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1、第四讲第四讲 晶体宏观对称(二)晶体宏观对称(二)对称组合定律及空间格子类型对称组合定律及空间格子类型1 1 对称要素组合定理对称要素组合定理 定理一:定理一:L Ln n P PLLn nnP nP 定理二:定理二:L Ln nLL2 2=L=Ln nnLnL2 2 定理三:定理三:L Ln n(偶次)(偶次)PLPLn nP C P C 定理四:当定理四:当n n为奇数时:为奇数时:L Li in nLL2 2 (或(或P P)L Li in nnLnL2 2nP nP 当当n n为偶数时:为偶数时:L Li in nLL2 2 (或(或P P )L Li in nn/2Ln/2L2 2
2、n/2 P n/2 P 定理五:定理五:L Ln n LLm m mL mLn nnLnLm m (当(当L3 L3 与与L4 L4 斜交时)斜交时)2 2 空间格子类型与晶体常数特点空间格子类型与晶体常数特点 (一)空间格子的划分(一)空间格子的划分 (二)空间格子类型(二)空间格子类型 (三)十四种布拉维格子(三)十四种布拉维格子 3 3 对称型(点群)的国际符号对称型(点群)的国际符号1 1 对称要素组合定理对称要素组合定理 回顾上次讲课用到的模型:绿柱石:L L6 66L6L2 27PC7PC锆石:L L4 44L4L2 25PC5PC萤石:3L3L4 44L4L3 36L6L2 29
3、PC9PC从上面的结果可以看出什么规律?从上面的结果可以看出什么规律?对称要素组合不是任意的,必须符合对称要素的组合对称要素组合不是任意的,必须符合对称要素的组合定律;定律;当对称要素共存时,也可导出新的对称要素。当对称要素共存时,也可导出新的对称要素。对称要素组合定理:对称要素组合定理:定理一:定理一:L Ln n L L2 2 L Ln nnLnL2 2 (L L2 2与与L L2 2的夹角是的夹角是L Ln n基转角的一半基转角的一半)逆定理:逆定理:L L2 2与与L L2 2相交,在其交点且垂直两相交,在其交点且垂直两L L2 2会产生会产生L Ln n,其基转,其基转角是两角是两L
4、 L2 2夹角的两倍。并导出其他夹角的两倍。并导出其他n n个在垂直个在垂直L Ln n平面内的平面内的L L2 2。例如例如:L L4 4 L L2 2 L L4 44 4L L2 2,L L3 3 L L2 2 L L3 33L3L2 2思考思考:两个两个L L2 2相交相交30,30,交点处并垂直交点处并垂直L L2 2所在平面会产生什么所在平面会产生什么对称轴对称轴?定理二:定理二:L Ln n P P L Ln nP P C C (n n为偶数为偶数)逆定理:逆定理:L Ln n C C L Ln nP P C C(n n为偶数为偶数)P P C C L Ln nP P C (C (
5、n n为为偶数偶数)这一定理说明了这一定理说明了L L2 2、P P、C C三者中任两个可以三者中任两个可以产生第三者。产生第三者。因为偶次轴包含因为偶次轴包含L L2 2。定理定理3 3:L Ln n P P/L Ln nnPnP/(P P与与P P夹角为夹角为L Ln n基转角的一半)基转角的一半);逆定理:逆定理:两个两个P P相交,其交线必为一相交,其交线必为一L Ln n,其基转角为,其基转角为P P夹夹角的两倍,并导出其他角的两倍,并导出其他n n个包含个包含L Ln n的的P P。(定理(定理3 3与定理与定理2 2对应)对应)思考思考:两个对称面相交两个对称面相交60,60,交
6、线处会产生什么对称轴交线处会产生什么对称轴?定理定理4 4:L Li in n P P/=L=Li in n L L2 2 L Li in nn/2 Ln/2 L2 2 n/2 Pn/2 P/(n n为偶数)为偶数)L Li in nn Ln L2 2 nPnP/(n n为奇数)为奇数)图示说明图示说明例例1 1:方解石:方解石:L L3 33L3L2 23PC3PC,此,此L L3 3为为L Li i3 3(有对称中心)(有对称中心)有一个有一个L L2 2是垂直是垂直L Li i3 3的(或有一个的(或有一个P P是包含是包含L Li i3 3的)的)则:则:L Li i3 33L3L2
7、23P3PL L3 33L3L2 23PC3PC例例2 2:四方四面体:有一个:四方四面体:有一个L Li i4 4,有,有P P包含包含L Li i4 4 (或(或L L2 2垂直于垂直于 L Li i4 4)则其对称型为则其对称型为:L Li i4 42L2L2 22P 2P 定理五定理五:L Ln n LLm m mL mLn nnLnLm m (当(当L L3 3 与与L L4 4 斜交斜交时)时)举例:萤石晶体模型:举例:萤石晶体模型:3L3L4 44L4L3 36L6L2 29PC9PC32种对称型推导表 对对 称称 型型共共 同同 式式 LnLnnL2 LnP(C)LnnP Ln
8、nL2(n+1)PC Lin Lin nL2nP(*1)Lin(n/2)L2(n/2)P(*2)晶系晶系 A 类类n=1L1 Li1=C 三斜三斜n=2L23 L2 L2 PCL22P 3 L2 3PC Li2=P单斜单斜斜方斜方n=3L3 L3 3 L2 L3 3P Li3=Li3C Li33 L2 3P=L3 3 L2 3PC 三方三方n=4L4L4 4L2 L4 PC L4 4P L4 4L2 5PC Li4Li42 L2 2P 四方四方n=6L6 L6 6 L2 L6 PC L6 6P L6 6 L2 7PC Li6=Li6P Li63 L2 3P=L3 3 L2 4P 六方六方 B
9、类类 3 L2 4 L3 3 L4 4 L3 6 L2 3 L2 4 L3 3PC3Li44L36P 3 L4 4 L3 6 L2 9PC 等轴等轴2 2 空间格子类型与晶体常数特点空间格子类型与晶体常数特点 2.1空间格子的划分空间格子的划分 平行六面体的选择平行六面体的选择对于每一种晶体结构而言,其结点对于每一种晶体结构而言,其结点(相当点相当点)的分布是客的分布是客观存在的,但平行六面体的选择是人为的。观存在的,但平行六面体的选择是人为的。对于一个空间点阵,可以划分出一个平行六面体作为一个基本单位,整个空间点阵可以由这个单位平行六面体在三维空间的平移而产生。划分平行六面体的方式有很多,但
10、应遵循以下原则:1)所选平行六面体的对称性应符合整个空间点阵的对称)所选平行六面体的对称性应符合整个空间点阵的对称 性;性;2)在不违反对称的前提下,应选择棱与棱之间直角关系)在不违反对称的前提下,应选择棱与棱之间直角关系 为最多的平行六面体;为最多的平行六面体;3)在遵循前二条件的前提下,所选平行六面体的体积应)在遵循前二条件的前提下,所选平行六面体的体积应 为最小;为最小;4)当对称性规定棱间的交角不为直角时,则在遵循前三)当对称性规定棱间的交角不为直角时,则在遵循前三 个条件的前提下,应选择结点间距小的行列作为平行个条件的前提下,应选择结点间距小的行列作为平行 六面体的棱,且棱间交角近于
11、直角的平行六面体。六面体的棱,且棱间交角近于直角的平行六面体。下面两个平面点阵图案中,请同学们画出其空间格子:下面两个平面点阵图案中,请同学们画出其空间格子:4mm mm2 4mm mm24mm mm2引出一个问题:空间格子可以有带心的格子;引出一个问题:空间格子可以有带心的格子;另外请思考:如果上面的图案对称为另外请思考:如果上面的图案对称为3m,该怎么画?,该怎么画?a0c0b0平行六面体参数:平行六面体参数:a0、b0、c0和、对比晶体几何常数划分7种平行六面体,对应于7个晶系形状及参数?(七种形态)空间格子的划分空间格子的划分 晶体常数特点依据晶体对称特点、高次对称轴及对称轴的数量进行
12、分依据晶体对称特点、高次对称轴及对称轴的数量进行分类,各晶系晶体常数类,各晶系晶体常数a a、b b、c c及其夹角及其夹角、的相的相互关系如下:互关系如下:1 1)等轴晶系:)等轴晶系:a=b=ca=b=c,;,;=90=90;2 2)四方晶系:)四方晶系:a=bca=bc,=90=90;3 3)六方晶系:)六方晶系:a=bca=bc,=90=90,=120=120;4 4)三方晶系:)三方晶系:a=b=ca=b=c,=90=90;5 5)斜方晶系:)斜方晶系:abcabc,=90=90;6 6)单斜晶系:)单斜晶系:abcabc,=90=90、9090 7 7)三斜晶系:)三斜晶系:abc
13、abc,9090三十二种对称型及对称分类三十二种对称型及对称分类晶族名称晶族名称晶系名称晶系名称晶体常数特点晶体常数特点对称特点对称特点对称型种类对称型种类低级晶族低级晶族 (无高次轴)(无高次轴)三斜晶系三斜晶系ab c ab c 90 90 无对称面无对称面 无对称轴无对称轴1.L1.L1 1 2 2.C.C单斜晶系单斜晶系ab c ab c a=90=90 9090 L L2 2 或或 P P 不多于不多于1 1个个3.L3.L2 2 4.P 4.P 5 5.L.L2 2PCPC斜方晶系斜方晶系 (正交晶系正交晶系)ab c ab c =90=90 L L2 2 或或 P P 多于多于1
14、 1个个6.3L6.3L2 2 7.L7.L2 22P 2P 8 8.3L.3L2 23PC3PC中级晶族中级晶族 (只有一个高次轴)(只有一个高次轴)四方晶系四方晶系a=b c a=b c =90=90 有一个有一个L L4 4 或或L Li i4 49.L9.L4 4;10.L;10.L4 44L4L2 2 ;11.L;11.L4 4PC PC 12.L12.L4 44P;4P;1313.L.L4 44L4L2 25PC 5PC 14.L14.Li i4 4;15.L;15.Li i4 42L2L2 22P2P三方晶系三方晶系a=b c a=b c =90;=90;=120=120 有一个
15、有一个L L3 316.L16.L3 3;17.L;17.L3 33L3L2 2;18.L;18.L3 33P 3P 19.L19.L3 3C;C;2020.L.L3 33L3L2 23PC3PC六方晶系六方晶系有一个有一个L L6 6 或或L Li i6 621.L21.Li i6 6;22.L;22.Li i6 63L3L2 23P;23.3P;23.L L6 6 24.L24.L6 66L6L2 2;25.L;25.L6 6PC;26.PC;26.L L6 66P 6P 2727.L.L6 66L6L2 27PC7PC高级晶族高级晶族 (有多个高次轴)(有多个高次轴)等轴晶系等轴晶系a=
16、b=c a=b=c =90=90 有四个有四个L L3 328.3L28.3L2 24L4L3 3;2929.3L.3L2 24L4L3 33PC 3PC 3030.3L.3Li i4 44L4L3 36P6P;31.3L;31.3L4 44L4L3 36L6L2 2 3232.3L.3L4 44L4L3 36L6L2 29PC9PC2.22.2平行六面体中结点的分布(即格子类型)平行六面体中结点的分布(即格子类型)1 1)原始格子)原始格子(P P):结点分布于平行六面体的八个角顶上。:结点分布于平行六面体的八个角顶上。2 2)底心格子)底心格子(C C、A A、B B):结点分布于平行六面
17、体的角顶及:结点分布于平行六面体的角顶及某一对面的中心。某一对面的中心。3 3)体心格子)体心格子(I I):结点分布于平行六面体的角顶和体中心。:结点分布于平行六面体的角顶和体中心。4 4)面心格子)面心格子(F F):结点分布于平行六面体的角顶和三对面:结点分布于平行六面体的角顶和三对面的中心。的中心。其中底心、体心、面心格子称带心的其中底心、体心、面心格子称带心的格子,我们在前面画格子的例子中已经知格子,我们在前面画格子的例子中已经知道有带心格子的存在,这是因为有些晶体道有带心格子的存在,这是因为有些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出原始结构在符合其对称的前提下不能画出原始格子,只能画
18、出带心的格子。格子,只能画出带心的格子。2.3 2.3 十四种布拉维格子十四种布拉维格子 七个晶系七个晶系-七套晶体常数七套晶体常数七种平行六面体种形状。七种平行六面体种形状。每种形状有四种类型,那么就有每种形状有四种类型,那么就有74=2874=28种空间格子?种空间格子?但在这但在这2828种中,某些类型的格子彼此重复并可转换,种中,某些类型的格子彼此重复并可转换,还有一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存还有一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在,因此在,因此,只有只有1414种空间格子,也叫种空间格子,也叫1414种布拉维格子。种布拉维格子。(A.BravaisA.Bra
19、vais于于18481848年最先推导出来的)年最先推导出来的)举例说明:举例说明:1 1、四方底心格子四方底心格子可转变为体积更小的四可转变为体积更小的四方原始格子方原始格子 ;2 2、在等轴晶系中,若在立方格子中的一在等轴晶系中,若在立方格子中的一对面的中心安置结点,则完全不符合等对面的中心安置结点,则完全不符合等轴晶系具有轴晶系具有4 4L L3 3的对称特点,故不可能存的对称特点,故不可能存在在立方底心格子立方底心格子。例例1 1:四方底心格子:四方底心格子 四方原始格子四方原始格子例例2 2:立方底心格子不符合等轴晶系对称:立方底心格子不符合等轴晶系对称思考:立方底心格子符合什么晶系
20、的对称?思考:立方底心格子符合什么晶系的对称?晶系原始格子(P)底心格子(C)体心格子(I)面心格子(F)三斜C=II=FF=P单斜I=FF=C斜方四方C=PF=I三方与本晶系对称不符I=FF=P六方与本晶系对称不符与空间格子的条件不符与空间格子的条件不符等轴与本晶系对称不符小结:平行六面体中4种结点类型:原始格子原始格子(primitive,P)体心格子体心格子(body-centered,I)面心格子面心格子(face-centered,F)底心格子底心格子(end-centered,C,A,B)3 3 对称型(点群)的国际符号对称型(点群)的国际符号 对称型相当于一个公式法,将所有的对称
21、要素按一对称型相当于一个公式法,将所有的对称要素按一定规则罗列起来;而国际符号就是将对称型的表示加定规则罗列起来;而国际符号就是将对称型的表示加以简化,只写其中的基础对称要素;因为可以根据这以简化,只写其中的基础对称要素;因为可以根据这些基础对称要素,通过对称要素组合定理将其所有的些基础对称要素,通过对称要素组合定理将其所有的对称要素推导出来;各晶系晶体的国际符号组成分别对称要素推导出来;各晶系晶体的国际符号组成分别有有1 13 3个规定的方向,即:个规定的方向,即:对称型的国际符号很简明,对称型的国际符号很简明,1 1)它不将所有的对称要素都写出来)它不将所有的对称要素都写出来,2 2)并且
22、可以表示出对称要素的方向性)并且可以表示出对称要素的方向性,3 3)但它不容易看懂)但它不容易看懂.特点是特点是:凡是可以派生出来的对称要素都省略了凡是可以派生出来的对称要素都省略了.对称要素的标记:对称要素的标记:在国际符号中,以在国际符号中,以1 1、2 2、3 3、4 4、6 6和和 分别表示各种轴次的对称轴和倒转轴;以分别表示各种轴次的对称轴和倒转轴;以m m表示对称面,表示对称面,L Li i6 6的国际符号写为的国际符号写为 而不是而不是3/m3/m;C C的国际符号写为的国际符号写为 。若对称面与对称轴垂直,则两者之间以斜线或横线隔若对称面与对称轴垂直,则两者之间以斜线或横线隔
23、开。如开。如L L4 4PCPC的国际符号写为的国际符号写为4/m4/m;L L2 2PCPC以以2/2/m m表示。表示。(由此可以看出,对称中心由此可以看出,对称中心C C就不必再表示出来了,就不必再表示出来了,因为偶次轴垂直对称面定会产生一个因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C)C)。具体的写法为具体的写法为:设置三个序号位设置三个序号位(最多只有三个最多只有三个),),每个每个序号位中规定了写什么方向上的对称要素序号位中规定了写什么方向上的对称要素(序号位与方序号位与方向对应,这是国际符号的最主要的特色向对应,这是国际符号的最主要的特色),),对称意义完对称意义完全相同的方向上的对称要素全相同的方向上的对称要素,不管有多少不管有多少,只写一个就只写一个就行了(简化,这是国际符号的另一特色)行了(简化,这是国际符号的另一特色).不同晶系中不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全不同这三个序号位所代表的方向完全不同,所以所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全不同不同晶系的国际符号的写法也就完全不同,一定一定不要弄混淆不要弄混淆.每个晶系的国际符号写法见表每个晶系的国际符号写法见表3 3 (此表很重要,要熟记!此表很重要,要熟记!).).
限制150内