而|mnaa，故|np a，即na也有模 4 余 1 的素因子 最后，若 n 没有大于 1 的奇因子，则 n是 2 的方幂设2(3)lnl，因840824 17a 有模 4 余 1 的素因子 17，对于4l，由8|2l知82|la a，从而2la也有素因子

26、 17证毕【点睛】关键点点睛：本题证明的关键是能够运用数论整除的相关知识以及费马小定理进行证明，不漏掉情况.15()f T的最大值等于1089F.【详解】解：将 20 边形换成2n边形，考虑一般的问题 对凸2n边形 P的一条对角线，若其两侧各有奇数个 P 的顶点，称其为奇弦，否则称为偶弦 首先注意下述基本事实：对 P 的任意三角剖分图 T，T的完美匹配不含奇弦（*）如果完美匹配中有一条奇弦1e，因为 T 的一个完美匹配给出了 P的顶点集的一个配对划分，而1e两侧各有奇数个顶点，故该完美匹配中必有 T的另一条边2e，端点分别在1e的两侧，又P 是凸多边形，故1e与2e在 P的内部相交，这与 T

27、是三角剖分图矛盾 记()f T为 T 的完美匹配的个数 设121,2FF，对212,kkkkFFF，是 Fibonacci 数列 下面对 n归纳证明：若 T是凸2n边形的任意一个三角剖分图，则()nf TF 设122nPA AA是凸2n边形从 P 的2n条边中选 n 条边构成完美匹配，恰有两种方法，1234212,nnA A A AAA或2345222121,nnnA A A AAAA A 当2n 时，凸四边形 P 的三角剖分图 T没有偶弦，因此 T 的完美匹配只能用 P 的边，故2()2f TF 当3n时，凸六边形 P 的三角剖分图 T至多有一条偶弦若 T 没有偶弦，同上可知答案第 12 页

28、，共 13 页()2f T 若 T 含有偶弦，不妨设是41A A，选用41A A的完美匹配是唯一的，另两条边只能是2356,A A A A，此时()3f T 总之3()3f TF 结论在2,3n 时成立假设4n，且结论在小于 n时均成立考虑凸2n边形122nPA AA的一个三角剖分图 T若 T 没有偶弦，则同上可知()2f T 对于偶弦 e，记 e 两侧中 P的顶点个数的较小值为()w e若 T含有偶弦，取其中一条偶弦 e使()w e达到最小，设()2w ek，不妨设 e为221nkA A，则每个(1,2,2)iA ik不能引出偶弦 事实上，假设ijA A是偶弦，若22,23,21jkkn，则

29、ijA A与 e 在 P的内部相交，矛盾若1,2,21,2 jkn，则2ijw AAk，与()w e的最小性矛盾 又由（*）知完美匹配中没有奇弦，故122,kA AA只能与其相邻顶点配对，特别地，1A只能与2A或2nA配对下面分两种情况 情形 1：选用边12A A则必须选用边34212,kkA AAA注意到221nkA A的两侧分别有2,222knk个顶点，2212222nknkw A Ak，而4n，因此226nk，在凸22nk边形121222kknPAAA上，T 的边给出了1P的三角剖分图1T，在 T中再选取nk条边，12,n ke ee，与1234212,kkA A A AAA一起构成 T

30、的完美匹配，当且仅当12,n ke ee是1T的完美匹配故情形 1 中的 T 的完美匹配个数等于 1f T 情形 2：选用边12nA A则必须选用边23221,kkA AA A在凸222nk边形2222321kknPAAA中构造如下的三角剖分图2:T对2221kijn，若线段ijA A是 T的边，则也将其作为2T的边，由于这些边在内部互不相交，因此可再适当地添加一些2P的对角线，得到一个2P的三角剖分图2T，它包含了 T 的所有在顶点222321,kknAAA之间的边因此每个包含边2123221,nkkA A A AA A的 T的完美匹配，其余的边必定是2T的完美匹配故情形 2 中的 T 的完

31、美匹配个数不超过 2f T 由归纳假设得 1n kf TF，21n kf TF，结合上面两种情形以及1k，有 1211()n kn kn knf Tf Tf TFFFF 答案第 13 页，共 13 页 下面说明等号可以成立考虑凸2n边形122nA AA的三角剖分图:n添加对角线222332121442232,nnnnnnnnnA AA A A AAA A AAA A A重复前面的论证过程，22f，33f 对n，4n，考虑偶弦3nA A情形 1，用12A A，由于在凸22n边形342nA AA中的三角剖分图恰是1n，此时有1nf个 T 的完美匹配 情形 2，用12nA A，由于在凸24n边形4521nA AA中 T的边恰构成三角剖分图2n，不用添加任何对角线，故这一情形下 T的完美匹配个数恰为2nf从而对4n，有 12nnnfff 由数学归纳法即得nnfF，结论得证 因此，对凸 20 边形 P，()f T的最大值等于1089F