振动2(简) (2)(精品).ppt

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1、主讲：左武魁振振 动动 第第 一一 章章(Vibration)第一章第一章 振振 动动1.1 振动振动1.3 旋转矢量旋转矢量1.5 简谐振动的能量简谐振动的能量1.6 简谐振动的合成简谐振动的合成1.2 简谐振动的方程及基本特征简谐振动的方程及基本特征#1.7 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振1.4 简谐振动实例简谐振动实例o.xF1.4 简简谐振动实例谐振动实例 一、一、弹簧振子弹簧振子(spring oscillator)1.动力学方程动力学方程F 称线性恢复力。称线性恢复力。2.运动学方程运动学方程微分式微分式证明：证明：3.角频率角频率(angular frequency

2、)F=-k xx即即4.运动学方程运动学方程积分式积分式(The Example of Simple Harmonic Motion )二、单摆二、单摆(simple pendulum)ft 称称准弹性力。准弹性力。4.运动学方程运动学方程积分式积分式证明：证明：证明：证明：（略）（略）lm o当 时,1.动力学方程动力学方程证明：证明：当 时,3.角频率角频率f t=-mg=0 cos(t+)2.运动学方程运动学方程微分式微分式mg1.稳定平衡位置稳定平衡位置2.稳定平衡与简谐振动稳定平衡与简谐振动证明：证明：(略略)三、三、LC振荡器（振荡器（P15 16）如果物体离开平衡位置时就要受到恢

3、复力的作用而返如果物体离开平衡位置时就要受到恢复力的作用而返回，则该平衡位置称为稳定平衡位置。回，则该平衡位置称为稳定平衡位置。质点在质点在稳定平衡位置附近稳定平衡位置附近的的微小振动微小振动都是都是简谐振动简谐振动。（可参单摆证明）（可参单摆证明）LC-+k12123U=U0 cost（略）（略）角频率：角频率：四、在稳定平衡位置附近的微小振动四、在稳定平衡位置附近的微小振动i=I0sint-+i-+too.xF例例1.2（P13）解：解：一弹簧振子沿一弹簧振子沿 x 轴作简谐振动轴作简谐振动，已知弹簧的劲度系数已知弹簧的劲度系数k=15.8N/m，物体质量物体质量m=0.1kg，在在 t=

4、0时物体对平衡时物体对平衡位置的位移位置的位移x0=0.05m，速度速度v0=-0.628m/s。试写出此试写出此谐振动的振动方程。谐振动的振动方程。因因 x 0,v 0,故取故取 =/4故故振动方程振动方程为为（即旋转矢量在一象限）（即旋转矢量在一象限）一、弹性势能一、弹性势能1.5 谐振动的能量谐振动的能量二、动能二、动能三、机械能三、机械能故上式可写作故上式可写作 普普 适适 适于弹簧振子适于弹簧振子适于弹簧振子适于弹簧振子 普普 适适 普普 适适(以弹簧振子为例以弹簧振子为例)说明：说明：因因EP=kx2/2,E=kA2/2 均较易计算均较易计算,故故计算动能计算动能时常用时常用 Ek

5、=E-EP(The Energy of Simple Harmonic Motion)(kinetic)(mechanical)关于谐振动的能量的说明：关于谐振动的能量的说明：1.任何任何简谐振动系统的机械能均可用下式计算简谐振动系统的机械能均可用下式计算三、机械能三、机械能(mechanical energy)3.简谐振动的振幅和机械能的关系简谐振动的振幅和机械能的关系简谐振动过程中，系统机械能守恒，但动能和简谐振动过程中，系统机械能守恒，但动能和弹性势能相互转换。弹性势能相互转换。2.弹性势能弹性势能四、四、谐振动的能量曲线谐振动的能量曲线总机械能总机械能EP=kx2/2动能动能Ek=E-

6、EPEPEkEoxE EP Ek-AA振振幅幅不不仅仅反反应应了了振振动动的的范范围围，而而且且还还能能反反应应出出振振动动的的强强度度（总能量的大小）（总能量的大小）。1.能量曲线能量曲线2.弹性势能与动能的平均值弹性势能与动能的平均值(以弹簧振子为例以弹簧振子为例)谐振动中谐振动中势能与动能的平均值势能与动能的平均值相等且等于总机械能的一半相等且等于总机械能的一半。习习1.9（P44）解：解：一弹簧振子，已知弹簧的劲度系数一弹簧振子，已知弹簧的劲度系数k=25N/m,当物体当物体以初动能以初动能Ek0=0.2J和初势能和初势能EP0=0.6J，振动时，求：振动时，求：(1)振幅振幅A；(2

7、)位移为多大时，势能和动能相等？位移为多大时，势能和动能相等？(3)位移是振幅的一半时，势能多大？位移是振幅的一半时，势能多大？(1)(2)当当Ek=EP 时时(3)x=A/2时时 2一、一、振动方向相同频率相同振动方向相同频率相同的简谐振动的合成的简谐振动的合成 一个质点同时参与两个一个质点同时参与两个(或几个或几个)振动方向相振动方向相同、频率相同同、频率相同的谐振动。的谐振动。分振动分振动 x1=A1 cos(t+1)合振动保持原振动方向不变。合振动保持原振动方向不变。x0 xx2x1 1x2=A2 cos(t+2)x=x1+x2合振动方程合振动方程合振幅矢量合振幅矢量 3.结论结论：合

8、振动也是同方向同频率合振动也是同方向同频率的的谐振动。谐振动。x=A cos(t+)1.6 谐振动的合成谐振动的合成1.条件：条件：用旋转矢量合成用旋转矢量合成2.分析分析(Mix of Simple Harmonic Motion)一、振动方向相同频率相同的简谐振动的合成一、振动方向相同频率相同的简谐振动的合成 2x1xX0 x2 1x=A cos(t+)合振动方程合振动方程式中式中合振动振幅的大小不仅合振动振幅的大小不仅与分振动的与分振动的振幅振幅有关，有关，而且与分振动的而且与分振动的相位差相位差有关。有关。可见：可见：(Mix of Simple Harmonic Motion of

9、The Same Direction and same frequency)3.结论：结论：合振动也是同方向同频率合振动也是同方向同频率的的谐振动谐振动。(2)若两分振动若两分振动反相反相(相位相反或相差相位相反或相差 的奇数倍的奇数倍)，两分振动相互加强两分振动相互加强,合振幅最大。合振幅最大。则则 A=|A1-A2|两分振动相互减弱两分振动相互减弱,合振幅最小。合振幅最小。即即 2 1=2k (k=0,1,2,)即即 2 1=(2k+1)(k=0,1,2,)(3)若若 A1=A2=A0,则则 则则 A=A1+A2 2x1xx0 x2 1若若两两分分振振动动同同相相(相相位位相相同或相差同或

10、相差 的偶数倍的偶数倍)，(1)对合振动振幅的讨论对合振动振幅的讨论一、一、振动方向相同频率相同振动方向相同频率相同的简谐振动的合成的简谐振动的合成一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其振一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其振试求合振动的振动方程。试求合振动的振动方程。习习1.33 (P49)动方程为动方程为 解：解：故故合振动方程合振动方程为为二、二、振动方向相同不同频率振动方向相同不同频率的谐振动的合成的谐振动的合成x1txtx2t频率相近的两个简谐振动的迭加，合振幅时而加强、频率相近的两个简谐振动的迭加，合振幅时而加强、时而减弱，形成所谓时而减弱，形成所谓拍拍现象。现象。拍

11、频拍频(单位时间内强弱单位时间内强弱变化的次数变化的次数)为为 =|=|2 2-1 1|.|.1/|2-1|分振动分振动x=A1cos(t+1)合运动合运动(自学内容自学内容)三、三、振动方向相互垂直的同频率振动方向相互垂直的同频率简谐振动的合成简谐振动的合成结论：结论：合合运运动动轨轨迹迹一一般般是是在在 2A1(x向向)、2A2(y向向)范围内的一个椭圆。范围内的一个椭圆。（1）椭椭圆圆的的性性质质 (方方位位、长长短短轴轴、左左右右旋旋 )在在 A1、A2 确定之后确定之后,主要主要取决于取决于 =2-1。（2）y=A2cos(t+2)P.=5/4 =3/2 =7/4 =0 =/2 =3

12、/4Q =/4 振动方向相互垂直同频率的谐振动的合成振动方向相互垂直同频率的谐振动的合成三、三、振动方向相互垂直的同频率振动方向相互垂直的同频率简谐振动的合成简谐振动的合成结论：结论：合运动合运动轨迹轨迹一般是一般是一个椭圆。一个椭圆。yxA1A2o-A2-A1四、四、振动方向相互垂直不同频率振动方向相互垂直不同频率的谐振动的合成的谐振动的合成1.两分振动频率相差很小时两分振动频率相差很小时 =(2-1)t+(2-1)可看作两频率相等而可看作两频率相等而 2-1随随t 缓慢变化。缓慢变化。轨迹称为轨迹称为李萨如图形李萨如图形 x y=3 2 2=0,1=/42.两振动频率成整数比时两振动频率成

13、整数比时(自学内容自学内容)合运动轨迹将按上页图依合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。次缓慢变化。tx0 xt0由于阻尼的作用由于阻尼的作用,使振幅随时间使振幅随时间而减小的振动而减小的振动,称为称为阻尼振动。阻尼振动。在在周期性外力周期性外力(策动力策动力)的持续的持续作用下的振动作用下的振动,称为称为受迫振动。受迫振动。1.7 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振(自学内容自学内容)一、阻尼振动一、阻尼振动 (Damped Oscillation)二、受迫振动二、受迫振动振动方程振动方程振动方程振动方程(Damped Oscillation,Forced Oscillation,Re

14、sonance)当当策动力的频率策动力的频率与振与振动系统的动系统的固有频率固有频率相相同同时，策动力在整个时，策动力在整个周期内对物体周期内对物体作正功作正功，使物体使物体能量达到最大能量达到最大，此现象称为此现象称为共振共振。此时速度振幅此时速度振幅vm=A也达到最大。也达到最大。0vm频率频率0阻尼较阻尼较小小阻尼较阻尼较大大三、共振三、共振 (Resonance)1.7 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振(自学内容自学内容)一、阻尼振动一、阻尼振动 (Damped Oscillation)二、受迫振动二、受迫振动 (Forced Oscillation)(Damped Osc

15、illation,Forced Oscillation,Resonance)小小 结结运动学特征方程：运动学特征方程：弹簧振子弹簧振子单摆单摆x=A(cos t+)二、谐振动的能量二、谐振动的能量1.弹性势能弹性势能 普普 适适一、一、谐振动的谐振动的运动方程运动方程和和基本参量基本参量=0(cos t+)小小 结结二、谐振动的能量二、谐振动的能量2.动能动能 适于弹簧振子适于弹簧振子3.总机械能总机械能 普普 适适 适于弹簧振子适于弹簧振子三、同方向同频率的谐振动的合成三、同方向同频率的谐振动的合成合振动方程合振动方程 x=A(cos t+)普普 适适再再 见见阅读：阅读：1.4 1.5 1.8 1.6 1.7 1.9 1.11（P14 21 P27 31）精读：精读：泛读：泛读：