贵州省安顺市2023年高三下学期第五次调研考试数学试题含解析.pdf

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1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知(1)2iaibi（i 为虚数单位，,a bR），则 ab 等于（）A2

2、B-2 C12 D12 2若向量(1,5),(2,1)ab，则(2)aab（）A30 B31 C32 D33 3下图为一个正四面体的侧面展开图，G为BF的中点，则在原正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为（）A33 B63 C36 D336 4为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等.记区域A为不平等区域，a表示其面积，S为OKL的面积，将GiniaS称为基尼系数.对于下列说法：Gini越小，则国民分配越公平；设劳伦茨曲线对应的函数为()

3、yf x，则对(0,1)x，均有()1f xx；若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2(0,1)yxx，则1Gini4；若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3(0,1)yxx，则1Gini2.其中正确的是：A B C D 5等差数列na中，已知51037aa，且10a，则数列na的前n项和nS*()nN中最小的是（）A7S或8S B12S C13S D14S 6设xR，则“|1|2x“是“2xx”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必条件 7如图所示程序框图，若判断框内为“4i”，则输出S（）A2 B10 C34 D98 8已知236ab，则a，b不可能满足的关系是（）

4、Aabab B4ab C22112ab D228ab 9设i是虚数单位，若复数1zi，则22|zzz（）A1 i B1i C1i D1i 10若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A36 cm3 B48 cm3 C60 cm3 D72 cm3 11下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（）A()lnf xxx B()xxf xee C()sin 2f xx D3()f xxx 12定义,aababbab，已知函数21()2sinf xx，21()2cosg xx，则函数()()()F xf xg x的最小值为（）A23 B1 C43 D2 二、填空题：本

5、题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c4a，6b，3A则cos2B _ 146312 xx的二项展开式中，含x项的系数为_ 15某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是_.2 至 3 月份的收入的变化率与 11 至 12 月份的收入的变化率相同；支出最高值与支出最低值的比是 6:1；第三季度平均收入为 50 万元；利润最高的月份是 2 月份 16已知1F，2F分别是椭圆C：22221xyab（0ab）的左、右焦点，过左焦点1F的直线与椭圆C交于A、B两点，且11|3|AFBF,2ABBF，则椭圆的离心率为_

6、三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）如图，四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD 交于点 O，VO平面 ABCD，E 是棱 VC 的中点 （1）求证：VA平面 BDE；（2）求证：平面 VAC平面 BDE 18（12 分）已知函数()lnaf xxax，11|()2xaaaxg xxe，()aR（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x在定义域内有且仅有一个零点，且此时()()f xg xm恒成立，求实数 m 的取值范围.19（12 分）已知函数2()ln3f xxaxx（aR）（1）函数()f x在点(1,(

7、1)f处的切线方程为2y ，求函数()f x的极值；（2）当1a 时，对于任意12,1,10 x x，当21xx时，不等式 211221m xxf xf xx x恒成立，求出实数m的取值范围.20（12 分）如图，在四面体DABC中，ABBCDADCDB，.（1）求证:平面ABC 平面ACD；（2）若22 30ADABBCCAD，求四面体ABCD的体积.21（12 分）己知0a，函数 f xxa.（1）若2a，解不等式 35f xf x；（2）若函数 2g xf xf xa，且存在0 xR使得 202g xaa成立，求实数a的取值范围.22（10 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 AB

8、CD 为菱形，PA底面 ABCD，BAD60，AB=PA4，E 是PA 的中点，AC，BD 交于点 O.（1）求证：OE平面 PBC；（2）求三棱锥 EPBD 的体积.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解【详解】(1)2iaibi，2aibi，得2a，1b 2ab 故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题 2C【解析】先求出2ab,再与a相乘即可求出答案.【详解】因

9、为2(1,5)(4,2)(3,7)ab ,所以(2)3 5 7 32a ab .故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.3C【解析】将正四面体的展开图还原为空间几何体，,A D F三点重合，记作D，取DC中点H，连接,EG EH GH，EGH即为EG与直线BC所成的角，表示出三角形EGH的三条边长，用余弦定理即可求得cosEGH.【详解】将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中,A D F三点重合，记作D：则G为BD中点，取DC中点H，连接,EG EH GH，设正四面体的棱长均为a，由中位线定理可得/GHBC且1122GHBCa，所以EGH

10、即为EG与直线BC所成的角，221322EGEHaaa，由余弦定理可得222cos2EGGHEHEGHEG GH 2223133444631222aaaaa，所以直线EG与直线BC所成角的余弦值为36，故选：C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.4A【解析】对于，根据基尼系数公式GiniaS，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，所以正确.对于，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x，均有()f xx，可得()1f xx，所以错误.对于，因为1223100111()d()|236axx

11、xxx，所以116Gini132aS，所以错误.对于，因为1324100111()d()|244axxxxx，所以114Gini122aS，所以正确.故选 A 5C【解析】设公差为d，则由题意可得113479adad，解得1451ad ，可得1(554)51nn aa.令 554051n，可得 当14n 时，0na，当13n 时，0na，由此可得数列na前n项和*nSnN中最小的.【详解】解：等差数列na中，已知51037aa，且10a，设公差为d，则113479adad，解得 1451ad ，11(554)(1)51nn aaand.令 554051n，可得545n，故当14n 时，0na，

12、当13n 时，0na，故数列na前n项和*nSnN中最小的是13S.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.6B【解析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.【详解】由|1|2x，得13x，又由2xx，得01x，因为集合|01|13xxxx，所以“|1|2x”是“2xx”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.7C【解析】由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解.【详解】由题意运行程序可得：4i，1 22j ，0 1 22s ，1 1

13、2i ；4i，224j，22 410s ，2 13i ；4i，428j，103 834s ，3 14i ；4i 不成立，此时输出34s.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题.8C【解析】根据236ab即可得出21l3oga ，31l2ogb ，根据23loglog132，33loglog222，即可判断出结果【详解】236ab；226log1og 3la ，336log1og 2lb ；2332log2log4ab，2332logog42lab，故,A B正确；2322223211loglog2log323 log22ab，故 C 错误；22

14、232223loglog2log2323log 2ab 23232324 loglogl23oglog82，故 D 正确 故 C【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2abab和不等式222abab的应用，属于中档题 9A【解析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】复数1zi，|2|z，2212zii，则22|22(1)221211(1)(1)ziziiiiiziii ，故选：A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题 10B【解析】试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积.考点

15、：三视图和几何体的体积.11B【解析】奇函数满足定义域关于原点对称且 0f xfx，在(0,1)上 0fx 即可.【详解】A：因为()lnf xxx定义域为0 x，所以不可能时奇函数，错误；B：()xxf xee定义域关于原点对称，且()0 xxxxf xfxeeee 满足奇函数，又 0 xxfxee，所以在(0,1)上 0fx，正确；C：()sin 2f xx定义域关于原点对称，且 sin 2sin20f xfxxx 满足奇函数，2cos2fxx，在(0,1)上，因为 0 12 2cos20ff，所以在(0,1)上不是增函数，错误；D：3()f xxx定义域关于原点对称，且33()0f xf

16、xxxxx，满足奇函数，231fxx在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误；故选：B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.12A【解析】根据分段函数的定义得()()F xf x，()()F xg x，则2()()()F xf xg x,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.【详解】依题意得()()F xf x，()()F xg x，则2()()()F xf xg x,22222211111()()()(2sin)(2cos)2sin2cos3 2sin2cosf xg xxxxxxx2222

17、222212cos2sin12cos2sin4(2)(22)32sin2cos32sin2cos3xxxxxxxx(当且仅当222cos2sinxx222sin2cosxx，即221sincos2xx时“”成立.此时,2()()3f xg x，42()3F x，()F x的最小值为23，故选：A.【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F xf xg x，再由基本不等式求得最值，属于中档题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13716【解析】利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.【详解】由正弦定理得46sin32

18、B，3 2sin8B，187cos21 26416B 故答案为：716.【点睛】本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.14160【解析】写出二项展开式的通项，然后取x的指数为12求得r的值，则x项的系数可求得.【详解】5636616631212rrrrrrrrTCxCxx ，由51362r，可得3r.含x项的系数为 36 33612160C.故答案为：160【点睛】本题考查了二项式定理展开式、需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题.15【解析】通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可【详解】对于，2 至月份的收入的变化率为80603220，11 至 12 月份的变化率为70502

19、1 1120，故相同，正确 对于，支出最高值是 2 月份 60 万元，支出最低值是 5 月份的 10 万元，故支出最高值与支出最低值的比是 6：1，正确 对于，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入为405060350万元，正确 对于，利润最高的月份是 3 月份和 10 月份都是 30 万元，高于 2 月份的利润是 806020 万元，错误 故答案为【点睛】本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目 16105【解析】设1BFk,则13AFk,24ABBFk,由12122BFBFAFAFa知,52ka,22AFk,作2BCAF,

20、垂足为 C，则 C 为2AF的中点,在Rt ABC和12AF F中分别求出2cosBAF,进而求出,c k的关系式,即可求出椭圆的离心率.【详解】如图,设1BFk,则13AFk,24ABBFk,由椭圆定义知,12122BFBFAFAFa,因为125BFBFk,所以52ka,22AFk,作2BCAF,垂足为 C，则 C 为2AF的中点,在Rt ABC中,因为90BCA,所以212cos44AFACkBACABABk，在12AF F中,由余弦定理可得,222121212121cos24AFAFFFF AFAFAF，即 22232412 324kkckk,解得102ck,所以椭圆的离心率为10102

21、552kceka.故答案为:105【点睛】本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）见解析（2）见解析【解析】（1）连结 OE，证明 VAOE 得到答案.（2）证明 VOBD，BDAC，得到 BD平面 VAC，得到证明.【详解】（1）连结 OE因为底面 ABCD 是菱形，所以 O 为 AC 的中点，又因为 E 是棱 VC 的中点，所以 VAOE，又因为 OE平面 BDE，VA平面 BDE，所以 VA平面 BDE；（2）因为 VO平面 AB

22、CD，又 BD平面 ABCD，所以 VOBD，因为底面 ABCD 是菱形，所以 BDAC，又 VOACO，VO，AC平面 VAC，所以 BD平面 VAC又因为 BD平面 BDE，所以平面 VAC平面 BDE【点睛】本题考查了线面平行，面面垂直，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.18（1）0a 时，()f x在(0,)上单调递增，0a 时，()f x在(0,)a上递减，在(,)a 上递增（2）(,1 【解析】（1）求出导函数()fx，分类讨论，由()0fx确定增区间，由()0fx确定减区间；（2）由(1)0f，利用（1）首先得0a 或1a，求出()()f xg x的最小值即可得结论【详解】（

23、1）函数定义域是(0,)，221()axafxxxx，当0a 时，()0fx，()f x单调递增；0a 时，令()0fx得xa，0 xa时，()0fx，()f x递减，xa时，()0fx，()f x递增，综上所述，0a 时，()f x在(0,)上单调递增，0a 时，()f x在(0,)a上递减，在(,)a 上递增（2）易知(1)0f，由函数单调性，若()f x有唯一零点，则0a 或1a 当0a 时，1()ag xx，1()()lnf xg xxax，从而只需0a 时，()()f xg xm恒成立，即1lnmxx，令1()lnh xxx，22111()xh xxxx，()h x在(0,1)上递减

24、，在(1,)上递增，min()(1)1h xh，从而1m 1a 时，1()xxg xe，1()ln1f xxx，令11()()()ln1xxt xf xg xxxe，由21211111()(1)()xxxxt xxxexe，知()t x在(0,1)递减，在(1,)上递增，min()(1)1t xt，1m 综上所述，m的取值范围是(,1 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数零点个数与不等式恒成立问题，解题关键在于转化，不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值这又可通过导数求解 19（1）极小值为2，极大值为5ln24.（2）,1710 【解析】（1）根据斜线的斜率即可求得参数a，再对函

25、数求导，即可求得函数的极值；（2）根据题意，对目标式进行变形，构造函数 mh xf xx，根据 h x是单调减函数，分离参数，求函数的最值即可求得结果.【详解】（1）函数2()ln3f xxaxx的定义域为(0,)，1()23fxaxx，(1)1230fa，1a，可知2()ln3f xxxx，21231()230 xxfxxxx，解得11x，212x，可知在10,2x，(1,)时，()0fx，函数()f x单调递增，在1,12x时，()0fx，函数()f x单调递减，可知函数()f x的极小值为(1)ln1 1 32f ，极大值为11135lnln222424f.（2）211221m xxf

26、xf xx x可以变形为 1212mmfxfxxx，可得 1212mmfxfxxx，可知函数()mf xx在1,10上单调递减 2()()ln3mmh xf xxxxxx，21()230mh xxxx，可得3223mxxx，设32()23F xxxx，2211()6616022F xxxx ，可知函数()F x在1,10单调递减，32min()(10)2 103 10101710F xF ，可知1710m，可知参数m的取值范围为,1710.【点睛】本题考查由切线的斜率求参数的值，以及对具体函数极值的求解，涉及构造函数法，以及利用导数求函数的值域；第二问的难点在于对目标式的变形，属综合性中档题.

27、20（1）证明见解析；（2）45.【解析】（1）取AC中点F，连接,FD FB，根据等腰三角形的性质得到DFAC，利用全等三角形证得DFFB，由此证得DF 平面ABC，进而证得平面ABC 平面ACD.（2）由（1）知DF 平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，结合锥体体积公式，求得四面体ABCD的体积.【详解】（1）证明:如图，取AC中点F，连接,FD FB，由,DADC则,DFAC ABBC，则FAFBFC，故DFADFBDFC 故2DFBDFA，,DFAC DFFB ACFBF DF 平面ABC.又DF 平面ACD，故平面ABC 平面ACD（2）由（1）知DF 平面ABC，即

28、DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且301,303DFADsinAFADcos .在Rt ABC中，22 32ACAFABBC,，由勾股定理易知2 154 15,55BCAB 故四面体ABCD的体积 1114 152 1541332555ABCVSDF 【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21（1）|23xx；（2）(0,4【解析】（1）零点分段解不等式即可（2）等价于 2max2g xac，由2xaxaxaxaa，得不等式即可求解【详解】（1）当2a 时，1 2,13213,1221,2x xf xf xxxxxx ，当1x

29、 时，由1 25x，解得21x；当12x 时，由35，解得12x；当2x 时，由215x，解得23x.综上可知，原不等式的解集为|23xx.（2）2g xf xf xaxaxa.存在0 xR使得 202g xaa成立，等价于 2max2g xaa.又因为2xaxaxaxaa，所以222aaa，即240aa.解得04a，结合0a，所以实数a的取值范围为0,4.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题 22（1）证明见解析（2）8 33【解析】（1）连接 OE，利用三角形中位线定理得到 OEPC，即可证出 OE平面 PBC；（2）由 E 是 PA 的中点，1122EPBDPBDP ABDAVVV，求出 S ABD，即可求解.【详解】（1）证明：如图所示：点 O，E 分别是 AC，PA 的中点，OE 是 PAC 的中位线，OEPC，又OE平面 PBC，PC平面 PBC，OE平面 PBC；（2）解：PAAB4，AE2，底面 ABCD 为菱形，BAD60，S ABD14 4604 32sin ，三棱锥 EPBD 的体积 11218 3232EPBDPBDPBAA DABDVVVPA S.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积，注意等体积法的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.