《正多边形与圆》PPT课件.pptx

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1、正多边形正多边形：正多边形：各边相等，各角各边相等，各角也相等的多边形叫做也相等的多边形叫做正多边形。正多边形。AB=BC=CD=DE=EAA=B=C=D=E如正五边形满足的条件是如正五边形满足的条件是正正n边形：边形：如果一个正多边形有如果一个正多边形有n条边，那么条边，那么这个正多边形叫做这个正多边形叫做正正n边形。边形。想一想：想一想：菱形是正多边形吗？矩形和正菱形是正多边形吗？矩形和正方形方形 呢呢?为什么？为什么？你知道正多边形和圆有什么关系吗？你知道正多边形和圆有什么关系吗？正多边形和圆给你一个圆，怎样就能作出一个正多给你一个圆，怎样就能作出一个正多边形？圆中依次出现几段相等的弧边

2、形？圆中依次出现几段相等的弧 正多边形和圆的关系非常密切正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆只要把一个圆分成相等的一些弧分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多就可以作出这个圆的内接正多边形边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆这个圆就是这个正多边形的外接圆.如图如图,把把OO分成把分成把OO分成相等的分成相等的5 5段弧段弧,依依次连接各分点得到正五边形次连接各分点得到正五边形ABCDE.ABCDE.A=B.ABCDEO同理同理B B=C C=D D=E.E.又五边形又五边形ABCDABCDE E的顶点都在的顶点都在OO上上,五边形五边形ABCDABCD是是OO的内接正五边形的内接正五

3、边形,O,O是五边形是五边形ABCDABCD的的外接圆外接圆.1 1：我们以圆内接正五边形为例证明：我们以圆内接正五边形为例证明.123ABCDE45 如果将圆如果将圆n等分，依次等分，依次连接各分点得到一个连接各分点得到一个n边形，这个边形，这个n边形一定边形一定是正是正n边形边形 弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等）弧相等弧相等 圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等）多边形是正多边形多边形是正多边形 2.2.各边相等的圆内接多边形是正多边形各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角各角都相等的圆内接多边形呢都相等的圆内接多边形呢?如果是如果是,说明为什么说明为什么

4、;如果不是如果不是,举出反例举出反例.解答：各边相等的圆内接多边形是正多边形解答：各边相等的圆内接多边形是正多边形.A1AAAAAAAnO先说先说A A1 1正多边形每一边所对的圆心角正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的叫做正多边形的中心角中心角.O中心角中心角半径半径R边心距边心距r我们把一个正多边形的外接圆的圆心我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的叫做这个正多边形的中心中心.外接圆的半径叫做正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径半径.中心到正多边形的距离叫做中心到正多边形的距离叫做正多边形的正多边形的边心距边心距.我们在以前学过了那些正多边形？我们在以前学过了那些正多边

5、形？请同学们找出它们的中心，画出它们的半径，边请同学们找出它们的中心，画出它们的半径，边心距和中心角！心距和中心角！（等边三角形，正方形等）（等边三角形，正方形等）EFCD.O O中心角中心角中心角中心角A AB BG G G G边心距把边心距把AOBAOB分成分成2 2个个全等的直角三角形全等的直角三角形设正多边形的边长为设正多边形的边长为a,a,半径为半径为R R,它的周长为它的周长为L=naL=na.Ra例例 有一个亭子有一个亭子,它的地基半径为它的地基半径为4m的正六边形的正六边形,求地基的求地基的周长和面积周长和面积(精确到精确到0.1m2).解解:如图由于如图由于ABCDEF是正六

6、边形是正六边形,所以它的中心角等于所以它的中心角等于 ，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此因此,亭子地基的周长亭子地基的周长 l=46=24(m).在在Rt OPC中中,OC=4,PC=利用勾股定理利用勾股定理,可得边心距可得边心距亭子地基的面积亭子地基的面积OABCDEFRPr请同学们完成下表中有关正多边形的计算请同学们完成下表中有关正多边形的计算正多边形边数内角中心角 半径边长边心距 周长面积 3 4 6160901201209060242212821抢答题抢答题：1、O是正是正圆与圆与圆的圆心。圆的圆心。ABC的中心，它是

7、的中心，它是ABC的的2、OB叫正叫正ABC的的，它是，它是正正ABC的的 圆的半径。圆的半径。3、OD叫作正ABC的的，它是正，它是正ABC的的 圆的圆的半径。半径。ABC.OD外接外接内切内切半径半径外接外接边心距边心距内切内切 4、正方形、正方形ABCD的外接圆圆心的外接圆圆心O叫做叫做正方形正方形ABCD的的 ;5、正方形、正方形ABCD的内切圆的半径的内切圆的半径OE叫做叫做正方形正方形ABCD的的 .ABCD.OE中心中心 边心距边心距6、O是正五边形是正五边形ABCDE的外接圆，弦的外接圆，弦AB的的弦心距弦心距OF叫正五边形叫正五边形ABCDE的的，它是正五边形它是正五边形AB

8、CDE的圆的半径。的圆的半径。7、AOB叫做正五边形叫做正五边形ABCDE的角，的角，它的度数是它的度数是DEABC.OF边心距边心距内切内切中心中心728、图中正六边形、图中正六边形ABCDEF的中心角是的中心角是它的度数是它的度数是9、你发现正六边形、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有的半径与边长具有什么数量关系？为什么？什么数量关系？为什么？BAEFCD.OAOB603.分别求出半径为分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积心距和面积.解：作等边解：作等边ABC的的BC边上的高边上的高AD,垂足为垂足为D连接连接OB，则，则O

9、B=R在在RtOBD中中 OBD=30,边心距边心距OD=ABCDOBC=2 BD=3 R在在RtOBD中中 由勾股定理得：由勾股定理得：BD=OB2-BD2=R2-()2=32RSABC=BCAD=3 R R=R23.34322121解：连接解：连接OB，OC 作作OEBC垂足为垂足为E，OEB=90 OBE=BOE=45在在RtOBE中为等腰直角三角形中为等腰直角三角形ABCDOE正多边形有关的计算【示范题2】如图所示,已知O的周长等于6cm,求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积.正多边形有关的计算【思路点拨】连接OD,OE,过点O作OHDE于H,由周长公式,可求出半径,OH为等

10、边DOE的高,由勾股定理求出OH,求出DOE的面积,即可得正六边形ABCDEF的面积.正多边形有关的计算【自主解答】连接OD,OE,过点O作OHDE于H,则EH=DH=DE,设O的半径为R,由题意知2R=6,R=3(cm).正六边形的边长等于半径,DE=3,在RtEOH中,OE=3,EH=,由勾股定理得,OH=正六边形ABCDEF的面积为:(cm2).正多边形有关的计算【想一想】正六边形的边长和半径有怎样的数量关系?为什么?提示:相等,正六边形的中心角为60,边和半径构成等边三角形.结论总结1.定义判定:证明多边形的各边相等,各角相等.2.正多边形与圆的关系判定:多边形为圆内接多边形时,判断该

11、多边形的顶点将圆等分即可.3.与正n边形有关的角.(1)中心角:每一个中心角度数为:(2)内角:每个内角度数为:(3)外角:每个外角的度数为:结论总结4.正多边形的半径R、边心距r、边长a的关系:+r2=R2.5.正n边形周长l与边长a,面积S与边长a、边心距r的关系:周长l=na;面积S=arn.正多边形有关的计算【备选例题】已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值.【解析】设它们的周长是1.根据题意，得正三角形的边长是 正六边形的边长是 则正三角形的边心距是 正六边形的边心距是 则正三角形的面积是 正六边形的面积是 则它们的面积比是23.反思总结，拓展升华反思总结，拓展升华1，本节课你学习了什么？，本节课你学习了什么？2，正，正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？3，正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？，正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？4，正多边形有那些性质？，正多边形有那些性质？5，正，正n边形的半径，边心距，边长有什么关系？边形的半径，边心距，边长有什么关系？作业：作业：教材习题24，3，4，5题