《复变函数与积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社课件-第四章.ppt

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1、 一、常数项级数1 1、设复常数列、设复常数列 则则 称为复数项无穷级数。称为复数项无穷级数。若若 (s为复常数为复常数)，则称，则称 收敛，收敛，2 2、性质、性质 否则称否则称 发散。发散。收敛收敛(1)(1)当且仅当当且仅当收敛且收敛且收敛收敛如如收敛收敛因为因为 均收敛。均收敛。收敛收敛(2)(2)等比级数等比级数如如收敛收敛当且仅当当且仅当发散。发散。是实常数项级数，故可使用以前是实常数项级数，故可使用以前此时称此时称绝对收敛。绝对收敛。学过的比值法、根植法、极限法等判别。学过的比值法、根植法、极限法等判别。收敛，则收敛，则 必收敛，必收敛，(3)(3)若若因为因为 收敛，收敛，如如

2、根据比值法判断出根据比值法判断出 收敛。收敛。此时称此时称条件收敛。条件收敛。发散，但发散，但 收敛，收敛，(4)(4)若若收敛。收敛。因为因为 条件收敛，条件收敛，如如发散，发散，二、幂级数称为幂级数称为幂级数函数项级数函数项级数 其中其中 和和 均为复常数。均为复常数。最简单的最简单的 a=0 时的情形时的情形的收敛性应依赖于的收敛性应依赖于z的取值。的取值。如如 收敛收敛当且仅当当且仅当定理定理(1)(1)只在点只在点 处收敛；处收敛；的收敛性必为以下的收敛性必为以下(2)(2)在整个复平面都收敛；在整个复平面都收敛；(3)(3)在圆域在圆域 收敛。收敛。R 称为收敛半径，称为收敛半径，

3、称为收敛圆。称为收敛圆。三种情况之一：三种情况之一：所以收敛半径所以收敛半径 如何求如何求 的收敛半径？的收敛半径？比值法比值法当当 时收敛，即时收敛，即 若若 就是情形就是情形(1)(1)；就是情形就是情形(2)(2)。例例 求收敛半径求收敛半径解解故故故故收敛圆域为收敛圆域为故故收敛圆域为收敛圆域为故故定理定理 若若 在在 收敛，收敛，则必收敛于一复变函数则必收敛于一复变函数 ，且，且 在在 内解析。内解析。即即如如 在收敛域在收敛域 收敛于函数收敛于函数还有还有 三、解析函数的泰勒展式定理定理 若若 在区域在区域D 内解析，则对于内解析，则对于 其中收敛圆域其中收敛圆域 必须在必须在D内

4、，且内，且任一点任一点 ，都可展开成幂级数都可展开成幂级数泰勒展式泰勒展式(泰勒级数泰勒级数)例：求例：求 在在 处的泰勒展式。处的泰勒展式。解解故故所以泰勒展式为所以泰勒展式为同理有三角函数在同理有三角函数在 处的泰勒展式：处的泰勒展式：在求某解析函数的泰勒展式时，一般使用在求某解析函数的泰勒展式时，一般使用 间接法：即利用已知函数的泰勒展式去求。间接法：即利用已知函数的泰勒展式去求。较常用已知函数的泰勒展式有：较常用已知函数的泰勒展式有：例：求例：求 在在 z=0 处处的泰勒的泰勒展式，并求出收敛圆域。展式，并求出收敛圆域。解解利用利用例：求例：求 在在 z=0 处处的泰勒展式，并的泰勒展

5、式，并求出收敛圆域。求出收敛圆域。解解利用利用解解例：求例：求 在在 z=0 处处的泰勒展式，的泰勒展式，并求出收敛圆域。并求出收敛圆域。利用利用解解例：求例：求 在在 z=1 处处的泰勒展式，的泰勒展式，并求出收敛圆域。并求出收敛圆域。四、解析函数零点孤立性则称则称 a 是是 的零点。的零点。1 1、定义、定义 设设 解析，若解析，若 ，2 2、而而 时时a为一级零点；为一级零点；而而 时时a为二为二级零点；级零点；而而时时a为三级零点；以此类推。为三级零点；以此类推。例：判断下面解析函数零点的级。例：判断下面解析函数零点的级。解解一级零点；一级零点；二级零点；二级零点；解解三级零点。三级零点。在在a处的泰勒展式表示为处的泰勒展式表示为 ，定理定理 设设a是是 的零点，若能将的零点，若能将其中其中 ，则，则a 必为必为m 级零点。级零点。如如为三级零点。为三级零点。例：判断下面解析函数零点的级。例：判断下面解析函数零点的级。解解为四级零点。为四级零点。孤立的。即不存在任何一个零点使得其孤立的。即不存在任何一个零点使得其 定理定理 解析函数解析函数 的所有零点都是的所有零点都是但在实函数中就存在非孤立零点，如但在实函数中就存在非孤立零点，如它零点无限接近此零点。它零点无限接近此零点。的零点有的零点有 和和 ，且显然，且显然x=0 非孤立零点非孤立零点