河北省唐山市2022届高三二模数学试题解析版.pdf

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1、试卷第 1 页，共 5 页 河北省唐山市 2022 届高三二模数学试题 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40

2、 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集U R，集合0,1,2A，2Bx x，则UAB（）A0,1,2 B 0,1 C2 D2x x 2已知复数 z满足2i3iz，则z（）A1 i B1 i C2 D2 3将函数 sinf xx的图象向右平移2个单位，可以得到（）Asinyx的图象 Bcosyx的图象 Csinyx 的图象 Dcosyx 的图象 4如图，圆锥的轴为 PO，其底面直径和高均为 2，过 PO 的中点1O作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则圆锥与所得圆柱的体积之比为（）试卷第 2 页，共 5 页 A2:1 B5:3 C

3、3:1 D8:3 5F 为抛物线2:4C yx的焦点，点,4M m在 C 上，直线 MF 交 C的准线于点 N，则FN（）A54 B103 C5 D12 6已知实数 x，y满足2245xy，则2xy的最大值是（）A10 B5 C6 D3 7已知函数 21xf xx，若 21fxfx，则 x的取值范围是（）A1,3 B11,3 C1,3 D1,1,3 8已知02，函数 5sin6f xx，若 1ff，则cos（）A2325 B2325 C35 D35 二、多选题 9已知22nxx的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等，则（）A9n B11n C常数项是 672 D展开式中所有项的系数和

4、是-1 10小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了 100 次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：试卷第 3 页，共 5 页 基于以上统计信息，则（）A骑车时间的中位数的估计值是 22 分钟 B骑车时间的众数的估计值是 21 分钟 C坐公交车时间的中位数的估计值是 20 分钟 D坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值 11双曲线具有如下光学性质：如图1F，2F是双曲线的左、右焦点，从右焦点2F发出的光线 m 交双曲线右支于点 P，经双曲线反射后，反射光线 n 的反向延长线过左焦点1F若双曲线 C 的方程为221916xy，下列结

5、论正确的是（）A若mn，则1216PFPF B当 n过7,5Q时，光由2FPQ所经过的路程为 13 C射线 n 所在直线的斜率为 k，则40,3k D若1,0T，直线 PT 与 C相切，则212PF 12如图，正方体1111ABCDABC D中，顶点 A 在平面内，其余顶点在的同侧，顶点1A，B，C到的距离分别为6，1，2，则（）试卷第 4 页，共 5 页 ABC平面 B平面1A AC 平面 C直线1AB与所成角比直线1AA与所成角大 D正方体的棱长为2 2 三、填空题 13设向量1,0a，0,1b，若23ab与6xab共线，则实数x _ 14若圆22:20C xyDxy的圆心在直线210 x

6、y 上，则 C的半径为_ 15已知数列 na满足150aa，12nnaa，则 na前 5 项和的最大值为_ 四、双空题 16若函数 2lnf xxx，2exg xx，则 f x的最小值为_；若,0a b，且 f ag b，则2ab的最小值为_ 五、解答题 17已知等比数列 na满足1220aa，3160aa，*nN(1)求 na的通项公式；(2)记2lognnba，11nnnnnbbcbb，求数列 nc的前 n 项和nS 18ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2a，3cossin3aCaCb(1)求 A；(2)若点 D在 BC边上，AD平分BAC，且23AD，求ABC的周

7、长 19如图，ABC是边长为4 3的等边三角形，E，F分别为 AB，AC 的中点，G 是ABC的中心，以 EF为折痕把AEF折起，使点 A到达点 P 的位置，且PG 平面ABC (1)证明：PBAC；(2)求平面 PEF 与平面 PBF 所成二面角的正弦值 试卷第 5 页，共 5 页 20目前，全国多数省份已经开始了新高考改革改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语 3 门全国统一考试科目成绩和 3 门选择性科目成绩组成注：甲、乙两名同学对选择性科目的选择是随机的(1)A 省规定：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6 门科目中任选 3 门参加选择性考试求甲同学在选

8、择物理科目的条件下，选择化学科目的概率；(2)B 省规定：3 门选择性科目由学生首先从物理科目和历史科目中任选 1 门，再从思想政治、地理、化学、生物 4 门科目中任选 2 门 求乙同学同时选择物理科目和化学科目的概率；为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了 10 名同学，其中有 6 名首选物理，4 名首选历史现从这 10 名同学中再选 3 名同学做进一步调查将其中首选历史的人数记作 X，求随机变量 X的分布列和数学期望 21已知椭圆22:12xEy的右焦点为 F，椭圆22:12xy (1)求的离心率；(2)如图：直线:1l xmy交椭圆于 A，D 两点，交椭圆 E 于 B，C 两点 求证

9、：ABCD；若5，求ABF面积的最大值 22已知函数 33xf xx，sing xbx，曲线 yf x和 yg x在原点处有相同的切线 l(1)求 b的值以及 l的方程；(2)判断函数 h xf xg x在0,上零点的个数，并说明理由 答案第 1 页，共 17 页 参考答案：1B【解析】【分析】根据补集、交集的定义计算可得；【详解】解：因为2Bx x，所以U2Bx x，又0,1,2A；所以 0,1UAB；故选：B 2C【解析】【分析】先求得复数 z 再去求其模z【详解】由2i3iz，可得3i2i3i55i1 i2i2i2i5z 则 22112z 故选：C 3D【解析】【分析】利用相位变化和诱导

10、公式直接得到答案.【详解】将函数 sinf xx的图象向右平移2个单位得到sincos2yxx 的图像 故选：D 4D【解析】【分析】答案第 2 页，共 17 页 由题意，分别求得圆锥和圆柱的体积即可.【详解】解：圆锥的体积为21121233V，圆柱的体积为221124V，所以122:8:334V V，故选：D 5B【解析】【分析】依据两点间距离公式去求FN【详解】点,4M m在抛物线2:4C yx上，则244m，解之得4m，则4,4M 又抛物线2:4C yx的焦点 F1,0，准线1x 则直线 MF 的方程为4340 xy，则 N81,3 则22810(1 1)(0)33FN 故选：B 6A【

11、解析】【分析】进行三角换元，利用辅助角公式求最值.【详解】因为实数 x，y满足2245xy，所以可设5cos,25sin,0,2xy，所以25cos5sin10sin4xy，所以2xy的最大值是10，当4取得等号 答案第 3 页，共 17 页 故选:A 7C【解析】【分析】先判断 f x是奇函数，再由 f x在0,上递增，得到 f x在定义域 R 上递增求解.【详解】解：f x定义域为 R，又 2211 xxfxf xxx，所以 f x是奇函数，当0 x 时，00f，当0 x 时，221111xf xxx，易知 f x在0,上递增，所以 f x在定义域 R 上递增，又 21fxfx，所以21x

12、x，解得13x，故选：C 8B【解析】【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得263，2736，从而利用coscos66即可求解.【详解】解：令 5sin06fxx，02x，则6x或76x，答案第 4 页，共 17 页 令 5sin56fxx，02x，则23x，又02，1ff，所以263，2736，1sin65，1sin65，因为062，26，所以2 6cos65，2 6cos65，所以coscoscoscossinsin6666662 62 61123555525，故选：B.9AD【解析】【分析】求得n的值判断选项 AB；求得常数项的值判断选项 C；求得展开式中所有项的系数和判断选项 D.

13、【详解】由27CCnn，可得9n，则选项 A 判断正确；选项 B 判断错误；22nxx的展开式的通项公式为929 399C(2)(2)Crrrrrrrxxx 令930r，则3r，则展开式的常数项是339(2)C672.选项 C 判断错误；展开式中所有项的系数和是292111.判断正确.故选：AD 10BCD【解析】【分析】答案第 5 页，共 17 页 根据频率直方图求相应的中位数、平均数、众数，然后逐一判断即可.【详解】在骑车时间频率分布直方图中，设骑车时间的中位数为1a，所以有110.1 20.2(20)0.521.5aa，因此选项 A 不正确；骑车时间的众数的估计值为21分钟，因此选项 B

14、 正确；设骑车时间的平均数为1b，1(190.121 0.223 0.1525 0.05)221.6b；在公交时间频率分布直方图中，设骑车时间的中位数为2a，因为(0.0250.050.0750.1)20.5，所以220a，因此选项 C 正确；设公交时间的平均数为2b，2(13 0.02515 0.05 17 0.07519 0.121 0.123 0.07525 0.0527 0.025)220,b 因为12bb，所以选项 D 正确，故选：BCD 11CD【解析】【分析】对于 A：判断出1290FPF，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于 B：利用双曲线的定义直接求得；对于 C：先求出双

15、曲线的渐近线方程，由 P在双曲线右支上，即可得到 n 所在直线的斜率的范围；对于 D：设直线 PT的方程为 1,0yk xk.利用相切解得2k，进而求出9,8 2P.即可求出2F P.【详解】对于 A：若mn，则1290FPF.因为 P在双曲线右支上，所以126FPF P.由勾股定理得：2221212FPF PFF 答案第 6 页，共 17 页 二者联立解得：22121122100363222PFPFFFFPF P.故 A 错误；对于 B：光由2FPQ所经过的路程为222111222755067F PPQFPaPQFPPQaFQa.故 B 错误；对于 C：双曲线221916xy的方程为43yx

16、.设左、右顶点分别为 A、B.如图示：当m与2F B同向共线时，n的方向为2F B，此时 k=0，最小.因为 P在双曲线右支上，所以 n 所在直线的斜率为43k.即40,3k.故 C 正确.对于 D：设直线 PT的方程为 1,0yk xk.2211916yk xxy，消去 y可得：22221691891440kxk xk.其中2222184 16991440kkk，即211522304k，解得2k 代入22221691891440kxk xk，有22361620 xx，解得：x=9.答案第 7 页，共 17 页 由 P 在双曲线右支上，即2291916y，解得：8 2y（8 2y 舍去），所以

17、9,8 2P.所以222958 2012F P.故 D 正确 故选：CD 12BD【解析】【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断即可.【详解】因为 B，C到的距离分别为 1，2，显然不相等，所以 BC 不可能与平面平行，因此选项 A 不正确；设,AC BD的交点为O，显然O是AC的中点，因为平面ABCDA，C到的距离为 2，所以 O到的距离分别为 1，而 B到的距离为 1，因此/BO，即/DB，设平面ABCDl，所以/BDl，因为ABCD是正方形，所以ACBD，又因为1AA 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以1AABD，因为11,A

18、AACA AA AC平面1A AC，所以BD 平面1A AC，因此有l 平面1A AC，而l，所以平面1A AC 平面，因此选项 B 正确；设1B到平面的距离为d，因为平面11AA B BA，11AA B B是正方形，点1A，B到的距离分别为6，1，所以有616122dd，设正方体1111ABCDABC D的棱长为a，答案第 8 页，共 17 页 设直线1AB与所成角为，所以16161sin2ABa，设直线1AA与所成角为，所以166sinAAa，因为6162，所以sinsin，因此选项 C 不正确；因为平面1A AC 平面，平面1A AC平面A，所以1,C A在平面的射影,E F与A共线，显

19、然1112,6,2,CEAFACa AAa AAAC，如图所示：由11ECACAECAEA AFECAA AF ，111cos,sinAFCEECAA AFACAA，由2212246cossin112 22ECAA AFaaa （负值舍去），因此选项 D 正确，故选：BD 【点睛】关键点睛：利用点到面距离的性质是解题的关键.13-4【解析】【分析】答案第 9 页，共 17 页 利用向量共线的条件列方程求出 x.【详解】向量1,0a，0,1b，所以232,3ab，6,6xabx.因为23ab与6xab共线，所以312x，解得：4x .故答案为：-4 1410【解析】【分析】先求得参数 D，再去求

20、 C的半径即可解决.【详解】圆22:20C xyDxy的圆心为,12D 则有 21102D，则6D，则 C的半径为22162102 故答案为：10 158【解析】【分析】由题，12nnaa去绝对值得12nnaa，又150aa，故15,aa间需要两个2和两个2，要使 na前 5 项和最大，只需使234aaa、尽可能大即可.【详解】由12nnaa得12nnaa，又150aa，即51222222220aa ，所以需要两个2和两个2，na前 5 项和512345234Saaaaaaaa，要得到最大值，234aaa、需要尽可能大，故242,2aa，从而34a，则5S有最大值，为 8，故答案为：8 16

21、12e 22ln 2【解析】答案第 10 页，共 17 页【分析】求函数 2ln,0f xxx x的导数，根据导数判断其单调性，可求得答案；由 f ag b可得22lnebaab，变形为2ln2ln eeabab，结合函数 2exg xx的单调性可得到lnab，从而表示出2ab，构造函数，利用导数求得最小值.【详解】由题意可得 2ln,0f xxx x，则(2ln1)fxxx，当120ex 时，(2ln1)0fxxx，函数 f x递减，当12ex 时，(2ln1)0fxxx，函数 f x递增，故12ex 时函数的极小值点，也是最小值点，故 f x的最小值为111221ee lne2ef；由,0

22、a b，且 f ag b可得22lnebaab，则ln0,1aa，即有2ln2ln eeabab，由于 22e,e21xxg xxgxx，当0 x 时，2(22e1)0 xg xx，()g x 单调递增，故由1,0ab，2ln2ln eeabab可得lnab，故22ln,1abaa a，令()2ln,1h xxx x，则22()1xh xxx，当12x 时，()0h x，()2lnh xxx递减，当2x 时，()0h x，()2lnh xxx递增，故min()(2)22ln 2h xh，即2ab得最小值为22ln 2，故答案为：12e；22ln 2【点睛】本题考查了利用导数求解函数的最值问题，

23、综合性较强，解答时候要注意对等式的合理变形，如将22lnebaab变形为2ln2ln eeabab，从而 可以为后面构造函数，利用导数解决问题创造条件.答案第 11 页，共 17 页 17(1)4nna (2)21nnnSn【解析】【分析】（1）由已知条件，列出关于首项1a与公比q的方程组，求解方程组即可得答案；（2）由（1）可得1121ncnn，由分组求和法及裂项相消求和法即可求解.(1)解：因为等比数列 na满足1220aa，3160aa，设公比为q，所以112112060aa qa qa，解得144qa，所以1444nnna；(2)解：由（1）知22224loglogl g 22onnn

24、nnba，11212111222111nnnnnnbbnnncbbnnnnnn，所以数列 nc的前 n 项和1111121222311nnnnnnnS.18(1)3(2)62【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求出角A即可；（2）利用角平分线分三角形面积等于两个小三角形面积之和得出等式，再用余弦定理联立求解周长即可.(1)由正弦定理得3sincossinsinsin3ACACB，在ABC中，sinsinsincossincosBACACCA，答案第 12 页，共 17 页 化简为3sinsinsincos3ACCA，又sin0C，tan3A，又0A，3A；(2)依题意得

25、111sinsinsin222ABCSbcAAD cBADAD bCAD，即233bcbc，由余弦定理得224bcbc，2243bcbc 解得 6bc ABC的周长为62.19(1)证明见解析(2)33【解析】【分析】（1）连接BF，依题意可得BFAC，再由线面垂直得到PGAC，从而得到AC 平面PBF，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；(1)证明：连接BF，由ABC为等边三角形，F为AC的中点，所以BFAC，由PG 平面ABC，AC 平面ABC，所以PGAC，又PGBFG，,PG BF 平面PBF，所以AC 平面PBF

26、，又PB 平面PBF，所以PBAC；(2)解：依题意2 3PF，2GF，在RtPFG中，2 2PG，以F为坐标原点，以FB为x轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，则0,2 3,0A，0,2 3,0C，6,0,0B，3,3,0E，2,0,2 2P，答案第 13 页，共 17 页 2,0,2 2FP，3,3,0FE，由（1）可知，0,4 3,0AC 是平面PBF的一个法向量，设平面PEF的法向量为,nx y z，则22 20330n FPxzn FExy，令2x，则2,6,1n，所以6cos,3AC nAC nACn，所以23sin,1 cos,3AC nAC n 所以平面 PEF与平面 PBF所

27、成二面角的正弦值为33；20(1)25(2)14分布列见解析，数学期望为65【解析】【分析】（1）首先求出“选择物理”的概率，再求出“选择化学”的概率，利用条件概率的计算公式求解即可；（2）利用相互独立事件的概率求法求；根据条件确定随机变量X的可能取值，分别求出概率，列分布列，运用期望公式求出期望.(1)“选择物理”记作事件A，“选择化学”为事件B，则 答案第 14 页，共 17 页 2536C1C2P A，1436C1C5P AB，则 25P ABP B AP A.(2)对于，“选择物理”记作事件C，“选择化学”记作事件D，则 1211C2P C，1324C1C2P D 事件C与事件D相互独

28、立，则 14P CDP C P D；对于，随机变量X可以取 0，1，2，3.36310C10C6P X ，1246310C C11C2P X，2146310C C32C10P X，34310C13C30P X，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 16 12 310 130 1131601236210305E X.21(1)22(2)证明过程见解析；2.【解析】【分析】（1）直接将椭圆22:12xy 转化成标准方程，然后代入离心率公式即可；（2）分别求出AD、BC的中点坐标，得出中点重合即可证明；对于，分别求出l被椭圆截得的弦长以及F到l的距离，得出面积表达式，通过变形式子求出最值.(

29、1)椭圆22:12xy 的标准方程为：2212xy，答案第 15 页，共 17 页 则椭圆的离心率为2222(2)对于，设11,A x y，22,B xy，33,C x y，44,D xy，直线:1l xmy与222xy联立整理得 2221 20m ymy 则 121222212,22myyy ymm 则AD的中点坐标222,22mmm 同理可知BC的中点坐标222,22mmm.所以AD与BC中点重合，故ABCD.对于，由知，直线l被椭圆截得弦长为 2222122 124212mmmyym 把5代入得，2222 110182mmADm 把1代入得，2222 1222mmBCm 1,0F到l的距

30、离为221dm，则ABF面积为：22222112210182228101822SADBCdmmmmm 当0m 时，ABF的面积最大值是2.【点睛】本题考查离心率的求法，考查弦长公式、中点坐标公式、面积公式等几何关系的应用，解析几何解题时应注重几何关系的寻找，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，属于难题.22(1)1b，l的方程：yx.(2)h x在0,上有 1 个零点，理由见解析.答案第 16 页，共 17 页【解析】【分析】（1）根据曲线 yf x和 yg x在原点处有相同的切线 l，则可知斜率相等，进一步求出 b的值以及 l的方程；（2）函数零点即是图象与x轴的交点，需要用导数的方法研

31、究函数 h x，其中要进行二次求导，运用零点存在性定理说明函数 h x的零点情况.(1)依题意得：293fxx，cosg xbx.001fgb，1b，l的方程：yx.(2)当2x时，3931sin33xxxx，0h x，此时 h x无零点.当02x时，29cos3h xxx 令 29cos,0,23H xx xx 则 318sin3Hxxx，显然 Hx在02，上单调递增，又 2003H，02H，所以存在0,2t使得 0Ht，因此可得0 xt时，0Hx，H x单调递减；2tx时，0Hx，H x单调递增；又 00H，02H 所以存在,2t，使得 0H ，即0 x时，0H x，0h x，h x单调递减；2x 时，0H x，0h x，h x单调递增；答案第 17 页，共 17 页 又 00h，02h，所以 h x在02，上有一个零点.综上，h x在0,上有 1 个零点.【点睛】本题考查导数几何意义、函数的零点、用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，知识考查较为综合，对学生是一个挑战，属于难题.