2023届赣州市重点高三压轴卷数学试卷含解析.pdf

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1、2023 年高考数学模拟试卷 考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数|()()xxf xxRe，若关于x的方程()10f xm 恰好有 3 个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A(212),ee B(20,)2ee

2、 C(11,1)e D21,12()ee 2已知命题:p若1a，则21a，则下列说法正确的是（）A命题p是真命题 B命题p的逆命题是真命题 C命题p的否命题是“若1a，则21a”D命题p的逆否命题是“若21a，则1a”3过双曲线22221xyab(0,0)ab的左焦点F作直线交双曲线的两天渐近线于A,B两点，若B为线段FA的中点，且OBFA（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A2 B3 C2 D5 4设a、bR，数列 na满足12a，21nnaa ab，nN，则（）A对于任意a，都存在实数M，使得naM恒成立 B对于任意b，都存在实数M，使得naM恒成立 C对于任意24,ba，都存在实数M

3、，使得naM恒成立 D对于任意0,24ba，都存在实数M，使得naM恒成立 5已知函数1()2xf xex的零点为m，若存在实数n 使230 xaxa且|1mn，则实数 a 的取值范围是（）A2,4 B72,3 C7,33 D2,3 6复数2(1)ii的模为（）A12 B1 C2 D2 2 7函数 1sinf xxxx(x且0)x 的图象是（）A B C D 8函数 241xf xxxe的大致图象是（）A B C D 9设集合12Mxx，Nx xa，若MNM，则a的取值范围是（）A,1 B,1 C2,D2,10已知数列 na的通项公式为22nan，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记nb为

4、数阵从左至右的n列，从上到下的n行共2n个数的和，则数列nnb的前 2020 项和为（）A10112020 B20192020 C20202021 D10102021 11 已知a，b，Rc，abc，0abc 若实数x，y满足不等式组040 xxybxayc，则目标函数2zxy（）A有最大值，无最小值 B有最大值，有最小值 C无最大值，有最小值 D无最大值，无最小值 12i为虚数单位,则32i1 i的虚部为（）Ai Bi C1 D1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若5(3)nxx的展开式中各项系数之和为 32，则展开式中 x 的系数为_ 14 棱长为a的正四面

5、体ABCD与正三棱锥EBCD的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥EBCD的内切球半径为_.15若向量221axbx，满足3a b，则实数x的取值范围是_.16在平面直角坐标系 xOy 中，直角三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆22211xyaa上，其中 A（0，1）为直角顶点若该三角形的面积的最大值为278，则实数 a 的值为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为22cos2sinxy（为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标

6、方程为2224cos4sin.（1）求曲线1C的极坐标方程以及曲线2C的直角坐标方程；（2）若直线:l ykx与曲线1C、曲线2C在第一象限交于,P Q两点，且|2|OPOQ，点M的坐标为(2,0)，求MPQ的面积.18（12 分）2019 年是中华人民共和国成立 70 周年为了让人民了解建国 70 周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的 100 名市民进行调查，将他们的年龄分成 6 段：20,30)，30,40)，70,80，并绘制了如图所示的频率分布直方图 （1）现从年龄在20,30)，30,40)，40,50)内的人员中按分层抽样的方法抽取 8 人，再从这 8 人中随机选取 3

7、人进行座谈，用X表示年龄在30,40)）内的人数，求X的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取 20 名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在30,50)的概率为()(0,1,2,20)P Xk k当()P Xk最大时，求k的值 19（12 分）改革开放 40 年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各 50 人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在 80 分以上为交通安全意识强.安全

8、意识强 安全意识不强 合计 男性 女性 合计 （）求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；（）已知交通安全意识强的样本中男女比例为 4:1，完成 22 列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；（）在（）的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取 2 人，求抽到的女性人数X的分布列及期望.附：22()()()()()n ad bcKa b cd a c b d，其中nabcd 2P Kk 0.010 0.005 0.001 k 6.635 7.879 10.828 20（12 分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线2C的参数方程为22xtyt（t为参数），以坐标原点为极点

9、，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为coscos2.（1）求曲线1C与直线2C的直角坐标方程；（2）若曲线1C与直线2C交于,A B两点，求AB的值.21（12 分）已知等差数列的前 n 项和为，且，求数列的通项公式；求数列的前 n 项和 22（10 分）已知数列na，其前n项和为nS，满足12a，1nnnSnaa，其中2n，nN，R.若0，4，+12nnnbaa（nN），求证：数列 nb是等比数列；若数列na是等比数列，求，的值；若23a，且32，求证：数列na是等差数列.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题

10、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】讨论0 x，0 x，0 x 三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】当0 x 时，()xxf xe，故1(2)2xfxxex，函数在10,2上单调递增，在1,2上单调递减，且1222efe；当0 x 时，00f；当0 x 时，()xxf xe，1()022xfexxx，函数单调递减；如图所示画出函数图像，则120122emfe，故2()21,1eem.故选：D.【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.2B【解析】解不等式，可判断 A 选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真

11、假，可判断 B 选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断 C、D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】解不等式21a，解得11a，则命题p为假命题，A 选项错误；命题p的逆命题是“若21a，则1a”，该命题为真命题，B 选项正确；命题p的否命题是“若1a，则21a”，C 选项错误；命题p的逆否命题是“若21a，则1a”，D 选项错误 故选：B【点睛】本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.3C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为byxa.B为线段FA的中点，OBFA OAOFc，则AOF为等腰三角形.BOFBOA 由双曲线的的渐近线的性质可得BOFxOA 60BOFB

12、OAxOA tan603ba，即223ba.双曲线的离心率为2222cabaeaaa 故选 C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出,a c，代入公式cea；只需要根据一个条件得到关于,a b c的齐次式，转化为,a c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)4D【解析】取1ab，可排除 AB；由蛛网图可得数列 na的单调情况，进而得到要使naM，只需11422aba，由此可得到答案.【详解】取1ab

13、，211nnaa，数列 na恒单调递增，且不存在最大值，故排除 AB 选项；由蛛网图可知，2axbx存在两个不动点，且11142abxa，21142abxa，因为当110ax时，数列 na单调递增，则1nax；当112xax时，数列 na单调递减，则11nxaa；所以要使naM，只需要120ax，故11422aba，化简得24ba且0b.故选：D【点睛】本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题 5D【解析】易知()f x单调递增,由(1)0f可得唯一零点1m,通过已知可求得02n,则问题转化为使方程230 xaxa在区间0,2上有解,化简可得4121axx,借助对号函数即可解得实

14、数 a 的取值范围.【详解】易知函数1()2xf xex单调递增且有惟一的零点为1m，所以|1|1n，02n，问题转化为：使方程230 xaxa在区间0,2上有解，即223(1)2(1)4412111xxxaxxxx 在区间0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数4121yxx 在区间0,2的值域为2,3，23a.故选 D【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.6D【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【详解】解：2(1)22iii ，复数2(1)ii的模为22(2)22

15、2 故选：D【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题 7B【解析】先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.【详解】由题可知 f x定义域为,00,，11sinsinfxxxxxf xxx ，f x是偶函数，关于y轴对称，排除 C，D.又2636sin066612f，22sin02222f，f x在0,必有零点，排除 A.故选：B.【点睛】本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.8A【解析】用0 x 排除 B，C；用2x 排除D；可得正确答案.【详解】解：当0 x 时，2410 xx，0 xe，所以 0f

16、x，故可排除 B，C；当2x 时，2230fe，故可排除 D 故选：A【点睛】本题考查了函数图象，属基础题 9C【解析】由MNM得出MN，利用集合的包含关系可得出实数a的取值范围.【详解】12Mxx，Nx xa且MNM，MN，2a.因此，实数a的取值范围是2,.故选：C.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.10D【解析】由题意，设每一行的和为ic，可得11.(21)iiinicaaan ni，继而可求解212.2(1)nnbcccnn，表示12(1)nnbn n，裂项相消即可求解.【详解】由题意，设每一行的和为ic 故111().(21)2iniiiiniaan

17、caaan ni 因此：212.(3)(5).(21)2(1)nnbcccn nnnnnn 11 11()2(1)21nnbn nnn 故202011111111(1.)(1)22232020202122021S10102021 故选：D【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11B【解析】判断直线0bxayc与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况.【详解】由0abc ，abc，所以可得0,0ac.1112,22222ccccabaacbcaccaaaa ，所以由0bcbxaycyxaa，因此该直线在纵轴的截距为正

18、，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.故选：B【点睛】本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.12C【解析】利用复数的运算法则计算即可.【详解】32 122111111iiiiiiiiiii ，故虚部为1.故选：C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数,abi a bR的虚部为b，不是bi，本题为基础题，也是易错题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。132025【解析】利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方程，由此求得n的值.再利用二项式展开式的通项公式，求得展

19、开式中x的系数.【详解】依题意，令1x，解得232n，所以5n，则二项式553 xx的展开式的通项为：5135522155535(3)rrrrrrrrTCxCxx 令3512r，得4r，所以x的系数为5 44455(3)2025C.故答案为：2025【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题.143 2612a【解析】由棱长为a的正四面体ABCD求出外接球的半径，进而求出正三棱锥EBCD的高及侧棱长，可得正三棱锥EBCD的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，由等体积13VSR 表面积，求出内切圆的半径【详解】由题意可知：

20、多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球 作AE面BCD交于F，连接CF，如图 则233323CFaa，且AE为外接球的直径，可得 222236()33AFACCFaaa，设三角形BCD 的外接圆的半径为r，则2sin6032BCar，解得3ar，设外接球的半径为R，则222()RrAFR可得222AF RrAF，即22662339aaaR，解得64Ra，设正三棱锥EBCD的高为h，因为622AERa，所以6662()236hEFRAFaa，所以22112632BECEDEEFCFaaa，而BDBCCDa，所以正三棱锥EBCD的三条侧棱两两相互垂直，所以22232331()33()2

21、244E BCDBCDBDESSSaa 表面积，设内切球的半径为R，11()33E BDCBCDE BCDVSEFSR 表面积，即221361 3334634aaaR解得：3 2612Ra 故答案为：3 2612a.【点睛】本题考查多面体与球的内切和外接问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意借助几何体的直观图进行分析.153,1【解析】根据题意计算223a bxx，解得答案.【详解】221axbx，故223a bxx，解得31x.故答案为：3,1.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.163【解析】设直线 AB 的方程为 ykx+1，则直线 AC

22、 的方程可设为 y1k x+1，（k0），联立方程得到 B（22221a ka k，222211a ka k），故 S442221211a kkaakk，令 t1kk，得 S42222(1)aaa tt，利用均值不等式得到答案.【详解】设直线 AB 的方程为 ykx+1，则直线 AC 的方程可设为 y1k x+1，（k0）由22211ykxxya消去 y，得（1+a2k2）x2+2a2kx0，所以 x0 或 x22221a ka k A 的坐标（0，1），B 的坐标为（22221a ka k，k22221a ka k1），即 B（22221a ka k，222211a ka k），因此 AB2

23、22222222221(0)(1)111a ka kka ka k22221a ka k，同理可得：AC211k22221akak.Rt ABC 的面积为 S12ABAC2212kk44422422221221111a kakaakaakkk 令 t1kk，得 S4422422222(1)12a taaaata tt.t1kk2，S ABC4422222(1)(1)2aaa aaa tt.当且仅当21aa tt，即 t21aa时，ABC 的面积 S 有最大值为4227(1)8aa a.解之得 a3 或 a329716.a329716时，t21aa2 不符合题意，a3.故答案为：3.【点睛】本题

24、考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）1C的极坐标方程为4cos，2C的直角坐标方程为2214xy（2）2 23【解析】（1）先把曲线1C的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用cos,sinxy 求得极坐标方程.将2224cos4sin，化为2222cos4sin4，再利用cos,sinxy 求得曲线2C的普通方程.（2）设直线的极角0，代入2224cos4sin，得2Q20413sin，将0代入4cosp，得04cosP，由|2|OPOQ，得2PQ，即2020164cos13sin，从

25、而求得202sin3，201cos3，从而求得,QP，再利用01|sin2MPQOMPOMQPQSSSOM求解.【详解】（1）依题意，曲线221:(x2)4Cy，即2240 xyx，故24cos0，即4cos.因为2224cos4sin，故2222cos4sin4，即2244xy，即2214xy.（2）将0代入2224cos4sin，得2Q20413sin，将0代入4cosp，得04cosP，由|2|OPOQ，得2PQ，得2020164cos13sin，解得202sin3，则201cos3.又002，故02042 34 3,4cos13sin33QP，故MPQ的面积012 2|sin23MPQ

26、OMPOMQPQSSSOM.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.18（1）分布列见解析,34EX （1）7【解析】（1）根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；X的可能取值为 0，1，1，由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望.（1）先求得年龄在30,50)内的频率，视为概率.结合二项分布的性质，表示出2520()(0.35)(10.35)kkkP XkC，令()(1)P XktP Xk，化简后可证明其单调性及取得最大

27、值时k的值【详解】（1）按分层抽样的方法拉取的 8 人中，年龄在20,30)的人数为0.005810.0050.0100.025人，年龄在30,40)内的人数为0.010820.0050.0100.025人 年龄在40,50)内的人数为0.025850.0050.0100.025人 所以X的可能取值为 0，1，1 所以3062385(0)14C CP XC，12382615(1)28C CP XC，1262383(2)28C CP XC，所以X的分市列为 X 0 1 1 P 514 1528 328 515330121428284 EX （1）设在抽取的 10 名市民中，年龄在30,50)内的

28、人数为X，X服从二项分布由频率分布直方图可知，年龄在30,50)内的频率为(0.010 0.025)100.35，所以(20,0,35)XB，所以2520()(0.35)(10.35)(0.1.2,.20)kkkP XkCk 设2020112120()(0.35)(10.35)7(21)(0.1.2,20)(1)(0.35)(10.35)13kkkkkkP XkCktkP XkCk，若1t，则7.35k，(1)()P XkP Xk；若1t，则7.35k，(1)()P XkP Xk 所以当7k 时，()P Xk最大，即当()P Xk最大时，7k 【点睛】本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的

29、求法，二项分布的综合应用，属于中档题.19（）0.016a.0.2（）见解析，有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关（）见解析，25【解析】（）直接根据频率和为 1 计算得到答案.（）完善列联表，计算297.879K，对比临界值表得到答案.（）X的取值为0,1,2,，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.【详解】（）10(0.00420.0080.0220.028)1a，解得0.016a.所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率0.160.040.2P.（）安全意识强 安全意识不强 合计 男性 16 34 50 女性 4 46 50 合计 20 80 100 22(16 464 34)1

30、0097.87920 80 50 50K，所以有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关（）X的取值为0,1,2,21622060(0),95CP XC1116422032(1),95C CP XC242203(2),95CP XC 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 1219 3295 395 期望3262()95955E X.【点睛】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20（1）曲线1C的直角坐标方程为22yx；直线2C的直角坐标方程为40 xy（2）6 2【解析】（1）由公式cossinxy可化极坐标方程为直角坐标方程，消参法可化参数方程为普

31、通方程；（2）联立两曲线方程，解方程组得两交点坐标，从而得两点间距离【详解】解：（1）coscos2 2cos2cos 222cos2cos 2222xyxx 曲线1C的直角坐标方程为22yx 直线2C的直角坐标方程为40 xy（2）据242yxyx 解，得22xy或84xy 2228246 2AB 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题 21（1）；（2）.【解析】先设出数列的公差为 d，结合题中条件，求出首项和公差，即可得出结果 利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设公差为 d 的等差数列的前 n 项和为，且，则有：，解得：，所以：由于：，所以：

32、，则：，则：，【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 22（1）见解析（2）10 ，（3）见解析【解析】试题分析：（1）14nnSa(2n),所以12nnbb，故数列 nb是等比数列；（2）利用特殊值法，得1,1q，故10，；（3）得112，所以12nnnnSaa，得111220nnnnanaa，可证数列 na是等差数列.试题解析：（1）证明：若0,4，则当14nnSa(2n),所以1114nnnnnaSSaa，即11222nnnnaaaa，所以12nnbb，又由12a，1214aaa，得2136aa

33、，21220aa，即0nb，所以12nnbb，故数列 nb是等比数列 （2）若 na是等比数列，设其公比为q（0q ），当2n 时，2212Saa，即12212aaaa，得 12qq，当3n时，3323Saa，即123323aaaaa，得 2213qqqq，当4n 时，4434Saa，即1234434aaaaaa，得 23321+4qqqqq，q，得21q，q，得31q，解得1,1q 代入式，得0 此时nnSna(2n)，所以12naa，na是公比为的等比数列，故10，（3）证明：若23a，由12212aaaa，得562，又32，解得112，由12a，23a，12，1，代入1nnnSnaa得34a，所以1a，2a，3a成等差数列，由12nnnnSaa，得1112nnnnSaa，两式相减得：111122nnnnnnnaaaaa 即111220nnnnanaa 所以21120nnnnanaa 相减得：211212220nnnnnnananaaa 所以21112220nnnnnnn aaaaaa 所以221111-2222221nnnnnnnnnaaaaaaaaann n 13212212naaan n，因为12320aaa，所以2120nnnaaa，即数列 na是等差数列.