《概率论解题方法》PPT课件.ppt

《《概率论解题方法》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《概率论解题方法》PPT课件.ppt（48页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数学知识系列讲座概率论解题方法分析举例主要内容n概率的计算；n概率大小的比较；n贝努里试验模型；n概率分布；n边缘分布；n随机变量函数的分布；n连续与离散两种随机变量相结合。1.利用事件间的关系与运算规律计算.如一、概率的计算u例1.为概率不为零的两事件，且互不相容，则正确 的是（）A)B)C)D)分析：A)是独立条件；B)与对立（互逆）相关；C)是差事件 的运算；D)是互不相容的问题.显然：A)错；B)不相干；D)中令 故D)错.又由于 故C)对.本题主要考查事件的几种关系：差、互逆、互不相容及独立.要熟练掌握其基本概念.u例2.已知事件 满足 .解：此题关键是掌握德谟根定律及事件的逆以及加

2、法公式.2.运用概率计算公式.如 加法公式条件概率公式及由此推出的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式u例3.一次掷十颗骰子，已知至少出现一个一点，问至少出现两个一点的概率是多少？分析：设A：至少出现一个一点；B：至少出现两 个一点,则所求为 另可知 ，因此关键利用了互逆事件及条件概率的性质.u例4.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被击中，则它是乙射中的概率是多少？分析：设A：甲射击一次命中目标；B：乙射击一次命中目标.则目标被命中为 所求概率为 于是u例5.三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中有2个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球2

3、个白球.求：（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率是多少？（2）已知取出的是白球，此球属于第三个箱子的概率分析：设 A:取出的球为白球；B：此球来自于第i个箱子，i=1,2,3,则 且（1）由全概率公式有（2）由贝叶斯公式有 练习.某工厂生产的产品以100件为一批，现从每批中任取10件来检查，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。假定每批产品中的次品数最多不超过4件，且每次次品数从0到4是等可能的。求：（1）一批产品通过检查的概率；（2）假设所检查这批产品通过检查，其中确实没有次品的概率.关键事件：A：产品通过验收；：每批产品中有i件次品，i=0,1,2,3,4.

4、l利用分布函数求概率：l若X为一维离散型：则l若（X，Y)为二维离散型：则l若X为一维连续型：则l若（X，Y)为二维连续型：则3.运用随机变量的分布u例6.已知 独立，则以下结论正确的是（）A)B)C)D)以上常不正确 分布列相同的两个随机变量不一定相等，与它们本身的定义有关，故A)不对；由于故选C).u例7.已知随机变量X的分布函数为（1）求 （2）求X的分布律.分析：由分布函数的意义 知 ,于是 端点处的概率即为上下阶梯之差，X的分布律为-12410.70.2u例8.，求方程 有实根的概率.分析：当且仅当 成立时，方程 有实根，解得 或 因此，该方程有实根的概率为本题是利用连续型随机变量均

5、匀分布的特征来求概率，若u例9.则（）.A）B)C）D)分析：独立正态分布的线性组合仍然服从正态分布 ，则 正态分布的标准化：故X+YN（1,2），从而，u例26.的联合概率密度为求 中至少一个小于0.5 的概率.解:所求概率为l1.l2.l3.利用概率分布特征比较，如密度函数的奇偶性，正态分布的标准化，正态分布的线性组合特征。二、概率大小的比较u例10.为任意两事件，且 ，则正确的是（）A)B)C)D)本题利用及条件概率的定义 即得B)正确.u例11.事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列式子正确的是（）A)B)C)D)选择支中出现了联想到加法公式由 有又 则故选B)u例12.A）单调增

6、大 B）单调减少 C）保持不变 D）增减不定u例13.设 则 的大小关系是（）A）B）C）D）大小不定 均考查正态分布的标准化问题 三、贝努里试验模型设计u例14.随机数字序列由多长时才能使0至少出现一次的概率不小于0.9？分析：可看成从0-9是个数字中任取一个放在各位上，每次独立，在相同条件下进行.设A:“任取一个数字，取到的数字为0”，则设X：“n次选取中，0出现的次数”，则X服从二项分布b(n,0.1).于是由题意有 解得:u例15.三只独立工作的同型号电子元件，其寿命分布（小时）都服从同一指数分布，分布密度为试求电子元件在最初的150小时之内，至少有一只电子元件损坏的概率.分析：设A:

7、“电子元件的寿命X小于等于150小时”，则 设Y：“三只电子元件中寿命小于150小时的只数”，即事件A发生的次数，则Y服从b(3,p).由于则即为所求.l1.分布函数 上述性质也是判断一个函数是否为分布函数的依据.l2.分布律及其性质（规范性）.l3.密度函数与分布函数的关系，密度函数的性质（非负性、规范性）.四、随机变量的分布u例16.下列函数为分布函数的是（）A)B)C)D)A)不满足右连续；C)、D)不满足单调不减；B)满足分布函数的几条性质：故选B)u例17.X的分布函数为F(x)，则 的分布函数 为（）A)B)C)D)由分布函数的定义有u例18.已知随机变量X的密度函数为令 ,求 解

8、：按分布函数的定义，有关键抓住分布函数的定义.u例19.X服从参数为 的指数分布，对于 的分布函数，哪个结论正确（）A)连续 B)至少有两个间断点 C)是阶梯函数 D)恰好有一个间断点思路：先求分布函数，再求不连续点个数.只有一个间断点离散型（X,Y)：l 联合分布律：l X的边缘分布律：lY的边缘分布律l若X,Y独立，则l在 的条件下 的概率4.联合分布、边缘分布、条件分布、独立性 连续型：已知（X,Y)的联合密度函数为lX的边缘密度函数lY的边缘密度函数为l若X,Y独立，则l在 的条件下Y的密度函数为 u例20.已知（X,Y）的联合分布律为 （1）将X,Y的边缘概率填入上表；（2）若Y=0

9、 与X+Y=1独立，求a,b的值.XY 0 1PY=yj 0 0.4 a 1 b 0.1PX=xi分析：由独立性知即 （1）又由分布律的规范性有 （2）解得 a=0.4,b=0.1 u例21.已知随机变量X,Y的分布律分别为：X 0 1 Y -1 0 1且 ,求(X，Y)的联合分布律并判断其独立性.分析：直接求不容易，但由 可知 于是，得到（X，Y）的联合分布律为 YX-1 01 0 0 0 1 0练习：的分布律为 且 则 并求(X,Y)的联合分布律.u例24：G由 及直线 y=0,x=1,所围，(X,Y)在G上服从均匀分布.求 (1)(X,Y)关于Y的边缘概 率密度在 处的值.(2)X,Y是

10、否独立？解：G的面积为故联合密度函数为求得故1xyl一维离散型，二维离散型（略）l一维连续型：(1)若X的密度函数为 ，Y=g(X)处处可导，且严格单调，的反函数为 则可用公式 (2)若Y=g(X)不满足上述条件，则先求Y的分布函数，再关于y求导.六、随机变量函数的分布l二维连续型随机变量函数的分布：已知联合密度函数为 (1)若 ,则 (2)若 ,则 (3)若 ,则此外，还有 与 的分布.u例23.X,Y的联合分布律为 求:（1）Z=X+Y的分布律；（2）U=maxX,Y的分布律；（3）V=minX,Y的分布律.YX0 12 0 0.300.05 0.02 1 0.03 0.200.40 (X

11、,Y)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)0.30 0.05 0.02 0.03 0.20 0.40 Z=X+Y 0 1 2 1 2 3 U=maxX,Y 0 1 2 1 1 2 V=minX,Y 0 0 0 0 1 1由上可知Z，U，V的分布律为：Z0123P0.30.080.220.40U012P0.30.280.42V01P0.40.6u例24.设X服从标准正态分布，求：（1）的密度函数；（2）的密度函数.解:（1）由 得 由公式得（2）时，时，（2）xyx-2y=z其概率分别为01001小结n关键：掌握基本概念；明确各概念间的联系；抓住离散与连续型随机变量两条主线；熟练记住基本运算公式；掌握积分的运算；体会其中的数学思想与方法。n难点：问题的转换与积分的计算谢谢！