正弦定理和余弦定理讲义.pdf

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1、正弦定理和余弦定理1正弦定理：_2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abc_；(2)a_，b_，c_；(3)sinA_，sinB_，sinC_等形式，以解决不同的三角形问题2余弦定理：a_，b_，c_.余弦定理可以变形为：cosA_，cosB_，cosC_.111abc13SABCabsinCbcsinAacsinB(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、2224R2222r.4在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分余弦定理可解

2、决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题解三角形时，三角形解的个数的判断在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为钝角或直A为锐角角图形关系式解 的 个一解数方法与技巧两解bsinAab一解absinA1正、余弦定理和三角形面积公式是本节的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题ABC2应熟练掌握和运用内角和定理：ABC，中互补和互余的情况，结合诱导公2222式可以减少角的种数3正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2Asin2Bsin2C2sinBs

3、inCcosA，可以进行化简或证明4根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论abc1(课本精选题)在ABC中，若A60，a 3，则_.sinAsinBsinC22(2010北京)在ABC中，若b1，c 3，C，则a_.33(课本改编题)在ABC中，a15，b10，A60，则 cosB_.4ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c3，C，a2b，则b的值为_3

4、5已知圆的半径为 4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc16 2，则三角形的面积为题型一题型一利用正弦定理求解三角形利用正弦定理求解三角形1 在ABC中，a 3，b 2，B45.求角A、C和边c.2 已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b 3，AC2B，则角A的大小为_题型二题型二利用余弦定理求解三角形利用余弦定理求解三角形1 在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBb.cosC2ac(1)求角B的大小；(2)若b 13，ac4，求ABC的面积A2 5 2 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 cos，ABAC3.25

5、(1)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值题型三题型三正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用11(2011浙江)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 sinAsinCpsinB(pR R)，且ac4b2.(1)当p54，b1 时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围2 在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c2，C3，且ABC的面积为 3，求a，b的值；(2)若 sinCsin(BA)sin 2A，试判断ABC的形状3 在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状课后作业课后作业 A A一

6、、选择题1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosAbsinB，则 sinAcosAcos2B等于(A12 C1D12在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcosC，则此三角形一定是()A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形3在ABC中，若A60，b1，SabcABC 3，则sinAsinBsinC的值为()二、填空题4(2011北京)在ABC中，若b5，B14，sinA3，则a_.5(2011福建)若ABC的面积为 3，BC2，C60，则边AB的长度等于_6在ABC中，若AB 5，AC5，且 cosC910，则BC_.三、解答

7、题7已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且 3b2asinB.)(1)求A；(2)若a7，ABC的面积为 10 3，求bc的值8在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知ac2b，且sinB4cosAsinC，求b.B一、选择题1ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinBbcosA 2a，则 等于()A2 3B2 222222ba2.如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2AB 3BD，BC2BD，则 sinC的值为()3(2010湖南)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C120，c 2a，则

8、()AabBabCab二、填空题Da与b的大小关系不能确定4在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且acacbc，则A_，ABC的形状为_22batanCtanC5(2010江苏)在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若 6cosC，则的值是abtanAtanB_12226在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S(bca)，则A_.4三、解答题7在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)若 sinBsinC1，试判断ABC的形状8在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2BC7cos 2A.22(1)求A的度数；(2)若a 3，bc3，求b、c的值