《期权定价》PPT课件.ppt

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1、OCEAN UNIVERSITY OF CHINA7 期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA教学目的教学目的1.学习期权价格的基本属性q各种影响期权价值的因素q看涨和看跌期权的平价关系2.掌握B-S微分方程的基本原理、BS期权定价的基本原理及其定价公式。3.理解二叉树期权定价原理，初步掌握其定价方法。2期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA教学内容教学内容1.期权价格的特性q内在价值与时间价值q期权价格的影响因素q期权价格的上下限q期权价格曲线的形状q看涨期权与看跌期权之间的平价关系2.B-S微分方程3.风险中性定价4.BS期权定价公式5

2、.二叉树期权定价模型q单步二叉树模型q多步二叉树模型q连续红利率资产期权的二叉树定价模型3期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA1 1 1 1 期权价格的特性期权价格的特性期权价格的特性期权价格的特性 一、一、一、一、内在价值和时间价值内在价值和时间价值内在价值和时间价值内在价值和时间价值1.期权价值构成：内在价值+时间价值2.期权的内在价值：指多方行使期权时可获得的收益的现值3.内在价值给出期权总价值的底线，期权价值可比其内在价值更大4期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA期权的内在价值期权的内在价值1.欧式看涨期权q无收益情形：St-

3、X e-r(T-t)q有收益情形：St-D-Xe-r(T-t)2.欧式看跌期权q无收益情形：X e-r(T-t)-Stq有收益情形：X e-r(T-t)+D-St 3.美式看涨期权q无收益情形：St-X e-r(T-t)（提前执行不明智，欧式=美式）q有收益情形：St-D-Xe-r(T-t)4.美式看跌期权q无收益情形：X-St（可能提前执行）q有收益情形：X+D-St5期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA时间价值的含义 期权的时间价值（Time Value）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。也就是说，时间价值是期权获利潜

4、力的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。期权的时间价值期权的时间价值6期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA 此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响。以无收益资产看涨期权为例，q当St=X e-r(T-t)时（内在价值为0），期权的时间价值最大q当|St-X e-r(T-t)|增大时，期权的时间价值是递减的，如下图Xe-r(T-t)时间价值St 图 无收益资产欧式看涨期权时间价值与St-X e-r(T-t)的关系 7期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA时间价值最大点：q欧式看涨期权价值无收益情形：在St=Xe

5、-r(T-t)点最大有收益情形：在St=D+Xe-r(T-t)点最大q欧式看跌期权无收益情形：在St=Xe-r(T-t)点最大有收益情形：在St=Xe-r(T-t)+D点最大q欧式看涨期权价值无收益情形：在St=Xe-r(T-t)点最大有收益情形：在St=D+Xe-r(T-t)点最大q美式看跌期权无收益情形：在St=X 点最大有收益情形：在St=X-D 点最大8期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA关于该图的几点理解1.当期权处于平价状态的时候，标的资产无论如何波动也不可能使期权的多头有进一步的损失（不执行期权），但是却可能给期权多头带来巨大的收益，所以，此时波动对

6、于期权多头来说，只有利没有弊；2.如果期权处于深度虚值状态，标的资产的价格变化到足以使期权变为实值的潜力几乎没有，人们将不愿意为时间价值支付更多；3.如果处于深度实值状态，由于内在价值相当大，时间价所代表的获利潜力同时也意味着可能使得既得得利益减少甚至消失，所以此时人们也对时间价值的支付意愿也会下降。4.这样，由两边向中间递增，当期权处于平价状态时，时间价值最大。5.在实值状态下，越是接近平价的期权，将来标的资产价格来的损失越小，因而未来潜力越大，时间价值越大。在虚值状态下，越是接近平价的期权，未来标的资产得上升所带来的收益越大，因而时间价值越大 9期权定价期权定价OCEAN UNIVERSI

7、TY OF CHINA二、二、期权价格的影响因素期权价格的影响因素影响期权价值的因素q标的资产价格q执行价格q标的资产的波动率q有效期q无风险利率q标的资产的收益10期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA1.标的资产的市场价格与期权的执行价格q就看涨期权，标的资产的价格、协议价格，看涨期权的价格q就看跌期权，标的资产的价格、协议价格，看跌期权的价格11期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA 2.期权的有效期q美式期权：有效期越长，期权价格越高由于它可以在有效期内任何时间执行有效期越长，多头获利机会就越大有效期长的期权包含了有效期短的期权的

8、所有执行机会q欧式期权:有效期与期权价格之间的关系较为复杂 只能在期末执行有效期长的期权不一定包含有效期短的期权的所有执行机会12期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINAq例如，同一个股票的两个欧式看涨期权，一个有效期为1个月，另一个为2个月，假定6周后标的股票将有大量的红利支付，显然此时，有效期短的期权价格高于有效期长的期权。q但在一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况），由于有效期越长，标的资产的风险就越大，空头亏损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有效期越长，其期权价格也越高，即期权的边际时间价值为正值。13期权定价期权定价OCEAN UNIVERS

9、ITY OF CHINA3.标的资产的波动率 q标的资产的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标q由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也应越高4.标的资产的收益q由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行相应调整，因此在期权有效期内标的资产的收益将使看涨期权价格，而使看跌期权价格14期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA5.无风险利率q无风险利率上升标的资产的预期收益率增加；利率上升将提高贴现率，降低未来收益（执行期权后的收益

10、）的现值，使得期权费下降q对于买权来说，前一种作用是有利的，后一种作用是不利的。一般地，前者作用大，利率越高，买权的价值越高。q对于卖权来说，这两种作用都是不利的，因此，利率越高，卖权的价值越低。15期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA三、期权价格的上、下限三、期权价格的上、下限 上限上限看涨期权：看涨期权：期权价期权价格上限格上限看跌期权看跌期权欧式：欧式：美式：否则套利：买入标的资产并卖出看涨期权16期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA欧式看涨期权价格的下限欧式看涨期权价格的下限n资产无收益情形资产无收益情形q考虑两组合：组合A：

11、一份欧式看涨期权+金额为Xe-r(T-t)的现金组合B：一单位标的资产n资产有收益情形资产有收益情形q将组合A现金改为D+Xe-r(T-t)17期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA欧式看跌期权价格的下限欧式看跌期权价格的下限 n资产无收益情形资产无收益情形q考虑两组合：组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D：金额为Xe-r(T-t)的现金n资产有收益情形资产有收益情形q将组合D现金改为D+Xe-r(T-t)结论：欧式期权下限结论：欧式期权下限-内在价值内在价值18期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA无收益美式看涨期权价格的下

12、限无收益美式看涨期权价格的下限现金产生收益提前执行所得资产无收益美式期权的时间价值0提前执行不明智直观判断19期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA考虑如下两个组合：q组合A：一份美式看涨期权加上金额为Xe-r(T-t)的现金q组合B：一单位标的资产情形一：不提前执行组合A价值max(ST，X)组合B价值STBAAB20期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA情形二：在 时刻提前执行组合A价值组合B价值SBAAB21期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINAq比较两种情况可得：提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的

13、q同一种无收益标的资产美式看涨和欧式看涨期权价值相同：22期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA有收益美式看涨期权价格的下限有收益美式看涨期权价格的下限可能提前执行现金收益派生利息获得现金收益提前执行获得资产23期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA有收益美式看涨期权价格的下限有收益美式看涨期权价格的下限假设期权到期前，标的资产有n个除权日q除权前的瞬时时刻：t1，t2，tnq这些时刻之后的收益：D1，D2，Dnq这些时刻的标的资产价格：S1，S2，Sn 提前执行时间提前执行时间无收益情况不应提前执行美式看涨期权有收益情况有收益情况只有在

14、除权前瞬时时刻提前执行方可能最优只需推导每个除权日前提前执行的可能性24期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINAtn时刻提前执行 多方收益：Sn-X不提前执行q资产价格因除权降至：Sn-Dn qtn时刻期权价值Cntn时刻不提前执行条件：只有当ti时刻收益足够大时，才有可能提前执行不提前执行条件ti时刻不能提前执行条件：同理25期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：26期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA无收益美式看跌期

15、权价格的下限无收益美式看跌期权价格的下限不提前执行：组合A价值max(X，ST)组合B价值X 时刻提前执行：组合A的价值X 组合B的价值提前执行影响因素提前执行提前执行提前执行提前执行无风险 利率实值额X-S考虑两个组合q组合A：一份美式看跌期权多头加上一单位标的资产q组合B：金额为Xe-r(T-t)的现金有可能提前执行27期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA美式看跌期权价格的下限美式看跌期权价格的下限q无收益情形q有收益情形28期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA欧式美式看涨看跌看涨看跌标的资产无收益标的资产有收益标的资产无收益标的

16、资产有收益标的资产无收益标的资产有收益标的资产无收益标的资产有收益上限 S SSSXX下限 总结总结29期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINAn设某一无红利支付股票的现货价格为30元，连续复利无风险年利率为6%，求该股票协议价格为27元，有效期3个月的看涨期权价格的下限。解：看涨期权价格下限为：=30-27e-0.060.25=3.40元 30期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINAq 上限：St，下限：(期权的内在价值)q 当St0和，时间价值 0，看涨期权价值 0和StXe-r(T-t)。特别地，当St=0，C=c=0q 当内在价值=0

17、，期权价格=时间价值q 时间价值在St=Xe-r(T-t)时最大四、期权价格曲线的形状四、期权价格曲线的形状四、期权价格曲线的形状四、期权价格曲线的形状 无收益看涨期权价格曲线无收益看涨期权价格曲线无收益看涨期权价格曲线无收益看涨期权价格曲线期权价格上限 (C=c=St)看涨期权价格曲线 期权价格下限(C=c=max(St-X e-r(T-t),0)时间价值虚值期权 平价期权 实值期权(StX e-r(T-t)看涨期权价格有收益资产看涨期权价格曲线与无收益类似，只需把下限中X e-r(T-t)换成Xe-r(T-t)+DSt31期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA欧

18、式看跌期权价格 期权价格下限(C=c=max(S-X e-r(T-t),0)上限时间价值0 st欧式看跌期权价格曲线X e-r(T-t)X e-r(T-t)q 上限为q 下限为q 当St0和时，期权价格 和0。q 特别地，当S=0时，有收益资产价格曲线与该图相似，只需把下限中Xe-r(T-t)换为D+Xe-r(T-t)无收益欧式看跌期权价格曲线无收益欧式看跌期权价格曲线32期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA美式看跌期权价格期权价格下限max（X-St,0）时间价值上限X美式看跌期权价格曲线StX0q 上限：X，下限：XStq 当St足够低，提前执行明智，期权价值

19、为XSt当St较小，曲线与下限q 当St=X，期权时间价值最大q 其它情况与欧式看跌类似有收益美式看跌期权价格曲线与该图相似，只需把下限中X换成D+X 无收益美式看跌期权价格曲线无收益美式看跌期权价格曲线33期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA五、看涨期权与看跌期权之间的平价关系五、看涨期权与看跌期权之间的平价关系 卖权卖权卖权卖权价格价格价格价格买权买权买权买权价格价格价格价格联系34期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系n无收益情形q考虑两个组合：组合A：一份欧

20、式看涨期权+金额为Xe-r(T-t)的现金组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权+一单位标的资产2.有收益情形q组合A中现金改为D+Xe-r(T-t)35期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA1.某一协议价格为25元，有效期6个月的欧式看涨期权价格为2元，标的股票价格为24元，该股票预计在2个月和5个月后各支付0.50元股息，所有期限的无风险连续复利年利率均为8%，请问该股票协议价格为25元，有效期6个月的欧式看跌期权价格等于多少？解：看跌期权价格为：p=c+Xe-r(T-t)+D-St =2+25e-0.50.08+0.5e-0.16670.08

21、+0.5e-0.41670.08-24 =3.00元36期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA2.用看涨看跌期权平价证明用欧式看跌期权创造蝶式差价组合的成本等于用欧式看涨期权创造蝶式差价组合的成本。3.证明：4.符号 c1、c2、c3：协议价格X1、X2和X3的欧式看涨价格5.p1、p2、p3：协议价格为X1、X2和X3的欧式看跌价格6.欧式看涨看跌期权平价公式:c1+X1e-r(T-t)=p1+Stc2+X2e-r(T-t)=p2+Stc3+X3e-r(T-t)=p3+Stc1+c3-2c2+(X1+X3-2X2)e-r(T-t)=p1+p3-2p2c1+c3-2

22、c2=p1+p3-2p2X1+X3=2X237期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA美式看涨期权和看跌期权之间的关系美式看涨期权和看跌期权之间的关系1.无收益情形Ppc=C38期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA不提前执行：组合A价值max(ST,X)+Xer(T-t)-X 组合B价值max(X，ST)时刻提前执行：组合A的价值Xer(-t)+c 组合B的价值Xt时刻组合A价值组合B价值为推导C和P更严密关系，考虑两组合：q组合A：一份欧式看涨期权+X现金q组合B：一份美式看跌期权+一单位标的资产39期权定价期权定价OCEAN UNIV

23、ERSITY OF CHINA2.有收益情形q组合A现金改为D+X3.欧式期权平价关系40期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA软件演示软件演示1.看涨期权-看跌期权平价关系的演示 41期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA2 BS微分方程微分方程 假设假设1.股价过程为几何布朗运动2.卖空无限制3.不存在套利机会4.证券可以连续交易5.没有交易成本、税收，证券是无限可分的6.衍生工具在到期之前不产生红利7.所有期限的无风险利率同为常数42期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINABS微分方程微分方程 推导推导n标

24、的资产价格过程几何布朗运动q布朗运动（Brownian Motion）起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述 43期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA几何布朗运动的深入理解q投资者感兴趣的是独立于价格的收益率（非股价S）。投资者期望股价以一定的增长率（非绝对价格）需用百分比收益率代替绝对股价（几何布朗运动离散形式）。q几何布朗运动最终隐含股价的连续复利收益率(而非百分比收益率)正态分布股价对数正态分布，较符合现实44期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINAnf：衍生工具价值，则它是标的资产与时间的函数n离散形式随机部分w

25、相同适当组合可被消除组合：单位衍生工具空头+份的标的资产多头45期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA组合价值：组合价值变化量：不含随机性瞬时无风险(t小，单利)BS微分方程46期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINAn标的资产衍生工具都满足BS方程，不同工具的差异体现在边界条件上q欧式买权：当t=T时，f=max(ST-X,0)q欧式卖权：当t=T时，f=max(X-ST,0)n只要标的资产价格服从几何布朗运动，都可采用BS方程求fnBS方程任何解f 都是某种可交易衍生工具的理论价格，并且其交易不会导致套利机会n如果某衍生工具价格f 不满

26、足BS方程，那么其交易必导致套利机会47期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINABS微分方程微分方程 应用应用远期价格满足BS方程48期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINAf 只与只与St、t、r有关有关 St、t、r均客观变量均客观变量可采用可采用风险中风险中性定价性定价法法对衍对衍生工具生工具定价定价投资投资者风者风险偏险偏好不好不影响影响f49期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA3 风险中性定价风险中性定价1.在风险中性世界，所有证券的期望收益率都等于无风险利率2.风险中性定价的一般程序q假设标的资产的期

27、望收益率等于无风险利率q计算衍生工具在到期日的期望支付(payoff)q把期望支付按无风险利率贴现3.风险中性定价是求解BS方程的一种人造方法，用该方法求得的解适用于任何投资者(不仅限于风险中性投资者)50期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA应用于远期应用于远期n边界条件：fT=ST-Kn根据风险中性定价原则，51期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA4 BS期权定价公式期权定价公式 意义意义1.期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。

28、在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在1973年 金融学家F.Black与M.Scholes发表了“期权定价与公司负债”的著名论文2.该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式qBlack-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法3.M.Scholes主要因为这一工作与R.Merton一道荣膺了1997年的诺贝尔经济学奖。F.Black于1995年逝世，享年57岁，与诺奖擦肩而过52期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA轶事轶事1.巧合的是，芝加哥期权交易所

29、于1973年4月26日挂牌营业，略早于BS公式的正式发表(5-6月号)2.F.Black和M.Scholes于1969年开始期权定价研究，当时F.Black是波士顿的独立咨询师，M.Scholes是MIT的助教，初稿写成于1970年3.最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒绝，而且没有得到审稿意见。拒绝的理由：金融太多，经济学太少4.他们于是向经济学与统计学评论投稿，同样在没有得到审稿意见的情况下遭到拒绝5.1971年，在芝加哥大学教授E.Fama和M.Miller与JPE杂志的编辑打了招呼以后，JPE 才接受了这篇论文6.这一番波折导致他们检验BS公式的论文发表在先53期权定价期权定价OCEA

30、N UNIVERSITY OF CHINABS期权定价公式期权定价公式假设注：公式中、r均以年为单位定价方法：风险中性定价法54期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINABS期权定价公式的直观解释期权定价公式的直观解释1.N(d1)：对冲一份买权所需标的资产数量qDelta对冲的系数2.N(d2)：期权被执行的风险中性概率q用二叉树模型比较好理解3.BS公式q欧式买权价值等于标的资产价格Delta对冲系数执行价格的现值期权被执行的风险中性概率55期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA1.固定收益资产欧式看涨和看跌期权价格：St-D St2.支

31、付连续复利收益率q（单位为年）资产的欧式看涨和看跌期权价格 Ste-q(T-t)St有收益资产的欧式期权有收益资产的欧式期权BS定价公式定价公式代替代替56期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA美式看跌期权美式看跌期权的适用性的适用性美式看跌期权无论标的资产有无收益都有提前执行的可能，而且与其对应的看涨期权也不存在精确的平价关系，因此一般通过数值方法来求美式看跌期权的价值。57期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINAn假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利年利率为10%，英镑汇率遵循几

32、何布朗运动，其波动率为10%，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价格。解：英镑会产生无风险收益查表：c=1.42680.4023=0.0305=3.05美分58期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA2.假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30%，无风险连续复利年利率为10%，求该期权的价值。解：1.看该期权是否应提前执行。不能提前执行条件：q由于D1=D2=1.0元，则对第一次除权日，有q对第2次除权日，

33、有59期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA2.比较1年期和11个月期欧式看涨期权价格。q对于1年期欧式看涨期权来说，红利现值为：St=50-1.8716=48.1284N（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224代入BS公式60期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINAq对于11个月期的欧式看涨期权，红利现值为：St=49.0408元 4.由于c11c12，因此该美式看涨期权价值近似为7.2824元 代入BS公式61期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINABS定价公式的实证研究定价公式的实证研

34、究精度问题：比较期权的BS理论值与市场价格实证研究显示：BS定价公式倾向于q高估方差高的期权，低估方差低的期权q高估实值期权的价格，低估虚值期权的价格q改变波动率的估计方式会提高BS定价公式在预测实际价格时的表现62期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA差异存在原因：q计算错误q期权市场价格偏离均衡q使用错误参数q公式建立在众多假定基础上63期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA软件实现软件实现1.计算以下无股息股票的欧式看涨期权的价格，其中股票价格为52美元，执行价格为50美元，无风险利率为年率12%，波动率为年波动率30%，有效期为3

35、个月。64期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA5 5 二叉二叉树树期期权权定价模型定价模型1.二叉树期权定价（Binomial option Pricing Model）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出，为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简单和直观的方法2.二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式期权和奇异期权）定价模型的基本手段3.对于所有不能给出解析式的期权，都可以通过二叉树模型给出65期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA一、单步二叉树模型一、单步二叉树模型 实质：用大量离散的小幅度二值运动模拟资产价格的连续运动期

36、权有效期分为很多很小时间间隔t，并假设在每个间隔内证券价格只有两种运动的可能：66期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA基于基于基于基于单单单单步二叉步二叉步二叉步二叉树树树树模型的模型的模型的模型的期权定价期权定价期权定价期权定价 风险中性法风险中性法风险中性法风险中性法风险中性世界里，参数值满足假设资产价格几何布朗运动在t内资产价格变化方差=S22t。结合方差定义EQ2-EQ2 67期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA二、多步二叉树模型二、多步二叉树模型二、多步二叉树模型二、多步二叉树模型 资产价格的树型结构资产价格的树型结构资产价

37、格的树型结构资产价格的树型结构nn期：若将定价日到到期日的时间进一步细分为n个阶段，则标的资产在到期日的状态可能取值为n1个q若n，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全有理由用两状态的二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化过程q数学意义：用无穷期的二叉树模型来逼近一个标的资产价格连续变化的期权定价模型n思路：推导出n期的二叉树模型，然后令n趋于无穷 SuSu2 Su3SSSuSu2 Su4SSdSd3 SdSd2 Sd2 Sd468期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA多期模型期权的多期模型期权的定价思路：定价思路：倒推定价法倒推定价法1.从当前时刻，由S0，u，d

38、向前推算，得到标的股票在第1,2,n各期的取值。这样建立标的股票的状态数，它反映了股价的变化路径2.根据第n期的股价（估计值）求出期权相应的价值3.从第n期起，循着状态树逆向递推，分别计算前期的期权可能值，直到当前时刻4.对美式期权，需在每个结点处进行比较q该结点提前执行时期权的回报 VS 不提前执行时后一结点期权价值到该点的贴现值q取较大者作为该结点的期权价值69期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINAn假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值计算

39、过程：q为构造二叉树，把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。可算出：70期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA美式看跌期权二叉树美式看跌期权二叉树X5089.070.0079.350.0070.7070.700.000.0062.9962.990.640.0056.1256.1256.122.161.300.0050.0050.0050.004.493.772.6644.5544.5544.556.966.385.4539.6939.6910.3610.3135.3635.3614.6414.6431.5018.5028.0721.9371期权定价

40、期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA三、三、三、三、连续红连续红连续红连续红利率利率利率利率资产资产资产资产期期期期权权权权的二叉的二叉的二叉的二叉树树树树定价模型定价模型定价模型定价模型 标的资产支付连续收益率为q的红利风险中性条件下，资产价格增长率=r-q、d表达式仍然适用72期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA期权定价模型前沿介绍期权定价模型前沿介绍1.蒙特卡洛模拟定价法2.Bootstrap定价法3.复合实物期权法73期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA四、软件实现四、软件实现1.一个两个月期基于某股票指

41、数的美式看涨期权，执行价格为500，目前指数为495，无风险利率为年率10，指数红利率为每年4，波动率为每年25。构造一个四步（每步为半个月）的二叉树图，为期权定价。2.一个无红利股票的美式看跌期权，有效期为3个月，目前股票价格和执行价格均为50美元，无风险利率为每年10，波动率为每年30，请按时间间隔为一个月来构造二叉树模型，为期权定价。74期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA本章小结本章小结1.期权价值等于内在价值与时间价值之和。内在价值等于零和期权立即执行时所具有的价值这两者之中的较大值。期权时间价值在内在价值为零时最大，并随标的资产市价与协议价格之间差额的

42、绝对值变大而递减。随着时间的延长，期权时间价值是递增的，但增幅是递减的。2.期权价格的影响因素有：标的资产的市价、期权的协议价格、期权的有效期、标的资产价格的波动率、无风险利率、标的资产的收益。75期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA1.提前执行无收益资产看涨期权是不合理的，而提前执行看跌期权和有收益资产看涨期权，则有可能是合理的。2.无收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系为：3.有收益资产欧式期权平价关系为：4.美式看涨期权与看跌期权之间不存在平价关系。76期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA7.为了给期权定价，我们假设期权标的

43、资产遵循几何布朗运动，据此可以推导出著名的布莱克舒尔斯微分方程：8.BS定价公式可用于欧式期权、美式看涨期权定价。对美式看跌期权定价只能用二叉树、蒙特卡罗模拟等求出。9.二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。从二叉树图的末端开始倒推计算出期权价格。77期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA作业作业11.列出影响期权价格的6个因素。78期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA作业作业21.设c1、c2和c3分别表示协议价格为X1、X2、X

44、3的欧式看涨期权的价格，其中X3X2X1且X3-X2=X2-X1，所有期权的到期日相同，请证明：c2 0.5(c1+c3)2.某一协议价格为25元，有效期6个月的欧式看涨期权价格为2元，标的股票价格为24元，该股票预计在2个月和5个月后各支付0.50元股息，所有期限的无风险连续复利年利率均为8%，请问该股票协议价格为25元，有效期6个月的欧式看跌期权价格等于多少？3.预习BS期权定价模型79期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA作业作业31.假设某种不支付红利股票的市价为50元，风险利率为10%，该股票的年波动率为30%，求该股票协议价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。要求：1）笔算；2）软件实现。2.预习二叉树定价模型。80期权定价期权定价OCEAN UNIVERSITY OF CHINA作业作业41.一个无红利股票的美式看跌期权，有效期为3个月，目前股票价格和执行价格均为50美元，无风险利率为每年10，波动率为每年30，请按时间间隔为一个月来构造二叉树模型，为期权定价。要求：1）笔算；2）软件实现。2.上网分组查找我国当前权证市场上的主要认股权证产品及其特性（至少四个）81期权定价期权定价